2024八年级下数学专题1.1 二次根式章末重难点题型（举一反三）（人教版）含解析

2024八年级下数学专题1.1二次根式章末重难点题型【人教版】【考点1二次根式相关概念】【方法点拨】1．二次根式：形如（）的代数式叫做二次根式．2．最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．【例1】（2019春•浉河区校级月考）在式子，，，（y≤0），和（a＜0，b＜0）中，是二次根式的有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【变式1-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（）A．①② B．③④⑤ C．②③ D．只有④【变式1-2】（2019春•左贡县期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④【变式1-3】（2019春•海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（）A．﹣1 B．4或﹣1 C．1或﹣4 D．4【考点2二次根式有意义条件】【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【例2】（2019春•泰山区期中）式子在实数范围内有意义的条件是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）为使有意义，x的取值范围是（）A．x≥﹣2且x≠2 B．x＞﹣2且x≠2 C．x＞2 D．x＞2或x≤﹣2【变式2-2】（2018春•西华县期中）使代数式有意义的整数x有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）如果有意义，则x的取值范围（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3【考点3利用二次根式性质化简符号】【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．【例3】（2019春•海阳市期中）把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（）A． B． C．﹣ D．﹣【变式3-1】（2019春•汉阳区期中）已知ab＜0，则化简后为（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【变式3-2】（2018春•宜兴市期中）（a﹣1）变形正确的是（）A．﹣1 B． C．﹣ D．﹣【变式3-3】（2019春•城区校级期中）化简﹣x，得（）A．（x﹣1） B．（1﹣x） C．﹣（x+1） D．（x﹣1）【考点4利用二次根式的性质化简】【方法点拨】二次根式的性质：（1）（2）【例4】（2019春•庐阳区校级期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（）A．a﹣b+3 B．a+b﹣1 C．﹣a﹣b+1 D．﹣a+b+1【变式4-1】（2019春•丰润区期中）若2＜a＜3，则＝（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5【变式4-2】（2018秋•海淀区校级期中）实数a、b、C在数轴上的位置所示，那么化简|c+a|+﹣的正确结果是（）A．2b﹣c B．2b+c C．2a+c D．﹣2a﹣c【变式4-3】（2018春•汉阳区期中）若0＜x＜1，则﹣等于（）A． B．﹣ C．﹣2x D．2x【考点5二次根式的乘除运算】【方法点拨】掌握二次根式的乘除法则（1）（2）【例5】（2019春•邗江区校级期中）计算：（1）÷（2）÷3×【变式5-1】（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）【变式5-2】（2019秋•闸北区期中）计算：【变式5-3】（2019春•新泰市期中）化简下列式子：•3．【考点6利用二次根式性质求代数式的值】【例6】（2019春•萧山区期中）已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；（3）（a﹣2）（b﹣2）．【变式6-1】（2019春•芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；（1）x2+y2；（2）．【变式6-2】（2019春•长白县期中）已知﹣＝2，求的值．【变式6-3】（2018秋•通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【考点7二次根式的加减运算】【方法点拨】二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．【例7】（2019春•武昌区期中）计算：（1）（2）【变式7-1】（2019春•萧山区期中）计算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【变式7-2】（2018春•襄城区期中）计算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【变式7-3】（2018春•罗山县期中）（1）（2）【考点8二次根式的混合运算】【例8】（2019春•泰兴市校级期中）计算：（1）（2）3【变式8-1】（2019春•广东期中）计算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【变式8-2】（2019春•杭锦后旗期中）计算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【变式8-3】（2019春•莱州市期中）计算：（1）（2）【考点9分母有理化的应用】【例9】（2019春•西城区校级期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝﹣＝因为﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解决下述两题：（1）比较3﹣4和2的大小；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．【变式9-1】（2019春•微山县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的例如：化简解：材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化简解：+1【理解应用】（1）填空：化简的结果等于；（2）计算：①；②．【变式9-2】（2018秋•吴江区期中）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）计算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【变式9-3】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．请任用其中一种方法化简：①；②．【考点10二次根式的应用】【例10】（2018春•嘉祥县期中）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2（a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？【变式10-1】（2019•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【变式10-2】已知一个三角形的三边长分别为12，，．