直线的倾斜角和斜率教学案-高中数学

7.1直线的倾斜角和斜率

教学目标

(1)了解直线方程的概念.

(2)正确理解直线倾斜角和斜率概念.理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直

线都存在斜率.

(3)理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.

(4)通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索

能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.

(5)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养

学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

教学建议

1.教材分析

(1)知识结构

本节内容首先根据诙函数与其图像——直线的关系导出直线方程的概念；其次为进­

步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向

或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经

过两点的直线的斜率公式.这些充分体现了解析几何的思想方法.

(2)重点、难点分析

①,节的基幅是斜率的概念和斜率公式.直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建

立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线

的斜率都发挥着重要作用.因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关

键.

②本节的难点是对斜率概念的理解.学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难

接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不

容易接受.

2.教法建议

(1)本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.学生思维也

对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立.相

应的教学过程也有三个阶段

①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义

这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念.

②本节的难点是对斜率概念的理解.学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一

条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样.学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一

样可以数量化吗.再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要

解决这些问题，就要求教师帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是

倾斜角的正切，即直线方程(一次函数的形式，下同)中x的系数恰好就是直线

倾斜角的正切.为了便于学生更好的理解直线斜率的概念，可以借助几何画板设计：

(1)a变化f直线变化f中的*系数：-变化(同时注意〜的变

化).

(2),.匕中的工系数二变化一直线变化一a变化(同时注意总工的变

化).

运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中工系数与倾斜角正切的内在关

系，这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的.

③在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量,

三角函数等有关内容作一定的复习准备.

④在学习直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两个条件，最好能用充要条件叙述直

线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系.为将来学习曲线方程做好准备.

(2)本节内容在教学中宜采用启发引导法和讨论法，设计为启发、引导、探究、评价的

教学模式.学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、和评价.倾斜角如何

定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交

流、评价中完成的.在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展.教师的任务是创设问题

情境，引发争论，组织交流，参与评价.

教学设计示例

直线的倾斜角和斜率

教学目标：

(1)了解直线方程的概念，正确理解宜线倾斜角和斜率概念，

(2)理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.

(3)培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.

(4)帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成

严谨的科学态度和求简的数学精神.

教学重点、难点：直线斜率的概念和公式

教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

(-)直线方程的概念

如图1,对于一次函数和它的图像一y=2x+l

直线J有下面关系：

(1)有序数对(0,1)满足函数/.H+l,则直

线上就有一点它的坐标是(0,1).

图1

（2）反过来，直线上点以1,3）,则有序实数对（1,3）就满足^"2z+1.

一般地，满足函数式尸的每一对工，：一的值，都是直线上的点

的坐标（工，；）；

反之，直线上每一点的坐标（工，；）都满足函数式因此,

图2

一次函数A=h+A的图象是条直线，它是以满足的每一对x,

y的值为坐标的点构成的.

从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程0,这样满

足一次函数/・匕*白的每一对工，了的值“变成了"二元一次方程）-后一0-0的解,

使方程和直线建立了联系.

定义：以•个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点

坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条宜线就叫做这个方程

的直线.

以上定义改用集合表述：义，；的二元一次方程的解为坐标的集合，记作m.若（1）

cu=（2）7nc,则c-F.

问：你能用充要条件叙述吗？

答：•条直线是个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是…….

（二）直线的倾斜角

【问题1】

请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同.

JF-X+1.jr-2x*l.y-z+1

过定点，方向不同.

如何确定•条直线？

两点确定一条直线.

还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？

学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度.

【导入】

今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向.

【问题2】

在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以

设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的.

学生：展开讨论.

学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导.

通过讨论认为：应选择a角来刻画直线的方向.根据三角函数的知识，表明一个方向可

以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然

用最小的正角.从而得到直线倾斜角的概念.

【板书】

定义：一条直线1向上的方向与工轴的正方向所成的最小正角叫做直线’的倾斜角.

（教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）工轴的正方向，（3）最小正角.）

特别地，当,与工轴平行或重合时，规定倾斜角为0°.

由此定义，角的范围如何？

0°Wa<180°或0Wa<B如图3

至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的.

