湖南省衡阳市耒阳市龙塘中学高三数学文上学期期末试卷含解析

湖南省衡阳市耒阳市龙塘中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影为(

)A．

B．3

C．

D．-3参考答案：A略2.已知函数f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），则函数g（x）=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣参考答案：D考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．专题：三角函数的求值．分析：由对称中心可得λ=﹣，代入g（x）由三角函数公式化简可得g（x）=﹣sin（2x+），令2x+=kπ+解x可得对称轴，对照选项可得．解答：解：∵f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），∴f（）=sin+λcos=+λ=0，解得λ=﹣，∴g（x）=﹣sinxcosx+sin2x=sin2x+=﹣sin（2x+），令2x+=kπ+可得x=+，k∈Z，∴函数的对称轴为x=+，k∈Z，结合四个选项可知，当k=﹣1时x=﹣符合题意，故选：D点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数对称性，属中档题．3.已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性．【分析】化简函数的表达式，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．【解答】解：=2sin（x+），函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴φ=故选D．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，运用诱导公式化简求值，图形的对称性，考查计算能力，是基础题．4.若复数a﹣（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数a﹣=a﹣=a﹣（4+i）=（a﹣4）﹣i是纯虚数，∴a﹣4=0，解得a=4．故选：D．5.定义在上的函数满足，若关于的方程有3个实根，则的取值范围是（

）A．

B．(0,1)

C．

D．(1,+∞)参考答案：A6.将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则

A.，的最小值为

B.，的最小值为

C.，的最小值为

D.，的最小值为参考答案：C7.《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（

）盏灯.A.24

B.48

C.12

D.60参考答案：A由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列,设首项为,则,解之得a=3，则该塔中间一层灯盏数有3?23=24.故选A.8.已知函数的图象与函数的图象的对称中心完全相同，则为A.

B.

C.

D.参考答案：D9.函数的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像(

)A．关于点对称

B．关于直线对称C．关于点对称

D．关于直线对称参考答案：D10.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则最下面那节的容积为A.升

B.升

C.升

D.升参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知i是虚数单位，复数__________．参考答案：2略12.若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=

．参考答案：2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m即可．【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率为，可得：，解得m=2．故答案为：2．13.已知函数的最大值为3，的图象与轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则

参考答案：4030【知识点】二倍角的余弦；余弦函数的图象．C3C6解析：∵函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1=A?+1=cos（2ωx+2φ）+1+（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+=3，∴A=2．根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即=4，∴ω=．再根据f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得cos（2φ）+1+1=2，∴cos2φ=0，2φ=，∴φ=．故函数的解析式为f（x）=cos（x+）+2=﹣sinx+2，∴f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）=﹣（sin+sin+sin+…+sin+sin）+2×2015=503×0﹣sin﹣sin﹣sin+4030=0+4030=4030，故答案为：4030．【思路点拨】由条件利用二倍角的余弦公式可得f（x）=cos（2ωx+2φ）+1+，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值．14.已知，用秦九昭法计算，其中乘法的次数是

．参考答案：5由已知，得，易知计算f(5)共乘了5次.

15.（不等式选做题）如果关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是

。参考答案：略16.以下是关于函数的四个命题： ①的图像关于轴对称；

②在区间上单调递减；

③在处取得极小值，在处取得极大值；

④的有最大值，无最小值； ⑤若方程至少有三个不同的实根，则实数的取值范围是。其中为真命题的是____

（请填写你认为是真命题的序号）．参考答案：①⑤17.以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且以为渐近线的双曲线方程是___________________参考答案：抛物线的焦点为，即双曲线的的焦点在轴，且，所以双曲线的方程可设为，双曲线的渐近线为，得，所以，，即，所以，所以双曲线的方程为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=|x-1|-|x-2|.（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出函数图象，并写出函数的值域和单调递增区间。参考答案：

值域是[-1，1]，增区间是[1，2]

略19.

如图，过抛物线的对称轴上任一点P(O，m）(m>O）

作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关手原点的对

称点．

（I）证明：

（Ⅱ）设直线AB的方程是x－2y+12=0，过A，B两点的

圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．参考答案：20.参考答案：知识点：空间几何体的表面积与体积平行解析：21.已知圆C的圆心C与点A（2，1）关于直线4x+2y﹣5=0对称，圆C与直线x+y+2=0相切．（Ⅰ）设Q为圆C上的一个动点，若点P（1，1），M（﹣2，﹣2），求?的最小值；（Ⅱ）过点P（1，1）作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用；直线的倾斜角．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）根据点与直线的对称性求出圆心，利用数量积的坐标公式即可求?的最小值；（Ⅱ）利用直线和圆的方程联立，结合直线的斜率公式即可得到结论．【解答】解：Ⅰ）设圆心C（a，b），则A，C的中点坐标为（），∵圆心C与点A（2，1）关于直线4x+y﹣5=0，∴，解得，∴圆心C（0，0）到直线x+y+2=0的距离r=，∴圆C的方程为x2+y2=2．设Q（x，y），则x2+y2=2，?=（x﹣1，y﹣1）?（x+2，y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，作直线l：x+y=0，向下平移此直线，当与圆相切时，x+y取得最小值，此时切点坐标为（﹣1，﹣1），∴?的最小值﹣4．（Ⅱ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0．因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得，同理，则==kOP∴直线AB和OP一定平行．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，结合直线的对称性和直线的斜率公式是解决本题的关键．22.水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放（且）个单位的营养液，它在水中释放的浓度(克/升）随着时间(天)变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时，它才能有效.（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能达到几天？（2）若先投放2个单位的营养液，3天后再投放个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求的最小值.参考答案：（1）解：营养液有效则需满足，所以所以.....................