（1）求此三角形的周长P（结果化成最简二次根式）；（2）请你给出一个适当的a的值，使P为整数，并求出此时P的值．【变式10-3】斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数an可表示为[（）n﹣（）n]．（1）计算第一个数a1；（2）计算第二个数a2；（3）证明连续三个数之间an﹣1，an，an+1存在以下关系：an+1﹣an＝an﹣1（n≥2）；（4）写出斐波那契数列中的前8个数．专题1.1二次根式章末重难点题型【人教版】【考点1二次根式相关概念】【方法点拨】1．二次根式：形如（）的代数式叫做二次根式．2．最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．【例1】（2019春•浉河区校级月考）在式子，，，（y≤0），和（a＜0，b＜0）中，是二次根式的有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式进行分析即可．【答案】解：式子，，（y≤0），（a＜0，b＜0）是二次根式，共4个，故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数．【变式1-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最简二次根式是（）A．①② B．③④⑤ C．②③ D．只有④【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【答案】解：③＝＝|a﹣1|，被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式；④＝＝，被开方数含有分母，不是最简二次根式；⑤＝＝，被开方数含有小数（分数），不是最简二次根式；因此只有①②符合最简二次根式的条件．故选：A．【点睛】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．【变式1-2】（2019春•左贡县期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④【分析】根据同类二次根式的定义解答即可．【答案】解：∵，，，∴与是同类二次根式的是①和③故选：B．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．需要注意化简前，被开方数不同也可能是同类二次根式．【变式1-3】（2019春•海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（）A．﹣1 B．4或﹣1 C．1或﹣4 D．4【分析】根据最简二次根式以及同类二次根式即可求出答案．【答案】解：由题意可知：n2﹣2n＝n+4，∴解得：n＝4或n＝﹣1，当n＝4时，n+4＝8＞0，此时不是最简二次根式，不符合题意，当n＝﹣1时，n+4＝3＞0，综上所述，n＝﹣1故选：A．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式，本题属于基础题型．【考点2二次根式有意义条件】【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【例2】（2019春•泰山区期中）式子在实数范围内有意义的条件是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【答案】解：式子在实数范围内有意义的条件是：x﹣1＞0，解得：x＞1．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）为使有意义，x的取值范围是（）A．x≥﹣2且x≠2 B．x＞﹣2且x≠2 C．x＞2 D．x＞2或x≤﹣2【分析】根据二次根式有意义的条件题意可得2x+4≥0，再根据分式有意义的条件可得3x﹣6≠0，再解即可．【答案】解：由题意得：2x+4≥0，且3x﹣6≠0，解得：x≥﹣2且x≠2，故选：A．【点睛】此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．【变式2-2】（2018春•西华县期中）使代数式有意义的整数x有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】直接利用二次根式的得出x的取值范围，进而得出整数x的值．【答案】解：∵代数式有意义，∴x+3＞0，3﹣3x≥0，解得：x＞﹣3，x≤1，则﹣3＜x≤1，故代数式有意义的整数x有：﹣2，﹣1，0，1，共4个数．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的取值范围是解题关键．【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）如果有意义，则x的取值范围（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数和分式分母不为零的条件可得3﹣x＜0，再解即可．【答案】解：由题意得：3﹣x＜0，解得：x＞3，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【考点3利用二次根式性质化简符号】【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．【例3】（2019春•海阳市期中）把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】根据二次根式的性质，可得答案．【答案】解：a根号外的因式移到根号内，化简的结果是﹣，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的性质，注意化简后不能改变原数的大小．【变式3-1】（2019春•汉阳区期中）已知ab＜0，则化简后为（）A．a B．﹣a C．a D．﹣a【分析】根据算术平方根和绝对值的性质＝|a|，进行化简即可．【答案】解：∵a2≥0，ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴＝|a|＝﹣a，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握算术平方根和绝对值的性质是解题的关键．【变式3-2】（2018春•宜兴市期中）（a﹣1）变形正确的是（）A．﹣1 B． C．﹣ D．﹣【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【答案】解：∵有意义，∴1﹣a＞0，∴a﹣1＜0，∴（a﹣1）＝﹣＝﹣．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．【变式3-3】（2019春•城区校级期中）化简﹣x，得（）A．（x﹣1） B．（1﹣x） C．﹣（x+1） D．（x﹣1）【分析】根据已知式子得出x＜0，再根据二次根式的性质把根号内的因式移入根号外，最后合并即可．【答案】解：∵要使和有意义，必须x＜0，∴﹣x＝﹣x﹣x•（﹣）＝﹣x+＝（1﹣x），故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简的应用，能把各个部分根式化成最简根式是解此题的关键．【考点4利用二次根式的性质化简】【方法点拨】二次根式的性质：（1）（2）【例4】（2019春•庐阳区校级期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（）A．a﹣b+3 B．a+b﹣1 C．﹣a﹣b+1 D．