九年级数学上册第一章特殊平行四边形第1节菱形的性质与判定省公开课一等奖新名师获奖课件

北师大版九年级上册

第一节：菱形性质与判定

第一章：特殊平行四边形1/56第一课时菱形性质2/56问题导入

下面几幅图片中都含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，你能发觉它们有什么样共同特征？与下图相比较，这些平行四边形特殊在哪里？这些平行四边形邻边相等，像这么平行四边形叫菱形。3/56探究新知有一组邻边相等平行四边形叫做菱形。菱形在生活中随地可见，你能举出一些生活中菱形例子吗？与同伴交流。。4/56菱形含有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用在图案设计上.5/56（1）菱形是特殊平行四边形，它含有普通平行四边形全部性质。你能列举一些这么性质吗？

菱形对边平行且相等，对角相等，对角线相互平分。中心对称图形。

（2）你认为菱形还含有哪些特殊性质？与同伴交流。

想一想6/56（1）菱形是轴对称图形吗？假如是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？用菱形纸片折一折，回答以下问题：

菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在直线，两条对称轴相互垂直。菱形四条边相等。探究性质7/56(2)结合手中折纸得到菱形ABCD，找出图中相等角和线段。由折纸过程和对称轴性质可得相等角有：∠1=∠2；∠3=∠4；∠5=∠6；∠7=∠8；相等线段有：AB=BC=CD=DA.8/56已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.菱形四边相等，对角线相互垂直证实：9/56证实：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=BC（菱形对边相等）又∵AB=AD∴AB=BC=CD=AD（2）∵AB=AD∴△ABD是等腰三角形又∵四边形ABCD是菱形∴OB=OD（菱形对角线相互平分）在等腰三角形ABD中，∵OB=OD∴AO⊥BD即AC⊥BD10/56菱形性质：1、对角线相互垂直且平分,而且每条对角线平分一组对角；2、四条边都相等,对边平行且相等；3、对角相等,邻角互补；4、菱形既是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在直线,也是中心对称图形,5、菱形是特殊平行四边形,它具备平行四边形一切性质.11/56例2.已知如图，菱形ABCD两条对角线BD，AC分别为6cm和8cm，则菱形边长是（）A.10cmB.7cmC.5cmD.4cmC解析：∵ABCD是菱形

∴AC⊥BD，AO=4

,

BO=3∴在Rt△AOB中，∴菱形边长为5cm,故选C.

12/56例3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形边长AB和对角线AC长。

分析：由菱形性质得到AC⊥BD,AB=AD,结合题意，得到△ABD是等边三角形从而求出AB长，再借助勾股定理求出AC长。13/56

解：∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD（菱形四条边都相等）AC⊥BD（菱形对角线相互垂直）OB=OD=(菱形对角线相互平分）在等腰△ABC中∵∠BAD=60°∴△ABD是等边三角形∴AB=BD=6在Rt△AOB中，由勾股定理，得∴∴14/563cm600

１.已知菱形周长是12cm，那么它边长是_______.

２.以下列图：菱形ABCD中∠BAD＝60°，则∠ABD＝_______.巩固练习解析：依据菱形四边相等，得到边长为3.解析：依据菱形四边相等，得到AB=AD,再因为∠BAD=60°，得到△ABD是等边三角形，所以有∠ABD=60°.15/5652.已知菱形ABCD两条对角线长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN最小值为_____.解析：当P点为AC与BD交点时，

PM+PN值最小，为菱形边长

∵两条对角线分别为6和8,∴此菱形边长为5，故PM+PN最小值为5.16/56课堂总结请各位同学回想一下菱形性质有哪些？请从边，角，对角线和对称性角度进行分析.边角对角线对称性菱形两组对边平行菱形四边相等菱形两组对角相等菱形邻角互补菱形对角线相互平分，且每一组对角线平分一组对角菱形对角线相互垂直菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线交点菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线17/56课后作业1.习题1.1：知识技能第1，2两题2.预习第二课时.18/56第二课时菱形判定19/56有一组邻边相等平行四边形叫做菱形。3.菱形性质1.菱形定义（Ａ）菱形四条边都相等（Ｂ）菱形对角线相互垂直2.菱形特征菱形是一个轴对称图形

我们能够怎样判定一个四边形是菱形？复习引入20/56有一组邻边相等平行四边形叫做菱形.探究新知数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD∴四边形ABCD是菱形菱形判定：定义法21/56

菱形性质“两条对角线相互垂直平分”中，“对角线相互平分”是平行四边形所含有普通性质，而“对角线垂直”是菱形所特有性质。

由此，能够得到一个猜测：“假如一个平行四边形两条对角线相互垂直，那么这个平行四边形是一个菱形。”除定义法之外，还能找到其它判定方法吗？22/56

如图，取两根长度不等细木棒，让两个木棒中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点连线。我们知道，这么得到四边形是一个平行四边形．若转动其中一个木棒，重复上面做法，当两个木棒之间夹角等于90°时，得到图形是什么图形呢？探究一23/56如图，你还能够作一个两条对角线相互垂直平行四边形．和你同伴交换一下，看看是否成了一个菱形．对角线相互垂直平行四边形是菱形24/56如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相互垂直，证实：四边形ABCD是菱形．证实∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC又∵AC⊥BD∴BD所在直线是线段AC垂直平分线∴AB＝BC∴四边形ABCD是菱形验证猜测25/56对角线相互垂直平行四边形是菱形。ABCD∵在□ABCD中，AC⊥BD∴□ABCD是菱形菱形判定2：数学语言：26/56先画两条等长线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？依据画图，你能得到还有什么方法能判定一个四边形是菱形吗？ABCDO探究二有四条边相等四边形是菱形。27/56已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证：四边形ABCD是菱形DABC证实：∵AB=CD,AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形又∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形验证猜测28/56四条边都相等四边形是菱形.AB=BC=CD=DAABCD菱形ABCD∵在四边形ABCD中AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形四边形ABCDABCD菱形判定3：数学语言：29/56

