2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第18炼 利用导数解函数的最值含答案

2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第18炼利用导数解函数的最值含答案第18炼函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最大值点，称为函数的最大值（2）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最小值点，称为函数的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到。没有最大值。（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个。2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点8、最值点的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式二、典型例题：例1：求函数的最值思路：首先判定定义域为,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值解：，令,解得：的单调区间为：，无最小值小炼有话说：函数先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。例2：已知函数,是的一个极值点，求：（1）实数的值（2）判断在区间上是否存在最大值和最小值解：（1）是的一个极值点（2）思路，由第（1）问可得，进而求出单调区间得到最值解：,令,解得：或的单调区间为：计算小炼有话说：在本题中，最小值的求解尽管不在所给区间中，但也需要代入到中计算，此时计算出的是函数左边界的临界值，如果，则函数就不存在最小值了。所以在求定义域为开区间的函数最值时，也要关注边界处的临界值。例3：已知函数,是否存在实数，使得在上取得最大值，最小值若存在，求出的值，若不存在，请说明理由思路：利用求出函数的单调区间，在根据单调区间判断最大最小值点的可能位置，进而根据最大最小值解出解：，（1）当时，在单调递减（2）当时，在单调递增或小炼有话说：本题在求最值时由于函数带有参数，从而在解单调区间的过程中涉及到对参数的分类讨论。从而确定最值的选取（有关含参数单调区间的计算详见2.1）例4：求函数()的最值思路一：考虑去掉绝对值得到一个分段函数，在利用导数求出每段的最值，再进行比较解：恒成立当时，可得：在单调递增，在单调递减时,当时，在单调递减，当时，可得函数的最值为，思路二：考虑先求出绝对值里表达式的值域，然后在加上绝对值求出最值。解：令,令，解得:或的单调区间为：的值域为的值域为，小炼有话说：（1）第一种方法为处理含绝对值函数的常用方法，绝对值的函数中若绝对值内部比较简单，则通常先通过讨论绝对值内部的符号，将函数转化成为分段函数进行分析，而求分段函数的最值时可分别求出每一段的最值再进行比较（2）第二种方法用于当绝对值内部的符号不易确定时（例如绝对值为0的点不好确定），也可考虑先求出内部的取值范围，再取绝对值进而得到值域。例5：已知函数的定义域为，求在上的最值思路：的单调区间可通过导数来确定，,是的极值点，而极值点是否在会影响最值点的选取，从而要依次进行分类讨论解：，令解得在单调递减，在单调递增为的极小值点（1）当时，在单调递增（2）当时，在单调递减，在单调递增下面比较的大小若时，当时，当时，综上所述：时，时，，时，时，例6：已知函数在区间上取得最小值4，则___________．思路一：函数的定义域为，．当时，，当时，，为增函数，所以，，矛盾舍去；当时，若，，为减函数，若，，为增函数，所以为极小值，也是最小值；①当，即时，在上单调递增，所以，所以（矛盾）；②当，即时，在上单调递减，，所以．③当，即时，在上的最小值为，此时（矛盾）．综上．思路二：，令导数，考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处取得，因此可假设分别为函数的最小值点,求出后再检验即可。答案：小炼有话说：（1）思路一为传统解法，即考虑函数是否有极值点，以及结合函数单调性分析最小值点的位置，但由于函数含有参数，导致解单调区间和极值点时要进行分类讨论，过程较为复杂（2）思路二的想法源于最值点的出处，即最值点只会在边界点与极值点处产生，而本题中的边界点与可能的极值点个数较少，故采取先算再验的手段，方法比较简便。例7：已知函数在上是增函数，函数.当时，函数的最大值与最小值的差为，则________.思路：含有绝对值，故考虑利用分段函数去掉绝对值后寻找最值，先利用的条件确定的取值范围，，由在上是增函数可得对任意的，恒成立，而，，，绝对值的分界点为，由及定义域需对是否在区间中进行分类讨论（1）当时，则，可判断出为减函数，故舍去（2）当时，时，单调递减，当时单增，。，所以。所以，从而有，解得。答案：例8：若函数有最小值，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.思路：观察到真数部分为开口向上的抛物线，所以若取到最小值，则底数且真数取到最小值，而真数部分恒大于零，所以只需有大于零的最小值即可。