复合材料力学课件第06章-层合平板的弯曲屈曲和振动

第六章层合平板的弯曲、

屈曲与振动回总目录§6.2

层合平板的弯曲§6.1

引言§6.3

层合平板的屈曲§6.4

层合平板的振动§6.5

层合板中耦合影响的简单讨论2021/10/10星期日1本章研究的层合平板是各种复合材料层合板中最简单又应用最广泛的一种，其限制是：每层单层板是正交各向异性的，但材料主方向不一定与层合板坐标轴一致；材料是线弹性的，且层合板是等厚度的。板的厚度与其长度和宽度相比很小，即为薄板。不考虑体积力§6.1引言2021/10/10星期日2d)与层合板理论的假设相同，对于薄层合板有下列基体假设：(1)即近似为平面应力状态，只考虑和。

(2)采用直法线假设，横向剪应变以及近似为零,即固有的中面法线不变形。这与有矛盾，但通常忽略不计。以及是的线性函数。(3)位移和与板厚相比较很小，应变与1相比很小,且略去转动惯量。2021/10/10星期日3这些假设表明：讨论的是小应变和小挠度问题；另外假设限于正交各向异性材料，只分析经典层合板理论而不考虑层间应力和横向剪切影响。2021/10/10星期日4§6.2层合平板的弯曲问题是在横向载荷

作用下求解

合板的挠度、变形和应力。图6-1层合平板的几何尺寸2021/10/10星期日5图6-2作用于板上的力和力偶2021/10/10星期日6一、平衡方程层合板的合力和合力矩与中应变与曲率有下列关系2021/10/10星期日7式中有2021/10/10星期日8从层合板中取一元素其上作用合力和合力矩，如图6-3,从层合板中取一板元素图6-3板元素受力图2021/10/10星期日9不计体积力，用合力和合力矩表示的平衡方程为x方向平衡y方向平衡z方向平衡绕y轴力矩平衡绕x轴力矩平衡2021/10/10星期日10由上式后三式综合得将第四章的刚度矩阵和(6.1)代入(6.2)和(6.3)可得到用表示的平衡方程2021/10/10星期日11上述三个方程是相互耦合的,必须联立求解引进下列算子2021/10/10星期日122021/10/10星期日13

其中算子和含有系数，反映拉伸、弯曲的耦合效应；分别反映拉伸、剪切耦合和弯曲、扭转耦合。这时平衡方程式(6.4),(6.5),(6.6)可简单表示为当层合板对称于中面时，则式(6.4)、式(6.5)与式(6.6)相互独立，由式(6.6)得出2021/10/10星期日14对称层合板弯曲的平衡方程为用式(6.7)表示，则为与的方程相互独立，可分别求解。2021/10/10星期日15

式(6.9)表示，它与均匀材料各向异性板的方程形式一样，只是在时有所不同。

如果是特殊正交各向异性层合板，由于，平衡方程简化为此式与正交各向异性均匀材料板方程形式一样。2021/10/10星期日16，平衡方程为如果各层均为各向同性材料，但每层材料不一定相同，则这与各向同性板方程形式完全一样。2021/10/10星期日17二、边界条件

非对称层合板的一般情况，需要联合求解平面问题和弯曲问题。相应地，在边界条件中也要同时规定平面边界条件和弯曲边界条件，对于四阶微分方程，每边需要有4个边界条件。8种可能类型的简支和固支边界条件一般分类如下：2021/10/10星期日181.简支边界条件(用s表示)式中符号意义见图6-4，n,t分别表示法线和切线。2021/10/10星期日192.固支边界条件(用c表示)矩形板的4边，每边可用上述8种边界条件的任一种表示，因此可能范围很大，如果再考虑自由边界条件，则每边有12种可能的边界条件，这里只讨论四边简支的矩形层合板。2021/10/10星期日20图6-4边界条件符号意义2021/10/10星期日21三、简支层合板的弯曲

考虑一四边简支并承受分布横向载荷作用的矩形层合板，如果6-5所示：图6-5四边简支矩形层合板2021/10/10星期日22

用双三角级数解，将横向载荷展开为：

一般来说，为任意正整数，可由下式求出

对于均布载荷，可得出2021/10/10星期日23下面分别讨论几个特殊层合板情况的解1.特殊正交各向异性层合板这里指特殊正交各向异性材料单层板或对称于中面的多层特殊正交各向异性层合板，由于

又

既不存在拉-弯耦合，也不存在拉剪和弯扭耦合，板的挠度只由下面的平衡方程描述

这里指特殊正交各向异性材料单层板或对称于中面的多层特殊正交各向异性层合板，由于

这里指特殊正交各向异性材料单层板或对称于中面的多层特殊正交各向异性层合板，由于

2021/10/10星期日24简支边界条件为由于在微分方程中不出现，故边界条件很简单。设挠度为2021/10/10星期日25满足上述边界条件，将此式代入方程可得代入式可得的精确解，对于均布载荷有解代入式可得的精确解，对于均布载荷有解2021/10/10星期日26由可求应变和应力，注意式中只用表示层合板的刚度。2.对称角铺设层合板层合板对称，。这类层合板不为零，其基本方程为(6.8)2021/10/10星期日27边界条件为由于存在，挠度的表达式不能象那样用双三角级数展开，否则和将出现正弦和余弦奇次函数，变量不能分离，此外挠度展开式也不能满足边界条件，因此只能用近似解法——瑞利-利茨法(Rayleigh-Ritz)2021/10/10星期日28应变能将第四章刚度表达式第二式代入上式2021/10/10星期日29外力所做的功为层合板总势能为2021/10/10星期日30仍选取(6.14)的表达式，它满足位移边界条件，即但不满足力的边界条件，即这时可用最小势能原理，将表达式代入表达式，由最小势能原理