﹣a+b+1【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．【答案】解：由数轴可知：﹣1＜a＜0＜2＜b，∴a+1＞0，b﹣2＞0，∴原式＝|a+1|﹣|b﹣2|＝a+1﹣b+2＝a﹣b+3，故选：A．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．【变式4-1】（2019春•丰润区期中）若2＜a＜3，则＝（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5【分析】根据二次根式的性质解答即可．【答案】解：因为2＜a＜3，所以＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5，故选：D．【点睛】此题考查二次根式的性质，关键是根据二次根式的性质解答．【变式4-2】（2018秋•海淀区校级期中）实数a、b、C在数轴上的位置所示，那么化简|c+a|+﹣的正确结果是（）A．2b﹣c B．2b+c C．2a+c D．﹣2a﹣c【分析】先由数轴知c＜b＜0＜a，且|c|＞|a|，据此得出c+a＜0，a﹣b＞0，再根据绝对值性质和二次根式的性质2化简可得．【答案】解：由数轴知c＜b＜0＜a，且|c|＞|a|，则c+a＜0，a﹣b＞0，∴原式＝﹣c﹣a﹣b﹣（a﹣b）＝﹣c﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a﹣c，故选：D．【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质2：＝|a|．【变式4-3】（2018春•汉阳区期中）若0＜x＜1，则﹣等于（）A． B．﹣ C．﹣2x D．2x【分析】首先利用完全平方公式化简，进而利用二次根式的性质求出即可．【答案】解：﹣＝﹣＝﹣＝|x+|﹣|x﹣|∵0＜x＜1，∴x﹣＜0，∴原式＝x++x﹣＝2x．故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确利用完全平方公式是解题关键．【考点5二次根式的乘除运算】【方法点拨】掌握二次根式的乘除法则（1）（2）【例5】（2019春•邗江区校级期中）计算：（1）÷（2）÷3×【分析】（1）根据二次根式的性质把除式变形，根据二次根式的乘法法则计算；（2）根据二次根式的乘除法法则计算即可．【答案】解：（1）÷＝×＝＝；（2）÷3×＝××＝＝．【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式的性质，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．【变式5-1】（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【答案】解：•（﹣）÷（a＞0）＝﹣•a2b÷＝﹣9a2＝﹣．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．【变式5-2】（2019秋•闸北区期中）计算：【分析】利用除以一个数等于乘以这个数的倒数转化后利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可．【答案】解：原式＝（2×6）＝12＝4【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，解题的关键是能够了解法则并能熟练的将除法转化为乘法进行运算．【变式5-3】（2019春•新泰市期中）化简下列式子：•3．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案．【答案】解：原式＝2ab×3×（﹣2）＝﹣12ab•a2＝﹣12a3b．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．【考点6利用二次根式性质求代数式的值】【例6】（2019春•萧山区期中）已知，，求下列式子的值：（1）a2b+ab2；（2）a2﹣30b+b2；（3）（a﹣2）（b﹣2）．【分析】（1）先分解因式，然后将a、b的值代入求值；（2）先变形，然后将a、b的值代入求值；（3）直接代入求值．【答案】解：（1）a2b+ab2＝ab（a+b）＝（）＝1×2；（2）a2﹣30b+b2＝（a+b）2﹣2ab﹣30b＝2﹣﹣30＝（2）2﹣2﹣30+60＝78﹣30；（3）（a﹣2）（b﹣2）＝（）（）＝（）＝5﹣4．【点睛】本题考查了根式的化简求值，适当对整式进行变形是解题的关键．【变式6-1】（2019春•芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；（1）x2+y2；（2）．【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，得到x＝﹣1，y＝+1，再求出x﹣y与xy的值，然后根据完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，再整体代入即可；（2）将所求式子变形为，再整体代入即可．【答案】解：（1）∵＝﹣1，＝+1，∴x﹣y＝﹣2，xy＝2﹣1＝1，∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2）2+2×1＝6；（2）∵x2+y2＝6，xy＝1，∴原式＝＝＝6．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．【变式6-2】（2019春•长白县期中）已知﹣＝2，求的值．【分析】利用已知结合完全平方公式求出x2+＝34，进而代入求出即可．【答案】解：∵﹣＝2，∴（﹣）2＝4，∴x+＝6，∴（x+）2＝36，∴x2+＝34，∴＝＝4．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确利用完全平方公式是解题关键．【变式6-3】（2018秋•通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．【分析】先将x和y的值分母有理化后，计算xy和x+y的值，再分别代入（1）和（2）问代入计算即可．【答案】解：∵x＝＝＝3+2，y＝＝＝3﹣2，∴xy＝＝1，x+y＝3+2+3﹣2＝6，∴（1）x2y﹣xy2，＝xy（x﹣y），＝1×，＝4；（2）x2﹣xy+y2，＝（x+y）2﹣3xy，＝62﹣3×1，＝36﹣3，＝33．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解答时应先化简x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式将所求式子进行变形是关键．【考点7二次根式的加减运算】【方法点拨】二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．【例7】（2019春•武昌区期中）计算：（1）（2）【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；（2）直接化简二次根式进而合并得出答案．【答案】解：（1）原式＝2+3﹣＝0；（2）原式＝×3+6×﹣5＝2+3﹣5＝0．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．【变式7-1】（2019春•萧山区期中）计算下列各式：（1）；（2）+4﹣+．【分析】（1）首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式；（2）首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式．