（三）直线的斜率

【问题3】

下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45。、135。的直线，并试

着写出它们的直线方程.然后观察思考：

直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？

学生：在练习本上画出直线，写出方程.

也

30°■'=3*

45°«——>

135°«——>•**=-M

（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°

可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30。角终边与单位圆的交点坐标来解决.）

【演示动画】

观察宜线变化，倾斜角变化，直线方程中工系数变化的关系

（1）直线变化-a变化一尸.以中的工系数字变化（同时注意亚a的变化）.

（2）■匕中的x系数在变化一直线变化一a变化（同时注意但a的变化）.

教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与工的系数的关系：倾斜角不同，方程中工的

系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！

【板书】

定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.记作之，即

这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于工轴（正方向）倾斜程度的量一

倾斜角，现在我们又定义•个从“数”的方面刻画直线相对于工轴（正方向）倾斜程度的量

----斜率.

指出下列直线的倾斜角和斜率：

（1）=-电工（2）--="tg60°（3）=Xtg（-30。）

学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°：（2）60°；（3）150°（为什么不是-30°

呢？）

画图，指出倾斜角和斜率.

结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况.

93

图4

注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在.

a=0。<•一>上=0

0°<a<90"<——>=>0

a=90°<•一玲:不存在

900<a<180°<——>-■<0

（四）直线过两点斜率公式的推导

【问题4】

如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义上=tga求出直线的斜率；

如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么

又怎么求出直线的斜率呢？

即已知两点幺（小，%）、PAx>,M）（其中xHxz）,求直线的斜率.

思路分析：

首先由学生提出思路，教师启发、引导:

运用正切定义，解决问题.

（1）正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标.）

（2）角a是“标准位置”吗？（不是.）

⑶如何把角a放在“标准位置”？（平移向量片舄，使A与原点重合，得到新向量OP.）

⑷P的坐标是多少？（毛-小，斤y）

（5）直线的斜率是多少？?=tga=（%中至）

（6）如果R和2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）.

图5

评价：注意公式中小片也，即直线4/2不垂直x轴.因此当直线4月不垂直片轴时，由已

知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角.

【练习】

（D直线的倾斜角为a,则直线的斜率为*a?

（2）任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？

（3）直线）'X依（-330。）的倾斜角和斜率分别是多少？

（4）求经过两点匚（0,0）、二（-1,湎）直线的倾斜角和斜率.

⑸课本第37页练习第2、4题.

教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案(答案略).

【总结】

教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决.再看下边的问题：

(1)直线倾斜角的概念要注意什么？

(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？

(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？

学生边讨论边总结：

(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，当a=90。时，电a不存在.

⑶*=(*1=叼)，没有.

【作业】

1.课本第37页习题7.1第3、4、5题.

2.思考题

(1)方程*1是单位圆的方程吗？

(2)你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？

(3)你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？

(4)你能说出过(1,1)点，斜率是2的直线方程吗？

板书设计

7.1直线的倾斜角和斜率三、直线的斜率练习

一、直线方程四、斜率公式小结

二、直线的倾斜角作业

扩展资料

魔术师的地毯

•天，著名魔术大师秋先生拿了•块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求

把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形.敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的

魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8

米长2.1米的矩形面积只有1.68平方米，两者并不相等啊！除非裁去0.01平方米，不然没

法做.”秋先生拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说：“你先照这张图（图1.2）的尺

寸把地毯裁成四块，然后照另一张图（图1.3）的样子把这四块拼在一起缝好就行了.魔术大

师是从来不会错的，你放心做吧！”敬师傅照着做了，缝好-量，果真是宽0.8米长2.1米.魔

术师拿着改好的地毯满意地走了，而敬师傅却还在纳闷儿：这是怎么回事呢？那0.01平方米

的地毯到什么地方去了？你能帮敬师傅解开这个谜吗？

图1

过了几个月，魔术师秋先生又拿来一块地毯，长和宽都是1.2米，只

是上面烧了一个烧饼大小（约0.01平方米）的窟窿.秋先生要求敬师傅将

地毯剪剪拼拼把窟窿去掉，但长和宽仍旧是1.2米.敬师傅很为难，觉得

这位魔术大师的要求不合理，根本无法做到.秋先生又拿出了自己的设计

图纸，要敬师傅按图1.4的尺寸将地毯剪开，再按图L5的样子拼在一起

缝好.敬师傅照着做了，结果真的得到了•块长和宽仍是L2米的地毯，

而原来的窟窿却消失了.魔术师拿着补好的地毯得意洋洋地走了，而敬师

傅还在想，补那窟窿的0.01平方米的地毯是哪里来的呢？你能帮敬师傅解开这个谜吗？

你准备如何着手去揭开魔术大秘密呢？通常的办法是根据他给的尺寸按某个比例（例如

10：1）缩小，自己动手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，实际量一量，看看秘密藏在

什么地方.这种做模型（或做实验）的方法，是科技工作者和工程技术人员通常采用的方法.这

种方法要求操作和测量都非常精确，否则你就发现不了秘密.例如，按缩小后的尺寸，剪拼

前后面积差应为1平方厘米，如果在你操作和测量过程中所产生的误差就已经大于1平方厘

米了，那么你怎能发现那1平方厘米的面积差出在什么地方呢？

数学工作者在研究和解决问题时，通常采用另一种方法一数学计算，即通过精细的数学计算

来发现剪拼前后的面积差出在何处.

现在我们先来分析第一个魔术。

比较图1.2和图1.3将图1.2中的四块图形分别记为I,II,HI,IV（图1.6）,而将图1.3

中相应的四块分别记为工，IT,皿'，IV'（图1.7）.现在的问题是，图1.6中的四块

能否拼得像图L7那样“严丝合缝”、“不重不漏”？也就是说，图1.7中所标的各个尺寸

是否全都准确无误？例如图1.7中的I为直角三角形£DB,如果£»■5时，点三是否

恰好落在矩形的对角线OB上？同样，如果和.5时，点三是否恰好落在OB

上？让我们通过计算来回答这个问题.

如图1.8建立直角坐标系，以0c所在直线为工轴，Q4所在直线为

轴，单位长度表示0.1米，于是有二（0,0）,二（0,21）,三（8,21）,

I：（8,0）,三（0,13）,2（5,13）,三（3,8）,三（8,8）.如

何判断三和.二是否恰好落在直线OB上呢？一种办法是±,三的坐标代入

直线OB的方程，看是否满足方程；另一种办法是分别计算OE,QB,QG

的斜率，比较它们是否相等.下面用后种方法进行讨论.

图8

〃8A.21138、21

设线段OS的斜率为*«,则有3,8.5.比较之，由38

>12

5得*at>♦■>%・，即。国的斜角大于OB的斜角，OB的斜角又大于R的斜角,

可见三和二都不在对角线OB上，它们分别落在OB的两侧（图1.8）：又由

21-81321-13_8

8-3T,8-53得禹即EBttOCf,

G8BOE可知将图1.6中的四块图形按照图1.7拼接时，在矩形对角线附近重叠了•个小

平行四边形（图1.8）.正是这一微小的重登导致面积减少，减少的正是这个重登的

21

_7——x

O<XM总的面积.记三（3,8）到对角线OB（8）的距离为^,

|2lx0.3+(・8)x叫Q.1

d

米,

画■廊产玉并师米

SBE--2xAx|0fl|xrf-aoUlf

把面积仅为0.01平方米的地毯拉成对角线长为而行米（约2.247米）的极细长的平

行四边形，在一个大矩形的对角线附近重叠了这么点点，当然很难觉察出来，魔术大是由

正是利用了这•点蒙混过去，然而这•障眼法却怎么也逃不过精细的数学计算这•“火眼金

睛”.

如果我们把上述分割正方形和构成矩形所涉及的四个数，从小到大排列起来，即

5,8,13,21,

这列数有什么规律呢？相邻两数之和，正好是紧跟着的第三个数.按照这个规律，5前面

应该是（8-5=）3,3前面应是（5-3=）2,2前面应是（3-2=）1,1前面应是（2-1

=）1,21后面应为（13+21=）34,34后面应为（21+34=）55,等等，于是得到数列

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

这个数列的特点是，它的任意相邻三项中前两项之和即为第三项.我们称这个数列为斐

波那契数列.魔术师的上述第•个地毯魔术中的四个数5,8,13,21只是斐波那契数列中的

一段，从该数列中任意取出其他相邻的四个数，还能玩上述魔术吗？为了使计算简单一些，

我们取出数字更小的一段3,5,8,13来试一试.把边长为8的正方形按图1.9分成四块，

再拼成边长为5和13的矩形（图1.10）.

