高中数学同步讲义（人教A版必修二）第30讲 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（教师版）

第07讲8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课程标准学习目标①了解空间中两直线间的位置关系。②理解空间中直线与平面的位置关系。③掌握空间中平面与平面的位置关系。1.通过本节内容的学习，逐步改变学生只习惯于在一个平面内考虑问题的状态学生将对立体几何的认识日渐提高，同时更好地提升学生直观想象和逻辑推理等核心素养；知识点01：异面直线（1）异面直线的概念不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（2）异面直线的画法画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托（3）异面直线的判定①定义法②两直线既不平行也不相交知识点02：空间中直线与直线的位置关系eq\a\vs4\al(位置,关系)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；,平行直线：同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))知识点03：空间中直线与平面的位置关系（1）直线与平面的位置关系位置关系直线在平面内直线在平面外直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点只有1个公共点没有公共点符合表示图形表示【即学即练1】（2024上·上海·高二上海市复旦中学校考期末）直线上所有点都在平面α内，可以用符号表示为．【答案】【详解】由题意直线上所有点都在平面α内，则直线l在平面α内，故用符号表示为，故答案为：（2）直线与平面的位置关系的分类①按公共点个数分类：②按直线是否在平面内分类：（3）直线与平面的位置关系的画法①直线在平面内的画法把直线画在表示平面的平行四边形内②直线与平面相交的画法把直线的一部分画在表示平面的平行四边形外，作出有且只有一个的交点，直线被平面遮挡的部分不画或画为虚线③直线与平面平行的画法把直线画在表示平面的平行四边形外，并使直线与表示平面的平行四边形的组对边平行.知识点04：空间中平面与平面的位置关系（1）平面与平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示图形表示（2）平面与平面的位置关系的分类（3）平面与平面的位置关系的画法①两个平面平行的画法当两个平面平行时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行②两个平面相交的画法：被遮住的线，可以用虚线表示，也可以不画题型01空间中两条直线位置关系的判断【典例1】（2024上·北京·高二统考学业考试）在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（

）A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线【答案】D【详解】由题意知在空间中，两条直线与没有公共点，即与不相交，则a与b可能平行，也可能是异面直线，故选：D【典例2】（2024上·上海·高二专题练习）若直线，直线，则直线b、c的位置关系为.（用文字表述）【答案】相交或异面【详解】假设，因为，由平行线的传递性可知，与条件相矛盾，所以直线b、c的位置关系可以是相交或者异面，如图1，直线b、c相交，如图2，直线b、c异面，故答案为：相交或异面.【变式1】（2024·全国·高一假期作业）在棱长为1的正四面体中，直线与是（

）．A．平行直线 B．相交直线 C．异面直线 D．无法判断位置关系【答案】C【详解】作出正四面体，如图，

因为平面，平面，，平面，所以与是异面直线.故选：C.【变式2】（2024上·上海·高二专题练习）已知三条直线，，满足且，则与（

）A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面【答案】B【详解】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可能异面.故选：B.题型02直线与平面的位置关系【典例1】（2024·全国·高二专题练习）“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若直线与平面没有公共点，那直线与平面只能平行，故充分条件成立；若直线与平面平行，则直线与平面没有公共点，故必要性也成立，所以“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的充分必要条件.故选：.【典例2】（2024·全国·高一假期作业）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？（1）AM所在的直线与平面ABCD；（2）CN所在的直线与平面ABCD；（3）AM所在的直线与平面CDD1C1；（4）CN所在的直线与平面A1B1C1D1.【答案】（1）相交；（2）相交；（3）平行；（4）相交.【详解】（1）平面ABCD，平面ABCD，AM所在的直线与平面ABCD相交.（2）平面ABCD，平面ABCD，CN所在的直线与平面ABCD相交.（3）因为在正方体中，平面平面CDD1C1,平面,所以AM所在的直线与平面CDD1C1平行.（4）因为CN所在的直线与平面ABCD相交，平面平面，所以CN所在的直线与平面A1B1C1D1相交.【变式1】（2024·全国·高一假期作业）已知空间中点A，B，直线l，平面α，若，，，，则下列结论正确的是（