【答案】解：（1）原式＝2++2﹣＝+2；（2）原式＝3+2﹣4+＝5﹣．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【变式7-2】（2018春•襄城区期中）计算：（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2【分析】（1）首先化简二次根式进而合并得出答案；（2）首先化简二次根式进而合并得出答案．【答案】解：（1）原式＝6﹣4+3﹣5＝﹣；（2）原式＝﹣﹣+10＝9．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．【变式7-3】（2018春•罗山县期中）（1）（2）【分析】（1）先进行二次根式、三次根式的化简，然后进行加减合并．（2）先去绝对值符号，然后化简二次根式，最后进行合并运算．【答案】解：（1）原式＝9﹣3+＝；（2）原式＝﹣+﹣1﹣3+＝2﹣4．【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，要先进行二次根式的化简，然后再进行合并运算．【考点8二次根式的混合运算】【例8】（2019春•泰兴市校级期中）计算：（1）（2）3【分析】（1）先化简各二次根式，再进一步计算可得；（2）先化简各二次根式、除法转化为乘法，再进一步计算可得．【答案】解：（1）原式＝（2﹣）﹣3（+）＝2﹣﹣﹣3＝﹣﹣；（2）原式＝••（﹣）＝﹣2．【点睛】本题主要考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．【变式8-1】（2019春•广东期中）计算（1）（）÷（2）（3）2﹣（）（）【分析】（1）先化简各二次根式，再计算括号内的加减，最后计算除法即可得；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算可得．【答案】解：（1）原式＝（5+4﹣3）÷2＝6÷2＝3；（2）原式＝19﹣6﹣3+4＝20﹣6．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．【变式8-2】（2019春•杭锦后旗期中）计算：（1）﹣×+（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；（2）根据积的乘方和零指数幂的意义计算．【答案】解：（1）原式＝﹣+2＝4﹣+2＝4+；（2）原式＝[（2﹣）（2+）]2018•（2+）﹣2×﹣1＝（4﹣3）2018•（2+）﹣﹣1＝2+﹣﹣1＝1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【变式8-3】（2019春•莱州市期中）计算：（1）（2）【分析】（1）根据二次根式的加减法和除法可以解答本题；（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．【答案】解：（1）＝（9﹣2+）÷4＝8÷4＝2；（2）＝[（）+3][（）﹣3]＝（）2﹣18＝3﹣6+6﹣18＝﹣9﹣6．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．【考点9分母有理化的应用】【例9】（2019春•西城区校级期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝﹣＝因为﹣＞+，所以﹣＜﹣再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2解决下述两题：（1）比较3﹣4和2的大小；（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．【分析】（1）利用分子有理化得到3﹣4＝，2﹣＝，然后比较3+4和2+的大小即可得到3﹣4与2﹣的大小；（2）利用二次根式有意义的条件得到0≤x≤1，而y＝+，利用当x＝0时，有最大值1，有最大值1得到所以y的最大值；利用当x＝1时，有最小值﹣1，有最下值0得到y的最小值．【答案】解：（1）3﹣4＝＝，2﹣＝＝，而3＞2，4＞，∴3+4＞2+，∴3﹣4＜2﹣；（2）由1﹣x≥0，1+x≥0，x≥0得0≤x≤1，y＝+，当x＝0时，+有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以y的最大值为2；当x＝1时，+有最大值，则有最小值﹣1，此时有最下值0，所以y的最小值为﹣1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【变式9-1】（2019春•微山县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的例如：化简解：材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么＝m±n例如：化简解：+1【理解应用】（1）填空：化简的结果等于；（2）计算：①；②．【分析】（1）根据分母有理化法则计算；（2）①根据完全平方公式、二次根式的性质化简；②先把原式分母有理化，再合并同类二次根式即可．【答案】解：（1）原式＝＝＝4+，故答案为：4+；（2）①＝＝＝﹣；②原式＝﹣1+﹣+4﹣+…+﹣＝﹣1．【点睛】本题考查的是分母有理化、二次根式的化简，掌握分母有理化法则、二次根式的性质是解题的关键．【变式9-2】（2018秋•吴江区期中）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）计算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．【答案】解：（1）4﹣的有理化因式可以是4+，＝＝，故答案为：4+，；（2）①当x＝＝＝＝2+，y＝＝＝＝2﹣时，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（2++2﹣）2﹣2×（2+）×（2﹣）＝16﹣2×1＝14．②原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1．【点睛】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．【变式9-3】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．以上这种化简过程叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．请任用其中一种方法化简：①；②．【分析】①根据平方差公式分母有理化即可求解；②把分子5变为12﹣7，再根据平方差公式分解因式，再约分计算即可求解．【答案】解：①＝＝；②＝＝＝2﹣．【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．【考点10二次根式的应用】【例10】（2018春•嘉祥县期中）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2（a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若a+b＝9，≤；（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？【分析】（1）根据a+b≥2（a、b均为正实数），进而得出即可；（2）根据a+b≥2（a、b均为正实数），进而得出即可．