这时图形的面积由图1.9的64变成了图1.10的65,凭空增加了1个单位面积.通过完

全类似的计算，我们发现图L10的尺寸是不合理的，实际上在矩形对角线附近，同样会出现

一个小平行四边形.不过这次不是一个重叠的平行四边形，而一具平行四边形空隙（图

1.11）.这就是拼成的矩形比原来的下方形面积“增大”的秘密所在.

图11

我们可以使用斐波那契数列的任何相邻四项，来玩上述分割重拼的魔术，我们发现，正

方形比重拼成的矩形，时而少一个单位面积，时而又多一个单位面积.这是因为重拼时，在

矩形对角线附近，有时会重叠一个细长的平行四边形（因此失去一个单位面积），有时又会

出现一个细长的平行四边形空隙（因此多出一个单位面积）.面积何时变不，何时变大，有

没有规律呢？

我们把斐波那契数列

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

记为-1,%,-3,%,...

这里既T,鸟T,鸟4-3,鸣…，且具有递推关系

号）

考察以县为边长的正方形面积与以耳7及凡•】为两边长的矩形面积之间的关系.随着

':从小到大依次取2,3,4,5,我们得到

当”-2时有P-1x2-1,即鸟■鸟遇T；

当/1・3时有2：-1x3+1,即可'■马,招♦］；

当，・4时有.-2x5-1，即用‘■鸟,用T.

当“=5时有5|-3*814,即用‘■居,"♦I：

从中我们发现，随着之的奇偶变化，在上述关系式中，加1和减1交替出现.对于数列

的第七项身，当5■:是大于1的奇数时有E0%•%+】，此时正方形的面积比矩形小

1.写成统一的表示式就是

原・%•%+（-/（・如，）

将斐波那契数列前后相邻两项的比，作成一个新的数列

112?5813

1,2,3,5,8,13,21,..

该数列的极限

Ji

ffl12

fan■吏二■0.618033…

一心2

是一个定数（无理数），这个数有很重要的应用，而且还有一个非常好听的名字，叫“黄金

分割比”.

相传早在欧儿里得之前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus,约公元前400〜前347）

提出并解决了下列按比例分线段的问题：“将线段分为不相等的两段，使长段为全线段和短

段的比例中项.”欧儿里得把它收入《儿何原本》之中，并称它分线段为中外比.据说“黄

金分割”这个华贵的名字是中世纪著名画家达•芬奇取的，从此就广为留传，直至今日.

AMMB

对于长度为；的线段空，使犯”的分点”称为“黄金分割点”

^1*0.618

（图1.12）.设AM-x,则22即

黄金分割比.从古希腊起直到今天，人们都认为这种比例在造型艺术上具有很

高的美学价值.在所有矩形中，两边之比符合黄金分割比的矩形是最优美的.难

怪口常生活中许多矩形用品和建筑中的矩形结构，往往是按黄金分割比设计

的.甚至连人体自身的形体美，即最优美的身段，也遵循着黄金分割比.据说

“维纳斯”雕像以及世界著名艺术珍品中的女神像，她们身体的腰以下部分的

长度与整个身高的比，都近于0.618,于是人们就把这个比作为形体美的标准.芭蕾舞女演员

腰以卜.部分的身长与身高之比，一般约在0.58左右，因此在她们翩翩起舞时，总是脚尖点地,

使腰以下部分的长度增长8〜10厘米，以图展示符合0.618身段比例的优美体形（图1.13）,

给观众以美的艺术享受.

黄金分割比不仅在艺术上，而且在工程技术上也有重要意义.工厂里广泛使用的“优选

法”，就是黄金分割比的•种应用，因此有人干脆把优选法称为“0.618法”.

在实际应用时，黄金分割比可用斐波那契数列中相邻前后两项的比作为近似值来代替.■:

越大，比值%越近似黄金分割比.