菱形惯用判定方法：1.有一组邻边相等平行四边形是菱形.2.对角线相互垂直平行四边形是菱形.3.有四条边相等四边形是菱形.30/56例题讲解

1.以下条件中,不能判定四边形ABCD为菱形是（）

Ａ.AC⊥BD，AC与BD相互平分Ｂ.AB=BC=CD=DA

Ｃ.AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD

Ｄ.AB=CD，AD=BC，AC⊥BDC解析：依据菱形三个判定可得C是错误.ABCDO31/562、如图，ABCD两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6

求证:四边形ABCD是菱形.ABCDO∴四边形ABCD是菱形.∴OA=OC=4OB=OD=3证实:又∵AB=5

∴AC⊥BD∴∠AOB=90°又∵四边形ABCD是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形32/56巩固练习1.判断以下说法是否正确？为何？(1)对角线相互垂直四边形是菱形；（）(2)对角线相互垂直平分四边形是菱形；（

）(3)对角线相互垂直,且有一组邻边相等四边形是菱形；（

）(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角四边形是菱形．（

）×√××2.对角线相互垂直且平分四边形是（

）A.矩形B.普通平行四边形C.菱形D.以上都不对C33/56拓展提升例1.在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上点，且△ACE是等边三角形,求证：四边形ABCD是菱形.分析：依据平行四边形性质得出对角线相互平分，再依据等边三角形“三线合一”性质得出垂直关系即可判定四边形ABCD为菱形。证实：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO,∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即DB⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形.34/56

例2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,AE平分∠BAC,分别与BC，CD交于点E,F.EH⊥AB于点H,连接FH，求证：四边形CFHE是菱形.分析：依据角平分线性质可得CE=EH，依据“等角余角相等”可知∠CEF=∠CFE，即CE=CF，再证实EH//CF，于是得到四边形CFHE是菱形.35/56证实：∵AE平分∠BAC,EH⊥AB，EC⊥AC,∴EH=EC，∠CAE=∠EAB，∵∠CAE+∠AEC=90°，∠EAB+∠AFD=90°，∴∠AEC=∠AFD,又∵∠AFD=∠CFE，∴∠CEF=∠CFE,∴EC=CF,∴EH=CF,又∵CD⊥AB,EH⊥AB，∴CD//EH,∴四边形CFHE是平行四边形又∵EH=EC∴平行四边形CFHE是菱形

36/56一组邻边相等对角线相互垂直四条边相等五种判定方法四边形平行四边形菱形菱形判定方法：课堂总结37/56课后作业1.习题1.2：知识技能第1，2两题2.预习第三课时.38/56第三课时菱形相关计算39/56有一组邻边相等平行四边形叫做菱形。2.菱形性质1.菱形定义（Ａ）菱形四条边都相等（Ｂ）菱形对角线相互垂直复习引入3.菱形判定(A).有一组邻边相等平行四边形是菱形.(B).对角线相互垂直平行四边形是菱形.(C).有四条边相等四边形是菱形.40/56菱形被它一条对角线分成两个什么三角形？它们之间有什么关系？菱形被它两条对角线分成四个什么三角形？它们有什么关系？菱形周长=4×边长探究新知两个全等等腰三角形四个全等直角三角形O41/56【菱形面积公式】

菱形是特殊平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形面积吗?菱形ABCDOES菱形=BC×AE想一想:已知菱形两条对角线长，能求出它面积吗?

=S△ABD+S△BCD=AC×BD

S菱形ABCD菱形面积=底×高=对角线乘积二分之一42/56菱形相关计算菱形相关计算菱形周长=4×边长菱形面积=底×高=对角线乘积二分之一43/56例1：已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1).对角线AC长度;

(2).菱形ABCD面积解:(1)∵四边形ABCD是菱形,AC和BD相交于点E∴∠AED=900∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE44（菱形对角线相互垂直）.（菱形对角线相互平分）.例题讲解44/56=2×△ABD面积(2)菱形ABCD面积=△ABD面积+△CBD面积DBCAE4545/56例2.如图所表示，已知菱形ABCD周长为40cm,两条对角线AC、BD之比为3：4，求（1）两条对角线长；（2）菱形ABCD面积。

分析：（1）AC:BD=3：4，即OA:OB=3：4,利用勾股定理求出OA、OB长，就求出了AC和BD长；（2）对角线乘积二分之一即为菱形面积46/56解：（1）∵菱形周长为40cm,∴AB=10cm，

∵AC:BD=3:4∴OA：OB=3:4∵AC⊥BD

∴在Rt△AOB中，有设OA=3x，OB=4x

即

∴x=2,∴OA=6cm,OB=8cm,∴AC=12cm,BD=16cm(2)47/561.已知菱形周长是12，那么它边长是().2.已知如图，菱形ABCD边长和一条对角线AC长均为2cm，则菱形面积为（）.巩固练习3利用勾股定理求出菱形边长，再求出其周长，依据菱形面积等于对角线二分之一求出菱形面积小提醒：相关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形问题来处理48/563.菱形ABCD周长为40cm，它一条对角线长10cm,（1）求这个菱形每一个内角度数；（2）求这个菱形另一条对角线长.解：由题意知AC=10cm，（1）菱形周长为40cm，则