【答案】解：（1）∵a+b≥2（a、b均为正实数），∴a+b＝9，则a+b≥2，即≤；故答案为：；（2）由（1）得：m+≥2，即m+≥2，当m＝时，m＝1（负数舍去），故m+有最小值，最小值是2．【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意结合a+b≥2（a、b均为正实数）求出是解题关键．【变式10-1】（2019•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．【分析】（1）把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解；（2）把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解．【答案】解：（1）p＝＝＝9，S＝＝＝6．答：这个三角形的面积等于6．（2）S＝＝＝＝＝．答：这个三角形的面积是．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．【变式10-2】已知一个三角形的三边长分别为12，，．（1）求此三角形的周长P（结果化成最简二次根式）；（2）请你给出一个适当的a的值，使P为整数，并求出此时P的值．【分析】（1）列出算式，先化简，再进一步合并命即可；（2）给出一个能使根号下开得尽方a的值即可．【答案】解：（1）P＝12++＝4+4+＝．（2）要使P为整数，选a＝12，则P＝51．【点睛】此题考查二次根式的实际运用，注意先化简，再进一步计算即可．【变式10-3】斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数an可表示为[（）n﹣（）n]．（1）计算第一个数a1；（2）计算第二个数a2；（3）证明连续三个数之间an﹣1，an，an+1存在以下关系：an+1﹣an＝an﹣1（n≥2）；（4）写出斐波那契数列中的前8个数．【分析】（1）（2）代入计算即可求解；（3）根据乘法分配律即可证明：an+1﹣an＝an﹣1（n≥2）；（4）根据（3）的关系可求斐波那契数列中的前8个数．【答案】解：（1）a1＝[（）﹣（）]＝×＝1；（2）a2＝[（）2﹣（）2]＝×＝1；（3）证明：an+1﹣an＝[（）n+1﹣（）n+1]﹣[（）n﹣（）n]＝[（）n+1﹣（）n]﹣[（）n+1﹣（）n]＝[（）n（﹣1）]﹣[（）n（﹣1）]＝[（）n（）]﹣[（）n（﹣）]＝[（）n﹣1﹣（）n﹣1]；（4）斐波那契数列中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21．【点睛】此题考查了二次根式的应用，关键是熟悉斐波那契数列的规律．专题1.2勾股定理章末重难点题型【人教版】【考点1利用勾股定理求面积】【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.【例1】（2019春•鄂城区期中）在中，，，，以为边在的外侧作正方形，则正方形的面积是A．5 B．25 C．7 D．10【变式1-1】（2019春•宾阳县期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形的边长为10，则四个正方形，，，的面积之和为A．24 B．56 C．121 D．100【变式1-2】（2019春•武昌区校级期中）如图，中，，以、为直径作半圆和，且，则的长为A．16 B．8 C．4 D．2【变式1-3】（2019春•兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若，，，和分别代表相应的正方形的面积，且，，，，则等于A．25 B．31 C．32 D．40【考点2判断直角三角形】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例2】（2019春•芜湖期中）在以线段，，的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是A．，， B． C．，， D．，，【变式2-1】（2018春•淮南期中）、、为三边，不是直角三角形的是A． B．，， C． D．，，【变式2-2】（2018秋•金牛区校级期中）下列说法中，正确的有①如果，那么是直角三角形；②如果，则是直角三角形；③如果三角形三边之比为，则为直角三角形；④如果三角形三边长分别是、、，则是直角三角形；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-3】（2019春•寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有、、、、、、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是点、点、点 B．点、点、点 C．点、点、点 D．点、点、点【考点3利用勾股定理求最短路径】【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理即可求解.【例3】（2018秋•福田区校级期中）如图，一圆柱高为，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，且，则最短路线长为A． B． C． D．【变式3-1】（2018秋•沙坪坝区校级月考）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为A．15 B．17 C．20 D．25【变式3-2】（2018春•凉州区期末）如图，长方体的底面边长为和，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达，那么所用细线最短需要A． B． C． D．【变式3-3】（2019秋•松滋市期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相对方向有一小虫，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【考点4勾股数相关问题】【方法点拨】勾股数的求法：如果a为1个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数；如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.【例4】（2018秋•新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有组．（填写数量即可）（1）6，8，10（2）1.5，2，2.5（3），，（4）7，24，25（5），，【变式4-1】（2019春•闽侯县期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数，，通常叫做勾股数．如果三角形最长边，其中一短边，另一短边为，如果，，是勾股数，则（用含的代数式表示，其中为正整数）【变式4-2】（2018春•襄城区期中）观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：．【变式4-3】（2019春•永城市期中）探索勾股数的规律：观察下列各组数：，4，，，12，，，24，，，40，可发现，，，请写出第5个数组：．【考点5利用勾股定理求长度】【例5】（2018春•港南区期中）如图，在中，，于点，，，求，的长．【变式5-1】（2018秋•滨湖区期中）在等腰中，已知，于．（1）若，求的度数；（2）若，，求的长．【变式5-2】（2018春•兴义市期中）如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长．【变式5-3】（2018秋•东明县期中）如图，在中，，，正方形的面积为，于点，求的长．