广西壮族自治区南宁市爱华学校高三数学理期末试卷含解析

广西壮族自治区南宁市爱华学校高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋3)＝f(x)，f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A．5 B．4C．3 D．2参考答案：B略2.在双曲线：中，，分别为的左、右焦点，为双曲线上一点且满足，则（

）A．108 B．112 C．116 D．120参考答案：C3.已知为定义在上的可导函数,且对于恒成立,则A.,

B.,

C.,

D.,

参考答案：A4.正项等比数列{}的前n项和为，且，则公比等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.已知集合，，则M∪N（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】化简集合，进而求并集即可.【详解】由题意可得，，所以，故选：A.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.6.复数(为虚数单位)的共轭复数是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.16

B.20

C.24

D.32参考答案：B由三视图可知此几何体为组合体：长方体去掉一角，其直观图如图：∵长方体的三边长分别为2，3，4，∴长方体的体积为24去掉的三棱锥的体积为××24=4∴此组合体的体积为24﹣4=20．8.设函数在R上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图像可能是（

）参考答案：D略9.从含有2个红球和4个黑球的盒子中任意摸出4个球，假设每个球被摸到的可能性相同，记摸出的4个球中黑球数与红球数的差的绝对值为，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据题意列出的分布情况，可得,的值，可得答案.【详解】解：由题意可得：的值可为0，2，4，可得,,,可得可得故选A.【点睛】本题主要考查离散型随机变量及其分布列与离散型随机变量的期望与方差，得出其分布列是解题的关键.10.已知函数,若函数在区间[－2，4]内有3个零点，则实数m的取值范围是（

）．A. B.C. D.参考答案：D【分析】先作出函数的图像，再由函数在区间[－2，4]内有3个零点可得，函数与在区间[－2，4]内有3个不同交点，进而可求出结果.【详解】当时，；当时，；又时，，所以可作出函数在[－2，4]的图像如下：又函数在区间[－2，4]内有3个零点，所以函数与在区间[－2，4]内有3个不同交点，由图像可得或,即或.故选D【点睛】本题主要考查函数的零点问题，将函数有零点的问题转化为两函数有交点的问题来处理，运用数形结合思想即可求解，属于常考题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（2﹣|1﹣x|）dx=

．参考答案：3【考点】定积分．【分析】将（0，2）区间分为（0，1）和（1，2），分别化简2﹣|1﹣x|，转化成=∫01（1+x）dx+∫12（3﹣x）dx，求解即可．【解答】解：=∫01（1+x）dx+∫12（3﹣x）dx=（x+x2）|01+（3x﹣）|12=（1+﹣0）+（6﹣2﹣3+）=3故答案为：312.已知集合,则等于(

)A．{-1,0,1} B．{1} C．{-1,1} D．{0,1}参考答案：B略13.设函数，若函数有三个零点，则实数b的取值范围是____.参考答案：【分析】将问题转化为与有三个不同的交点；在同一坐标系中画出与的图象，根据图象有三个交点可确定所求取值范围.【详解】函数有三个零点等价于与有三个不同的交点当时，，则在上单调递减，在上单调递增且，，从而可得图象如下图所示：通过图象可知，若与有三个不同的交点，则本题正确结果：【点睛】本题考察根据函数零点个数求解参数取值范围的问题，关键是将问题转化为曲线和直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果.14.已知向量，的夹角为，，，m则

.参考答案：

15.在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则____．参考答案：-2【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】由题知：

所以

故答案为：-215.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________.参考答案：117.已知F是双曲线的左焦点，是双曲线的虚轴，M是的中点，过F、M的直线交双曲线C于A，且，则双曲线C的离心率是______.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知：x、y、z是正实数，且x+2y+3z=1，（1）求的最小值；（2）求证：x2+y2+z2≥．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】（1）由题意整体代入可得=6+（+）+（+）+（+），由基本不等式可得；（2）由柯西不等式可得1=（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）=14（x2+y2+z2），由不等式的性质可得．【解答】解：（1）∵x、y、x是正实数，且x+2y+3z=1，∴=（）（x+2y+3z）=6++++++=6+（+）+（+）+（+）≥6+2+2+2当且仅当=且=且=时取等号；（2）由柯西不等式可得1=（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）=14（x2+y2+z2），∴x2+y2+z2≥，当且仅当x=2y=3z即x=，y=，z=时取等号．故x2+y2+z2≥．19.（本题满分10分）设函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若存在x使不等式成立，求实数a的取值范围．

参考答案：解：（Ⅰ）由f（x）≤x得|2x﹣7|+1≤x，∴，∴不等式f（x）≤x的解集为；

……5分（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣2|x﹣1|=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1，则，∴g（x）min=﹣4，∵存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，∴g（x）min≤a，∴a≥﹣4.

……10分20.（本题满分10分）设函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数a的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）由f（x）≤x得|2x﹣7|+1≤x，∴，∴不等式f（x）≤x的解集为；

……5分（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣2|x﹣1|=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1，则，∴g（x）min=﹣4，∵存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，∴g（x）min≤a，∴a≥﹣4.

……10分21.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。已知sinB＋sinC＝2sinA，且3b＝4a。(l)求cosB的值；(2)若，求f(B)的值。参考答案：22.(本小题满分12分)已知函数,().(1)求函数的单调区间;(2)求证:当时,对于任意,总有成立参考答案：(Ⅰ)函数的定义域为,.

当时,

当变化时,,的变化情况如下表:00↘

↗

↘当时,

当变化时,,的变化情况如下表:00↗

↘

↗

综上所述,

当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,;

当时,的单调递增区间为,,