，从而，解得，另一方面，所以答案：C例9：已知在区间上任取三个不同的数,均存在以为边长的三角形,则的取值范围是.思路：考虑三角形成立的条件：两条较短的边的和大于第三边，由于任取，也可取值域中的任意值。要保证能构成三角形，满足两个条件：①均大于零，即，②极端情形短边均取最小值，和大于第三边即可。令结合定义域解得：，故在单调减，在单调增。，，答案：例10：若函数在上有最小值，则实数的取值范围是()A．B．C．D．思路：，令或，所以在单调递增，在单调递减，为函数的极小值点。因为函数在上有最小值，则函数的极小值点必在区间内，且左端点的函数值不小于，,答案：C第19炼利用函数证明数列不等式利用函数证明不等式是在高考导数题中比较考验学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数，数列，不等式连接在一起，也是近年来高考的热门题型。一、基础知识：1、考察类型：（1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题（2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题2、恒成立不等式的来源：（1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式。（2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向。其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式3、常见恒成立不等式：（1）对数→多项式（2）指数→多项式4、关于前项和的放缩问题：求数列前项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几种：（1）倒序相加：通项公式具备第项与第项的和为常数的特点（2）错位相减：通项公式为“等差等比”的形式（例如，求和可用错位相减）（3）等比数列求和公式（4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消。注：在放缩法处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑。5、大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式。6、在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向7、放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）8、数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明（有时更容易发现所证不等式与题目条件的联系）二、典型例题：例1：已知函数在处取得极值（1）求实数的值（2）证明：对于任意的正整数，不等式都成立解：（1）为的极值点（2）思路一：联想所证不等式与题目所给函数的联系，会发现在中，存在对数，且左边数列的通项公式也具备项的特征，所以考虑分析与的大小关系，然后与数列进行联系。解：下面求的单调区间,令即（每一个函数的最值都会为我们提供一个恒成立的不等式，不用白不用！观察刚好与所证不等式不等号方向一致）令，则即 即小炼有话说：（1）此不等式实质是两组数列求和后的大小关系（），通过对应项的大小关系决定求和式子的大小。此题在比较项的大小时关键是利用一个恰当的函数的最值，而这个函数往往由题目所给。另外有两点注意：①关注函数最值所产生的恒成立不等式②注意不等号的方向应该与所证不等式同向（2）解决问题后便明白所证不等式为何右边只有一个对数，其实也是在作和，只是作和时对数合并成一项（与对数运算法则和真数的特点相关），所以今后遇到类似问题可猜想对数是经历怎样的过程化简来的，这往往就是思路的突破点思路二：发现不等式两边均有含的表达式，且一侧作和，所以考虑利用数学归纳法给予证明：解：用数学归纳法证明：①当时，不等式为成立②假设时，不等式成立（即）当时，若要证只需证（下同思路一：分析的最值可得）令，由恒成立不等式可得即所证不等式成立③，均有小炼有话说：利用数学归纳法证明要注意两点：（1）格式的书写（2）要利用所假设的条件例2：已知函数（1）当时，求函数的单调区间（2）当时，函数图像上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围（3）求证：（其中是自然对数的底数）解：（1）常规解法，求出单调区间找最值,令求出单调区间如下：（2）解：函数图像上的点都在区域内，条件等价于,恒成立，即令令即①时，不符合题意（此时发现单调性并不能直接舍掉的情况，但可估计函数值的趋势，恒为正，而早晚会随着值的变大而为正数，所以必然不符合题意。在书写时可构造反例来说明，此题只需即可，所以选择）②时，即在单调递减，符合题意综上所述：（3）思路：观察所证不等式，左边连乘，右边是，可以想到利用两边取对数“化积为和”，同时利用第二问的结论。第二问给我们提供了恒成立的不等式，时，，取，即，则可与左边的求和找到联系。