我们接着分析魔术师秋先生的第二个魔术，其秘密在哪里呢？补洞用的

那一小块面积是从哪里来的呢？根据识破第个魔术的经验，我们来考查拼

成新的无洞正方形的各个尺寸（图L14）是否全都准确无误？这就要追查到

分割有洞正方形的各个尺寸（图L15）是否全都准确无误码？在图1.15中

分割正方形四边的尺寸是取定的，用不着怀疑.值得怀疑的是中间的那条分

割线WJF,它的尺寸可靠吗？其中是正确的，“及

“OTF-10对吗？

而它们正是新拼正方形两边上线段细）及8的尺寸.如图1.15所示，分别以直线OR

和OP为工轴和：.轴建立坐标系，于是有Q（0.7）,二（12,12）,7（7,0）,「

（7.3）,要得到W及”的长度，只须求出点二的坐标即可.二是直线0s与直线

星.y-7

k的交点.直线厚的方程是1212-7,即5xT2"84・O；直线nr的方程是

II

911OTF-9

X=7.两方程联立解得交点-的坐标为（7,12）.于是得到12,因而

611

12.这就是说,在新拼正方形（图1.14）中，左边上的线段/B的长不是7而是12,

911

右边上的线段您的长不是10而是12.这样，新拼图形的左边&长为

9-H4-2-1111

12,右边Cb长为1212,上下两边明.就F-12,因此新拼

12x11—

图形不是边长为12的正方形，而是一个12的长方形，比原来的有洞正方形稍微短了

—112^---™1

一点点（短1个单位长的12）.两者的面积相差12（单位面积），而这正好等于

那个洞的面积.这个补洞的魔术之所以能够成功，靠的就是两者之差是一个很狭窄的细长条,

不易被人觉察，但在精确的数学计算面前，秘密马上就被揭穿了.

我们也可以用平面几何方法算出图1.15中的线段W实际长多少.过二-作#S的平行

PS.MU|25

线交SR尸M（图1.15）,则超82S〜数AMS",于是有即5US,

MF-2—U^^ifT^ST-SM~9-2—-6—

得12,于是1212.

习题精选

右的倾斜角分别是4、kz、4,

(选择题)如图，若图中直线’1、

()

&＜与＜与

第1题(A)(B)

备＜为

(C)⑻

2.(选择题)直线/沿y轴正方向平移0个单位(0＞0,w-1),再沿x轴负方向平移0—1

个单位得直线r,若/与/'重合，则直线1的斜率为()

1-JRM-I

(A)M(B)M

MJS

(OI-«e(D)m-1

2

1

3.(填空题)已知/(x,-2),8(3,0),且•*-2,则产__.

X

A4.(填空题)若-万〈矣＜0,则直线＞--方■的倾斜角为一.

x

2

5.(填空题)已知三点月(-2,3),6(3,-4m),＜7(-,而在同一条直线上,

第6题则实数m=____.

6.如图，AABC为正三角形，N5F45°则三条直线相，必然的斜率：U-—,为6

7.四条直线八、h、A、h,它们的倾斜角之比依次为1：2：3：4,若心的斜率为4,求其

余三条直线的斜率.

答案：1.C；2.C；3.-1：4.2+2；5.2；6.2-£；一1；2+招:

11324

7.3；7,7.

典型例题

例1判断卜列命题是否正确:

①一条直线1一定是某个一次函数的图像；

②一次函数/-H+A的图像一定是一条不过原点的直线；

③如果一条直线上所有点的坐标都是某•个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方

程；

④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个

方程的直线.

解：①不正确.直线*-2-0,不是一次函数；

②不正确.当时，直线过原点.

③不正确.第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程的解，但此

方程不是第一、三象限角平分线的方程

④不正确.以方程*(x20)的解为坐标的点都在第•象限的角平分线上，但此直

线不是方程y■*(*20)的图像.

说明：直线方程概念中的两个条件缺一不可，它们和在一起构成充要条件.

例2设直线的斜率为〃，且指出直线倾斜角。的范围.

解a由己知得

••・Eo.We闻喑T

直线的倾斜角的范围是

例3已知两点4(-3,4),8(3,2),过点尸(2,-1)的直线1与线段45有公共点.

(1)求直线1的斜率的取值范围.(2)求直线1的倾斜角的取值范围.