如果选取则由上式得到49个线性代数方程，可解得49个未知量。2021/10/10星期日31对于受均布载荷作用的方板(a=b),当和其精确解层合板最大挠度为时，得到如果忽略和,即把对称角铺设近似地作为即把对称角铺设近似地作为即把对称角铺设近似地作为2021/10/10星期日323.反对称正交铺设层合板反对称正交铺设层合板的拉伸刚度有弯曲、拉伸耦合刚度有弯曲刚度有。与特殊正交各向异性层合板的特殊正交各向异性层合板，最最大挠度为和2021/10/10星期日33相比，出现，因此平衡方程是联立的，即2021/10/10星期日34选择S2简支边界条件2021/10/10星期日35选取下列位移函数它满足平衡方程(6.19)和边界条件(9.20)，所以是精确解。如果横向载荷q取双三角级数第一项，即2021/10/10星期日364.反对称角铺设层合板这种层合板，拉弯耦合有基本微分方程为2021/10/10星期日37选取式边界条件S32021/10/10星期日382021/10/10星期日39它们满足平衡方程和边界条件，因此是精确解。取位移函数如下总之，求得位移函数后通过几何方程和物理方程可进一步确定各应变和应力分量，在计算应力时，按各层刚度情况逐层进行计算。2021/10/10星期日40§6.3层合平板的屈曲层合薄板的屈曲是指在平面内压缩和剪切载荷作用下，当载荷增加到一定值时产生有横向挠度的另一种平衡状态，此时属于不稳定平衡状态，通常称板发生屈曲，相应于产生屈曲的载荷值称为临界载荷。理论上讲，板的屈曲形式和临界载荷值有无穷多个，但实际应用只需求得其中最小的一个临界载荷值，并称为屈曲载荷。2021/10/10星期日41一、屈曲方程和边界条件假设屈曲以前是薄膜应力状态，不考虑拉弯耦合影响，当薄板受平面载荷时，由薄膜状态进入屈曲状态，控制微分方程为2021/10/10星期日42式中表示从屈曲前的平衡状态开始的变分，依次是力和力矩的变分，为位移的变分。其中合力和合力矩的变分与应变变分的关系仍用式2021/10/10星期日43用位移表示的屈曲方程与弯曲方程相似(除用变分符号外)，但二者有本质不同，弯曲问题数学上属边界值问题，而屈曲问题属求特征值问题。其本质是求引起屈曲的最小载荷，而屈曲后的变形大小是不确定的。屈曲问题的所有边界条件都是其齐次的，即皆为零，这样边界条件为2021/10/10星期日44简支固支2021/10/10星期日456.3.2.在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲考虑沿着方向作用均匀平面力的四边简支矩形层合板如图所示，现分别讨论一下几种情况。图6-6均布单向平面压力下简支矩形层合板2021/10/10星期日461.特殊正交各向异性层合板这种层合板没有拉弯耦合、拉剪耦合和弯扭耦合，即，对于板的屈曲载荷问题，只有一个屈曲方程来描述边界条件为四边简支2021/10/10星期日47上述四阶微分方程和相应其次边界条件的解与前面弯曲问题的一样，可选取它满足边界条件，式中和分别是和方向屈曲半波数，将(6.27)代入(6.26)，得到显然当时，有最小值，所以临界屈曲载荷为2021/10/10星期日48不同下的最小值并不明显，它随不同刚度和板的长宽比而变化。2.对称角铺设层合板此时，屈曲方程为2021/10/10星期日49边界条件为与讨论弯曲问题时类似，由于存在不能得到封闭解，可得到一类似瑞利-里茨解，取此式只满足位移的边界条件，不满足力的边界条件，因而其结果是缓慢地收敛到真实解。2021/10/10星期日503.反对称正交铺设层合板由于存在拉弯耦合，屈曲方程式联立的,即2021/10/10星期日51取S2简支边界条件为选取2021/10/10星期日52满足全部边界条件，将(6.32)代入(6.30)得到精确解为其中2021/10/10星期日53注意，若则若则方程(6.33)化成特殊正交各向异性层合板的解式(6.28)。式(6.33)是的复杂函数，因此必须从包括全部和值的研究过程(即求出式(6.33)表示的最小屈曲载荷，而不是由对于和的一阶偏导数等于零的方法求得。2021/10/10星期日54§6.4层合平板的振动对于板的振动问题，主要是求解板的固有频率和振型，这里限于讨论自由振动，与屈曲问题类似，板的个固有频率理论上有无穷多个，其中最低的频率称为板的基频，与屈曲问题不同的是工程上除基频外，有时也需要求出其他更高阶的频率值，另外，往往需要了解相应于各阶频率的振型。一、振动方程和边界条件考虑到板的运动惯性力，振动方程为2021/10/10星期日55其中表示从平衡状态其的变分，挠度不只是而且时间的函数，是板的单位体积质量，是加速度。考虑无横向载荷并略去平面载荷，板的自由振动方程为2021/10/10星期日56边界条件和屈曲问题一样。二、简支层合板的自由振动考虑一四边简支矩形层合板在惯性力作用下的自由振动。1.特殊正交各向异性层合板其刚度系数振动频率和振型由下列振动方程描述2021/10/10星期日57边界条件为选取将此问题分为时间和空间两部分，为使式(6.38)满足方程(6.36)和边界条件(6.37)，进一步选取2021/10/10星期日58即将上式代入方程(6.36)，得式中各频率对应于不同振型，当时得到基频。2021/10/10星期日59例如