【考点6利用勾股定理作图】【例6】（2018秋•越城区期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；（2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为的线段；（3）请你在图3中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形．【变式6-1】（2018春•安庆期中）在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个周长为的，并求它的面积．【变式6-2】（2018春•石家庄期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．【变式6-3】（2018秋•高新区期中）如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个三边长分别为3，，的三角形，一共可画这样的三角形个．【考点7勾股定理的证明】【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.【例7】（2019春•洛阳期中）下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为，，斜边为，．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是图，写出你的验证过程．【变式7-1】（2018秋•兴化市期中）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种证明方法．下图是1876年美国总统伽菲尔德证明勾股定理所用的图形：以、为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使、、三点在一条直线上．（1）求证：；（2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明：．【变式7-2】（2018秋•东台市期中）如图，将绕其锐角顶点旋转得到，连接，延长、相交于点，则有，且四边形是一个正方形．（1）判断的形状，并证明你的结论；（2）用含代数式表示四边形的面积；（3）求证：．【变式7-3】（2019春•东光县期中）和是两直角边为，，斜边为的全等的直角三角形，按如图所示摆放，其中，求证：．【考点8勾股定理逆定理的应用】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例8】（2018春•宾阳县期中）如图，已知在四边形中，，，，，．（1）连结，求的长；（2）求的度数；（3）求出四边形的面积【变式8-1】（2019春•长白县期中）如图，在四边形中，已知，，，且，．求四边形的面积．【变式8-2】（2018春•丰台区期中）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．【变式8-3】（2019春•鄂城区期中）如图，四边形中，，，、分别是和边上的点，且，为的中点，问是什么三角形？请说明理由．【考点9勾股定理的实际应用】【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.【例9】（2019春•东湖区校级期末）数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？【变式9-1】（2019春•内黄县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【变式9-2】（2019春•道里区期末）某地区为了开发农业，决定在公路上相距的、两站之间点修建一个土特产加工基地，使点到、两村的距离相等，如图，于点，于点，，，求土特产加工基地应建在距离站多少的地方？【变式9-3】（2019春•商南县期末）勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端向外移了多少米？（注意：【考点10利用勾股定理解折叠问题】【例10】（2019春•番禺区期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将纸片沿折叠，直角边恰好落在斜边上，且与重合，求的面积．【变式10-1】（2018秋•建邺区期末）如图，把长为的纸条沿，同时折叠，、两点恰好落在边的点处，且，，求的长．【变式10-2】（2019秋•杭州期中）如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点，已知，．（长方形的对边相等，四个角都为直角）（1）求证：；（2）求的长；（3）求重叠部分的面积．【变式10-3】（2018春•杜尔伯特县期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为．（1）求线段长．（2）连接，并求的长．专题1.2勾股定理章末重难点题型【人教版】【考点1利用勾股定理求面积】【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.【例1】（2019春•鄂城区期中）在中，，，，以为边在的外侧作正方形，则正方形的面积是A．5 B．25 C．7 D．10【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式即可得到结论．【答案】解：在中，，，，，四边形是正方形，正方形的面积，故选：．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式1-1】（2019春•宾阳县期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形的边长为10，则四个正方形，，，的面积之和为A．24 B．56 C．121 D．100【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知：；即四个正方形，，，的面积之和为100；故选：．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式1-2】（2019春•武昌区校级期中）如图，中，，以、为直径作半圆和，且，则的长为A．16 B．8 C．4 D．2【分析】根据勾股定理得到，根据圆的面积公式计算，得到答案．【答案】解：由勾股定理得，，，解得，，则，解得，，故选：．【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．【变式1-3】（2019春•兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若，，，和分别代表相应的正方形的面积，且，，，，则等于A．25 B．31 C．32 D．40【分析】如图，根据勾股定理分别求出、，进而得到，即可解决问题．【答案】解：如图，由题意得：，，，．故选：．【点睛】主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点．【考点2判断直角三角形】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例2】（2019春•芜湖期中）在以线段，，的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是A．，， B． C．，， D．