分析：如图1,为使直线1与线段49有公共点，则直线1的倾斜角应

X介于直线期的倾斜角与直线处的倾斜角之间，所以，当1的倾斜角小于

90°时，有C如；当1的倾斜角大于90°时，则有

图1解：如图1,有分析知

4-(-1)

*«­-3-2=-i,

2-17

3-2=3.

⑴乐4T或人3.

3<

(2)arctg3--4.

说明：学生常错误地写成一1-%-3,原因是与倾斜角分不清或误以为正切函数在［«*)

上单调递增.

例4已知两点4(-1,-5),8(3,-2),直线1的倾斜角是直线上片倾斜角的一半，求直

线1的斜率.

解1：设直线1的倾斜角为2,则直线她的倾斜角为22

-2-1-5)3

,**tg2q=上"-3-(-D=4

的a3

•1-电％=Z

化简得3^2+8^25-3=0

解得tg含=3或tg就=-3

tg2经=4>0

0°<2£<90°,0°<绘<45°

tg*>0,故直线的斜率是3.

-2-(-5)3

解2：(思路要点)根据tg2M=七”.3-「1)=:，且2S：为锐角，

-»■

二r

易得sin22=5和cos27=5,

1-cos2a工

进一步有：tg二=疝12a=3.

说明：这里应考虑角的取值范围及函数值的取舍，解2计算更容易.

例5求经过两点加2,1),以例2)(〃三心的直线’的斜率，并求出其倾斜角及其取值范围.

分析：斜率公式成立的条件是\“K，，所以应先就"的值是否等于2进行讨论.

解：：当炉2时，*1~*t~2

X

...直线/垂直于工轴，故其斜率不存在，此时，倾斜角2=2.

[

当勿=2时，k=M-2

1X

当m>2时，>>0此时♦=arctg内一2三(0,2)

tJT

当rV2时，9Vo此时盆==+arctg1-2三(2,二)

说明：通过讨论确定直线的斜率存在与不存在是解决直线斜率问题常用的方法.

<S**Ma

例6已知a、b、"都是正数，且。<5,试用解析法证明：b

证明：如图2,

在坐标平面上取点力（如向,B（a,份,

<S+Mb

图2

则然的中点为C（2,）

显然。1、OB、%的斜率满足

aa

又-b,-b,*a'i.

a-t-Ma

所以A+mi>b

说明：本题与前边不等式的证明联系紧密，此处提供了一种新颖的证明，有助于学生对

解析法的理解.同时本题为构造性证明，不易想到.事实上，把分式看成斜率是常用的方法.

7.2直线的方程

教学目标

（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方

程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程.

（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程.

（3）掌握直线方程各种形式之间的互化.

（4）通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力.

（5）通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主

义观点.

（6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法.

教学建议

1.教材分析

（1）知识结构

由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别

导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一

殷武；同时一般式也可以转化成特殊式.

(2)重点、难点分析

①采,的基工是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出直线的方

程.

解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线.本

节内容就是求直线的方程，因此是非常重要的内容，它对以后学习用方程讨论直线起着直接

的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用.

直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特殊形式的源

头.学生对点斜式学习的效果将直接影响后继知识的学习.

②本节的难点是直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次

方程的关系证明.

2.教法建议

(1)教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局

限性强：一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显.教学中各部分知识之间过渡要自

然流畅，不生硬.

(2)直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线

方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础.

直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时\还需要进行正反两方面的

分析论证.教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方

法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑

思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点

(3)在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数

的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解.

（4）教学中要使学生明白两个独立条件确定•条直线，如两个点、一个点和一个方向或

其他两个独立条件.两点确定•条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，

平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析儿何中刻画直线方向的量化

形式就是斜率.因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地

位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式（斜截式和截距式仅是它们的特

例），因此点斜式最重要.教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮.

求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的儿何条件选用不同形式的方程.根据两个

条件运用待定系数法和方程思想求直线方程.

（5）注意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线（也是曲线）与坐标轴交点

的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；距离是线段的长度，是个正实数（或

非负实数）.