）．A． B．l与ɑ相交 C． D．以上都有可能【答案】B【详解】因为，，所以，又因为，，所以l与ɑ相交，故选：B【变式2】（2024·全国·高二专题练习）若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是．【答案】或【详解】若直线在平面外，则；若直线在平面内，符合条件.或故答案为:或题型03平面与平面的位置关系【典例1】（2023上·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试），是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】D【详解】充分性：若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则由不能推出，也可能相交，故充分性不成立；必要性：若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则由不能推出，也可能异面，故必要性不成立；故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D【典例2】（2024·全国·高一假期作业）已知平面，和直线a，b，且，，，则与的位置关系是；【答案】或与相交【详解】由，，，得或与相交，如图所示:

故答案为:或与相交.【变式1】（2024·全国·高一假期作业）两条直线无公共点，则这两条直线平行或异面，若两个平面不相交，则这两个平面的位置关系为．【答案】平行【详解】解：因为两个平面不相交，所以这两个平面没有公共点，所以，这两个平面平行．故答案为：平行【变式2】（2024·全国·高一假期作业）若点,则平面与平面α的位置关系是．【答案】相交【详解】∵点，即平面与平面有公共点，且不重合，∴平面与平面的位置关系是相交．故答案为:相交题型04异面直线【典例1】（2023上·上海·高二华师大二附中校考阶段练习）已知正方体，设直线平面，直线平面，记正方体12条棱所在直线构成的集合为．给出下列四个命题：①中可能有4条直线与a异面；②中可能有5条直线与a异面；③中可能有8条直线与b异面；④中可能有10条直线与b异面．A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②④【答案】C【详解】当直线取时，中只有四条直线（、、、）与直线异面，故①正确；因为直线平面，所以不可能与直线异面，当直线过底面两个顶点时，若直线为底面边所在直线，则由①可知，此时只有四条直线与直线异面；若直线为底面对角线，不妨设为，此时有超过5条直线与直线异面；当直线只过底面一个顶点（不妨设过顶点）时，此时至少有超过5条直线与直线异面；当直线不过底面任何一个顶点时，此时至少有超过5条直线与直线异面；综上，中不可能有5条直线与a异面，故②错误；当直线取线段AD中点与线段的中点连线时，中除了AD和之外的10条棱均与直线异面，故④正确；当直线取A点与线段的中点连线时，中除了AD、、AB和之外的8条棱均与直线异面，故③正确；故选：C.【典例2】（2023上·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是.①②③④【答案】②【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，此时，而，所以共面，则、在平面上，故①不符题意；因为，即共面，易知平面，而平面，，，故与异面，故②符合题意；当重合时，易知，则四边形是平行四边形，则此时，故③不符合题意；当重合时，显然，相交，故④不符合题意.故答案为：②【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，棱柱中，，底面，，是棱的中点．求证：直线与直线为异面直线．

【答案】证明见解析【详解】棱柱中，假设直线与直线共面，∵点平面，∴平面，而平面，且平面平面，即平面，∴矛盾，假设不成立，故直线与直线为异面直线；【变式1】（2023上·全国·高三专题练习）在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线共有对．（用数字作答）【答案】48【详解】考虑侧棱与底面垂直，与底面的直线都垂直，6条侧棱，每一条侧棱与一个底面中的4条直线是互相垂直的异面直线，有上下两个底面，则其中是互相垂直的异面直线共有2×6×4＝48（种）.故答案为：48.【变式2】（2023下·全国·高一随堂练习）已知、是异面直线，直线直线，则直线与直线b的位置关系是.【答案】相交或异面【详解】若，因为，则，与已知、是异面直线矛盾，所以直线与直线b不平行，则当直线与直线b在同一平面则相交，当直线与直线b不在同一平面则异面，故答案为：相交或异面.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知正方体中，棱长为2，点E是棱AD的中点．连接CE，求证：直线CE与直线是异面直线．【答案】证明见解析【详解】因为平面，平面，,平面，所以与是异面直线．

题型05平面分空间问题【典例1】（2024·全国·高一假期作业）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意；对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意；对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意；对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意.故选：C【典例2】（2024·全国·高一假期作业）空间的4个平面最多能将空间分成（