解：所证不等式等价于由（2）可得，令，即（左边可看做是数列求和，利用结论将不等式左边的项进行放缩，转化成可求和的数列——裂项相消）不等式得证小炼有话说：（1）第二问中代数方法与数形结合方法的抉择（体会为什么放弃线性规划思路），以及如何将约束条件转变为恒成立问题（2）对数运算的特点：化积为和。题目中没有关于乘积式的不等关系，于是决定变为和式（3）利用上一问的结论放缩通项公式，将不可求和转变为可求和，进而解决问题例3：已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，若恒成立，求满足条件的正整数的值；（3）求证：.解：（1）若当时，在上单调递增当时，在上单调递减（2）思路：不等式等价于，即而在第（1）问中即为的分子，故考虑利用来确定的符号，进而求出的单调区间及最值解：，由（1）得单调递增,(尽管无法直接求出的零点，但可估计出且，所以可估计零点的所在区间）的单调区间如下：（3）思路：由第（2）问得时，均有，所证不等式可两边同取对数“化积为和”，再考虑利用结论进行放缩解：所证不等式等价于：由第（2）问可得：即原不等式成立。（如果从第一项就进行缩小，则，发现缩小过度但差距不大，所以进行调整，第一项不变，其余放缩。这样不仅减少缩小的尺度，同时不改变求和规律）小炼有话说：这道题是对书中几篇文章所讲技巧的一个综合。所涉内容如下：（1）第二问中对零点的处理，参见：3.1.3最值分析法（2）第三问中数列放缩后的调整值得注意，放缩的过程中有可能存在“放过头”的情况，往往是由于前几项放缩程度过大造成的（通常越大，放缩的程度越小），所以考虑数列前几项不进行放缩，然后再看不等式能否成立，若一直都“过度”一点点，那么就要考虑是否另选放缩方案了。例4：设函数，其中。:（1）当时，讨论函数在其定义域上的单调性；（2）证明：对任意的正整数，不等式都成立。解析：（1），令即解不等式①时方程的两根，的单调区间为：②时，恒成立在单调递增（2）考虑时，则令在恒成立在单调递增，令即：例5：已知函数的最小值为0，其中。（1）求的值（2）若对任意的，有成立，求实数的最小值（3）证明：解：（1）,定义域令解得，的单调区间为：（2）当时，取，有，故不合题意。当时，令，即。，令，得当时，在上恒成立因此在上单调递减，对于任意的，总有，即在上恒成立。故符合题意。当时，，，在内单调递增，取时，，即不成立。故不合题意综上，的最小值为。（3）由第（2）问可得：当时，不等式恒成立令即即例6：已知函数（1）求的最大值；（2）证明不等式：。解：（1），令，单调区间如下：（2）思路：左边可看做数列求和，其通项公式为，无法直接求和，所以考虑利用条件进行放缩，右边是分式，可以猜想是等比数列求和后的结果，所以将放缩为等比数列模型。由（1）可得，令进行尝试解：由（1）可得令，即（寻找次方的来源）不等式得证小炼有话说：此题的第（3）问将数列通项公式放缩为等比数列求和，如果不等式的一侧是一个分数，则可向等比数列求和的结果考虑（猜想公比与首项）。例7：函数.（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：.（1）解：恒成立不等式等价于：，令(注：在中这三个自变量的函数值最便于计算，进而选择代入）可视为关于的一次函数且递增令则对恒成立。若要，只需，下面进行证明：,只需证即可考虑时，从而（注：导数无法求出极值点，故引入抽象的极值点,但要利用零点存在性定理估计所在区间）,使得且当在单调递减，在单调递增恒成立,进而对每一个均满足（2）思路：将左边视为数列求和，其通项公式为(注意左边是项求和），考虑利用前面条件对通项公式放缩：令，则恒成立，但如果直接进行代入，不等号右边的无法处理，进而无法与所证不等式的右边找到联系。考虑将挪至左侧并与合角，进而将三角函数放缩为多项式。再根据求和特点进行求和解：由（2）可得：令可得(注：通项公式为，而恒成立不等式中的三角函数为，所以令，反求即可）小炼有话说：（1）关注本题第二问恒成立的求法（具体可参见3.3.3有关内容），在证明上需要极值点而无法直接求出时可先用抽象的代替，但要确定好所处的大概区间（2）第三问对第二问的结论稍加变形（即将与进行合角，而不是直接代入)的应用是本题的一大亮点。方程，不等式的变形目的是将条件与结论能够连接起来，所以构造时要关注所求不等式的结构特点。（3）第三问不等式的左边有两个细节：第一个是左边求和的项数是项，第二个在中，同一个所代表的含义不同。分母每一项都是,与项数相关。给定一个，数列项的分母就固定了。而分子的代表的是序数，可发现数列中分子是在不断变化的，从1变到,在，同一个在分子分母中扮演的角色不同。所以在写通项公式时，引入了字母用来区分序数与项数。例8：定义：若在上为增函数，则称为“次比增函数”，其中，已知:（1）当时，求函数在上的最小值（2）求证：解：（1）令解得在单调递减，在单调递增①时，②，③，综上所述：（2）由第（1）问可得：时，，即所求和的通项公式为，由可得：，令，可得：例9：已知函数（1）设，讨论函数在区间上的零点个数（2）记，若对任意正整数，对任意恒成立，则称在上是“高效”的。试判断是否在上是“高效”的？若是，请给出证明，若不是，请说明理由解：（1），令即的零点个数即为函数与交点的个数设，，令解得单调区间如下：，草图如下：或时，无零点或，一个零点，两个零点（2）思路：观察到结构上与（2）中的很相似，而实质上是，故考虑对每一项进行放缩使得求和具有规律性，结合的特点可写成（将视为