（6）本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直

线的重要知识交汇点之一，教学中要适当选择•些有关的问题指导学生练习，培养学生的综

合能力

（7）直线方程的理论在其他学科和生产生活实际中有大量的应用.教学中注意联系实际

和其它学科，教师要注意引导，增强学生用数学的意识和能力.

（8）本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能更好地掌握，

而不是仅停留在观念上.

教学设计示例

直线方程的一般形式

教学目标：

（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化.

（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明

（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统

一的观点.

教学重点、难点：直线方程的一般式.直线与二元一次方程&♦取°（三、三不

同时为0）的对应关系及其证明.

教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

下面给出教学实施过程设计的简要思路：

教学设计思路：

（-）引入的设计

前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看卜面问题：

问：说出过点F（2,1）,斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？

答:直线方程是属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高

次数为—次

肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述.再看一个问题：

问：求出过点胭）的直线的方程，并观察方程属于哪-类，为什么？

答：直线方程是（或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有

两个，它们的最高次数为一次.

肯定学生回答后强调“也是二元诙方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为

一次”.

启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论.

学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：

【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”

（二）本节主体内容教学的设计

这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定

解决问题的思路.

学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导.

经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论.首先让学生陈述解决思路或解决方案：

思路一：…

思路二：…

教师组织评价，确定最优方案（其它待课下研究）如下：

按斜率是否存在，任意直线？的位置有两种可能，即斜率今存在或不存在.

当W存在时，直线I的截距上也-定存在，直线’的方程可表示为，・匕+5,它是二元一

次方程.

当■之不存在时，直线『的方程可表示为“・句形式的方程，它是二元一次方程吗？

学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合

理性：

平面直角坐标系中直线左■■上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区

别，根据直线方程的概念，方程*■勺解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形

如*.，的二元一次方程是合理的.

综合两种情况，我们得出如卜结论：

在平面直角坐标系中，对于任何•条直线，都有条表示这条直线的关于X、的二元

一次方程.

至此，我们的问题1就解决了.简单点说就是：直线方程都是二元一次方程.而且这个方程

一定可以表示成）=—+白或的形式，准确地说应该是“要么形如>・而+»这样，

要么形如这样的方程”.

同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？

学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式.

这样上边的结论可以表述如下：

在平面直角坐标系中，对于任何•条直线，都有一条表示这条直线的形如

AJU-BX+C-0（其中_■£、M不同时为0）的二元一次方程.

启发：任何一条直线都有这种形式的方程.你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？

【问题2】任何形如（其中土、三不同时为0）的二元一次方程都表

示一条直线吗？

不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的•个方面，这个问题是它的另一方面.这

是显然的吗？不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论.那么如何研究呢？

师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：

回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程出+比+c・o

（其中二、£不同时为0）系数三是否为0恰好对应斜率占是否存在，即

A.C_

（1）当8工0时，方程可化为：=~Bx-B

一—A一_C_

这是表示斜率为6、在线轴上的截距为6的直线.

（2）当时，由于后、■?不同时为0,必有/,0,方程可化为

C

这表示•条与工轴垂直的直线.

因此，得到结论：

在平面直角坐标系中，任何形如41+班（其中二、三不同时为O）的二元

一次方程都表示一条直线.

为方便，我们把4**a*C-°（其中-■£、三不同时为0）称作直线方程的一般式

是合理的.

【动画演示】

演示“直线各参数.gsp”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线.

至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题

的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形

式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一

般的转化关系.

（三）练习巩固、总结提高、板书和作、也等环节的设计在此从略

扩展资料

一次式

直线的方程

心.4x+c・0

是一次方程.它的左边如+C是工、；•的一次式.为方便起见，常数U也看作是

一次式.

显然，如果工的一次式在X./与X.巧（马■巧）时取相同的值，那么0+C

必定是常数；（即？必定为零）.这一个简单的事实有许多应用.

例1求证等腰三角形底边上一点到两边距离之和为定值.

解设底边BC为工轴，腰AByAC的法线式为

-0

及

・0

并且从的内部在这两条直线的正侧.点F在线段BC上，它的坐标为（工，0）.因

此，F到两腰的距离之和为

4y―%*♦,♦,*+6（10.1）

是工的一次式.

由于当F与g或匚重合时，（10.1）的值均为腰上的高士，所以（10.1）式是常数七.

注意点到直