辽宁省锦州市第十中学高三数学理期末试题含解析

辽宁省锦州市第十中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下面框图的S的输出值为（

）

A．5

B．6C．8

D．13参考答案：A2.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为 A． B．

C．

D．参考答案：D略3.某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高为2，底面是直角边长度为3的等腰直角三角形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．【解答】解：由已知中三棱锥的三视图，可得该三棱锥的直观图如下所示：其高为2，底面是直角边长度为3的等腰直角三角形，故其底面面积S=×3×3=，高h=2，故体积V==3，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．4.已知A（﹣2，0），B（2，0），斜率为k的直线l上存在不同的两点M，N满足：|MA|﹣|MB|=2，|NA|﹣|NB|=2，且线段MN的中点为（6，1），则k的值为（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2参考答案：D【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求出双曲线方程，利用点差法，即可得出结论．【解答】解：由题意，M，N是双曲线的右支上的两点，a=，c=2，b=1，∴双曲线方程为=1（x＞），设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=12，y1+y2=2，代入双曲线方程，作差可得（x1﹣x2）﹣2（y1﹣y2）=0，∴k=2，故选D．5.已知集合，集合，则＝（

）A.

B。

C。

D。参考答案：C【知识点】集合及其运算由，则=【思路点拨】根据集合的运算得到。6.如果实数x，y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2x﹣y=t过点A（0，﹣1）时，t最大是1，故选：B．7.执行如图的程序框图，则输出的(

)

参考答案：D8.已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，，则在（﹣2，0）上，下列函数中与f（x）的单调性相同的是（）A．y=﹣x2+1 B．y=|x+1|C．y=e|x| D．参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的判断．【分析】先判断函数f（x）的单调性和奇偶性，然后进行判断比较即可．【解答】解：∵f（x）是偶函数，当x＞0时，，∴当x＞0时函数f（x）为增函数，则在（﹣2，0）上f（x）为减函数，A．在（﹣2，0）上y=﹣x2+1为增函数，不满足条件．B．y=|x+1|在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣2，0）上不单调，不满足条件．C．f（x）在（﹣2，0）上是单调递减函数，满足条件．D．当x＜0时，f（x）=x3+1是增函数，不满足条件．故选：C9.=（

）

A．1

B.e-1

C.e

D.e+1参考答案：C略10.下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（

）.

A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数y=的定义域为

．参考答案：[0，1）∪（1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】求该函数的定义域，直接让x≥0，且x﹣1≠0，求解x即可．【解答】解：由x≥0，x﹣1≠0得：x≥0，且x≠1．所以原函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故答案为：[0，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数定义域的求法，解答的关键是让根式内部的代数式大于等于0，分母不能为0，属基础题．12.在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后得向量，则点的坐标是.参考答案：,设，其中。将向量按逆时针旋转后得向量，设，则，，即.13.已知点，抛物线的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，,与抛物线C的准线相交于点N，若，则实数a的值为______．参考答案：【分析】过作抛物线的准线的垂线且垂足为，连接，由抛物线的定义得，由，得，利用斜率得a的方程求解即可【详解】依题意得焦点坐标为，过作抛物线的准线的垂线且垂足为，连接，由抛物线的定义知，因为，所以，又，，所以，解得.故答案为【点睛】本题考查抛物线的定义及简单几何性质，熟记定义，准确转化题意是关键，是基础题14.设为三个非零向量，且，则的最大值是

▲

．参考答案：15.若函数____________。参考答案：略16.已知定义在R上的函数f(x)与g(x)，若函数f(x)为偶函数，函数g(x)为奇函数，且，则

．参考答案：

12

17.如图，为圆的直径，弦、交于点，若，，则_____.（不作近似计算）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）若，证明：当x＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x0，使得：．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出f（x）=lnx+x，要证原不等式成立，即证xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x﹣3），求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x0，使得：．运用转化思想可令H（x）=（x+1）?e﹣x+x2﹣1，求出导数判断单调性，可得最小值，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a，在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1，可得f′（t）=+a=2，f（t）=2t﹣1=lnt+at，解得a=t=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得f（x）=lnx+x，要证当x＞1时，，即证lnx＞k（1﹣）﹣1（x＞1），即为xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x﹣3），g′（x）=2+lnx﹣k，由，x＞1，可得lnx＞0，2﹣k≥0，即有g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，可得g（x）＞g（1）=1+2k≥0，故当x＞1时，恒成立；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x0，使得：．由ef（x0+1）﹣2x0﹣1+x02=eln（x0+1）﹣x0+x02=（x0+1）?e﹣x0+x02．即对于b∈（0，1），存在正数x0，使得（x0+1）?e﹣x0+x02﹣1＜0，从而存在正数x0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．令H（x）=（x+1）?e﹣x+x2﹣1，H′（x）=e﹣x﹣（x+1）?e﹣x+bx=x（b﹣e﹣x），令H′（x）＞0，解得x＞﹣lnb，令H′（x）＜0，解得0＜x＜﹣lnb，则x=﹣lnb为函数H（x）的极小值点，即为最小值点．故H（x）的最小值为H（﹣lnb）=（﹣lnb+1）elnb+ln2b﹣1=ln2b﹣blnb+b﹣1，再令G（x）=ln2x﹣xlnx+x﹣1，（0＜x＜1），G′（x）=（ln2x+2lnx）﹣（1+lnx）+1=ln2x＞0，则G（x）在（0，1）递增，可得G（x）＜G（1）=0，则H（﹣lnb）＜0．故存在正数x0=﹣lnb，使得．19.已知二次函数的二次项系数为，满足不等式的解集为（1，3），且方程有两个相等的实根，求的解析式.参考答案：设所以即的解集为（1，3），所以方程的两根为，所以………①

…………②

又方程，即有两个相等的实根，所以………③

解由①②③构成的方程组得，（舍）或所以.

(也可设求解）

20.(本题满分10分)在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求.参考答案：（1）∵是等差数列，设公差为,得：

………………4分得：

…5分（2）∵

………………6分∵

………………8分…12分21.设函数，其中（Ⅰ）若f(x)在x=3处取得极值，求常数a的值；（Ⅱ）若f(x)在上为增函数，求a的取值范围参考答案：解析：（1）

（2分）因在x=3处取得极值，所以解得a=3

(4分)经检验知当a=3时，x=3为f(x)的极值点。

（6分）（2）由=0得。当a<1时，若，则，所以f(x)在和（1，+）上为增函数，故当时，f(x)在（为增函数；

（8分）当时，若，则，所以f(x)在和（a，+）上为增函数，故f(x)在（

上也为增函数

（10分）综上所述：当时，f(x)在上为增函数

22.