，，【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【答案】解：、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；、设三角形三边为，，，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【变式2-1】（2018春•淮南期中）、、为三边，不是直角三角形的是A． B．，， C． D．，，【分析】利用勾股定理的逆定理判断、、选项，用直角三角形各角之间的关系判断选项．【答案】解：、，设，则，，，即，解得，，，故本选项错误；、，，故本选项正确；、，，故本选项正确；、，，故本选项正确．故选：．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断．【变式2-2】（2018秋•金牛区校级期中）下列说法中，正确的有①如果，那么是直角三角形；②如果，则是直角三角形；③如果三角形三边之比为，则为直角三角形；④如果三角形三边长分别是、、，则是直角三角形；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．【答案】解：①正确，由三角形内角和定理可求出为90度；②不正确，因为根据三角形的内角和得不到的角；③正确，设三边分别为，，，则有；④正确，因为．所以正确的有三个．故选：．【点睛】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理和有一角为来判定．【变式2-3】（2019春•寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有、、、、、、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是点、点、点 B．点、点、点 C．点、点、点 D．点、点、点【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．【答案】解：、，，，，不可以构成直角三角形；、，，，，不可以构成直角三角形；、，，，，可以构成直角三角形、，，，，不可以构成直角三角形．故选：．【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．【考点3利用勾股定理求最短路径】【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理即可求解.【例3】（2018秋•福田区校级期中）如图，一圆柱高为，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，且，则最短路线长为A． B． C． D．【分析】根据题意画出图形，连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出即可．【答案】解：如图展开，连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线长，则，，，，，由勾股定理得：，即蚂蚁爬行的最短路线长是，故选：．【点睛】本题考查了勾股定理和平面展开最短路线问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．【变式3-1】（2018秋•沙坪坝区校级月考）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为A．15 B．17 C．20 D．25【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，由勾股定理得：，解得．故选：．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．【变式3-2】（2018春•凉州区期末）如图，长方体的底面边长为和，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达，那么所用细线最短需要A． B． C． D．【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【答案】解：将长方体展开，连接、，则，，根据两点之间线段最短，．故选：．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．【变式3-3】（2019秋•松滋市期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相对方向有一小虫，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．【答案】解：如图所示：最短路径为：，将圆柱展开，，最短路程为．故选：．【点睛】此题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．【考点4勾股数相关问题】【方法点拨】勾股数的求法：如果a为1个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数；如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.【例4】（2018秋•新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有组．（填写数量即可）（1）6，8，10（2）1.5，2，2.5（3），，（4）7，24，25（5），，【分析】根据勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案．【答案】解：因为；，6，8，10，7，24，25都是正整数勾股数有2组，故答案为2．【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．【变式4-1】（2019春•闽侯县期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数，，通常叫做勾股数．如果三角形最长边，其中一短边，另一短边为，如果，，是勾股数，则（用含的代数式表示，其中为正整数）【分析】根据勾股定理解答即可．【答案】解：，，故答案为：【点睛】本题考查了勾股数，根据勾股定理解答是解题的关键．【变式4-2】（2018春•襄城区期中）观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：．【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第组数，则这组数中的第一个数是，第二个是：，第三个数是：．根据这个规律即可解答．【答案】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是；第二个是：；第三个数是：．所以第⑦组勾股数：16，63，65．故答案为：16，63，65．【点睛】考查了勾股数，规律型：数字的变化类，观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键．【变式4-3】（2019春•永城市期中）探索勾股数的规律：观察下列各组数：，4，，，12，，，24，，，40，可发现，，，请写出第5个数组：．【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．【答案】解：①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，，故答案为：11，60，61．【点睛】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．【考点5利用勾股定理求长度】【例5】（2018春•港南区期中）如图，在中，，于点，，，求，的长．