）个区域．A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【详解】一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分面4部分，3个平面最多把空间分布8个部分，前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，这里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，这样所有空间部分的个数为．故选：C．【典例3】（2024·全国·高二专题练习）正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分【答案】【详解】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分.故答案为：【变式1】（2024·全国·高一假期作业）平面α，β，γ不能将空间分成（）A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分【答案】A【详解】三个平面平行时，将空间分成4个部分；三个平面相交于同一条直线时，将空间分成6个部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成6个部分；当三个平面两两相交且有三条交线时，将空间分成7个部分；当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，可将空间分成8个部分．所以平面α，β，γ不能将空间分成5部分．故选：A．【变式2】（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）空间直角坐标系中，三个坐标平面将空间分为个部分．【答案】8【详解】根据题意，两平面相交，将空间分成了4部分，然后再一平面与那两个平面都垂直相交，则将原来的每部分一分为二，故空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成了8部分.故答案为：8.【变式3】（2024·全国·高一假期作业）如果3个平面把空间分成4部分，那么这3个平面有怎样的位置关系？如果3个平面把空间分成6部分，那么这3个平面有怎样的位置关系？画图说明．【答案】见解析【详解】3个平面把空间分成4部分，则这3个平面需要平行；

3个平面把空间分成6部分，那么这3个平面相交于一条直线或其中2个平面平行与第3个平面相交.

A夯实基础一、单选题1．（2024上·上海·高二专题练习）如图，在正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论：①直线AM与是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的结论为（

）A．③④ B．①② C．①③ D．②④【答案】A【分析】根据异面直线的定义逐一判断.【详解】∵A、M、三点共面，且在平面，但平面，，∴直线AM与是异面直线，故①错误；因为平面，平面，但平面，，所以直线AM与BN也是异面直线，故②错误；因为平面，平面，但平面，，所以直线BN与是异面直线，故③正确；因为平面，平面，但平面，，所以直线AM与是异面直线，故④正确．故选：A．2．（2024上·北京·高二统考学业考试）在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（

）A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线【答案】D【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.【详解】由题意知在空间中，两条直线与没有公共点，即与不相交，则a与b可能平行，也可能是异面直线，故选：D3．（2024·全国·高二专题练习）“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可.【详解】若直线与平面没有公共点，那直线与平面只能平行，故充分条件成立；若直线与平面平行，则直线与平面没有公共点，故必要性也成立，所以“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的充分必要条件.故选：.4．（2024·全国·高一假期作业）在棱长为1的正四面体中，直线与是（

）．A．平行直线 B．相交直线 C．异面直线 D．无法判断位置关系【答案】C【分析】利用异面直线的判断方法判断即可.【详解】作出正四面体，如图，

因为平面，平面，，平面，所以与是异面直线.故选：C.5．（2023下·浙江台州·高一校联考期中）已知空间中点A，B，直线l，平面α，若，，，，则下列结论正确的是（

）．A． B．l与ɑ相交 C． D．以上都有可能【答案】B【分析】根据点、线和平面的位置关系求解.【详解】因为，，所以，又因为，，所以l与ɑ相交，故选：B二、多选题6．（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）下列说法中正确的是（

）A．若直线与平面不平行，则l与相交B．直线在平面外，则直线上不可能有两个点在平面内C．如果直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行D．如果是异面直线，，，则，是异面直线【答案】BD【分析】根据线线、线面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对A，若直线与平面不平行，则与相交或，故A错误；对B，直线在平面外，则直线与平面平行或相交，故直线在平面无交点或仅有个交点，故B正确；对C，若直线与平面相交，直线上仍存在两个在平面不同侧的点到平面的距离相等，则故C错误；对D，如果是异面直线，，则异面，则是异面直线，故D正确.故选：BD三、填空题7．（2023上·上海·高二专题练习）若是异面直线，直线，则c与b的位置关系是.【答案】相交或异面【分析】利用异面直线的定义与平面相关定理即可得解.【详解】因为是两条异面直线，直线，所以过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交；另外，c与b不可能平行，理由如下：若，则由可得到，这与a，b是两条异面直线矛盾，故