【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据直角三角形的面积公式求得斜边上的高，进一步根据勾股定理即可求得的长．【答案】解：，，，．根据直角三角形的面积公式，得．在中，．【点睛】考查了勾股定理、此题要熟练运用勾股定理以及直角三角形的面积公式，直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．【变式5-1】（2018秋•滨湖区期中）在等腰中，已知，于．（1）若，求的度数；（2）若，，求的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，可以求得的度数；（2）根据题目中的数据和勾股定理，可以求得的长．【答案】解：（1）在等腰中，，，，，，，，；（2），，，，，设，则，，，，解得，，即．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式5-2】（2018春•兴义市期中）如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长．【分析】先设，则，再运用勾股定理分别在与中表示出，列出方程，求解即可．【答案】解：设，则．在中，，，在中，，，，即，解得，，．故的长为8．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，根据的长度不变列出方程是解题的关键．【变式5-3】（2018秋•东明县期中）如图，在中，，，正方形的面积为，于点，求的长．【分析】根据正方形的面积公式求得．然后利用勾股定理求得；则利用面积法来求的长度．【答案】解：正方形的面积为，，，，．，，．【点睛】本题考查了勾股定理．解答该题时，需要熟记正方形的面积公式．【考点6利用勾股定理作图】【例6】（2018秋•越城区期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；（2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为的线段；（3）请你在图3中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形．【分析】（1）根据三角形的面积公式画出图形即可；（2）画出以1和2为长方形的宽和长的对角线的长即可；（3）先画出边长为的线段，再画出直角三角形即可．【答案】解：（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【变式6-1】（2018春•安庆期中）在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个周长为的，并求它的面积．【分析】根据勾股定理在方格中作出三角形的三条边，根据直角三角形的面积公式、矩形的面积公式计算即可．【答案】解：是一个周长为三角形，的面积．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理作出三角形的三条边是解题的关键．【变式6-2】（2018春•石家庄期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．【分析】（1）根据正方形的面积为10可得正方形边长为，画一个边长为正方形即可；（2）①画一个边长为，，的直角三角形即可；②画一个边长为，，的直角三角形即可；【答案】解：（1）如图①所示：（2）如图②③所示．【点睛】此题主要考查了利用勾股定理画图，关键是计算出所画图形的边长是直角边长为多少的直角三角形的斜边长．【变式6-3】（2018秋•高新区期中）如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个三边长分别为3，，的三角形，一共可画这样的三角形个．【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；（2）由勾股定理容易得出结果．【答案】解：（1），即为所求，如图1所示：（2）如图2所示：，，，，，都是符合条件的三角形，一共可画这样的三角形16个；故答案为：16．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、作图应用与设计作图；熟记勾股定理是解决问题的关键．【考点7勾股定理的证明】【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.【例7】（2019春•洛阳期中）下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为，，斜边为，．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是图，写出你的验证过程．【分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案．【答案】解：选择的是图2，证明：，，，整理，得，．故答案为：2，【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键．【变式7-1】（2018秋•兴化市期中）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种证明方法．下图是1876年美国总统伽菲尔德证明勾股定理所用的图形：以、为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使、、三点在一条直线上．（1）求证：；（2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明：．【分析】（1）由全等三角形的判定于性质解答；（2）用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．【答案】解：（1），．，，．（2）由（1）知是一个等腰直角三角形，．又，，，即．【点睛】此题考查了勾股定理的证明，此题主要利用了三角形的面积公式：底高，和梯形的面积公式：（上底下底）高证明勾股定理．【变式7-2】（2018秋•东台市期中）如图，将绕其锐角顶点旋转得到，连接，延长、相交于点，则有，且四边形是一个正方形．（1）判断的形状，并证明你的结论；（2）用含代数式表示四边形的面积；（3）求证：．【分析】（1）利用旋转的性质得出，，即可得出的形状；（2）利用四边形的面积等于正方形面积，即可得出答案；（3）利用四边形面积等于和的面积之和进而证明即可．【答案】（1）是等腰直角三角形，证明：绕其锐角顶点旋转得到在，，，又，是等腰直角三角形；（2）四边形的面积等于正方形面积，四边形的面积等于：．（3）即：，整理：．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及图形面积求法和勾股定理的证明等知识，根据已知得出是解题关键．【变式7-3】（2019春•东光县期中）和是两直角边为，，斜边为的全等的直角三角形，按如图所示摆放，其中，求证：．【分析】连结，过点作边上的高，根据即可求解．【答案】证明：连结，过点作边上的高，则．．又【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．【考点8勾股定理逆定理的应用】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例8】（2018春•宾阳县期中）如图，已知在四边形中，，，，，．（1）连结，求的长；（2）求的度数；（3）求出四边形的面积【分析】（1）连接，利用勾股定理解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；（3）根据三角形的面积公式解答即