2022-2023学年河南省新乡市高一年级下册期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省新乡市高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1.设集合A={%|-炉+3%+1。>。},B={x|2x+1<9},则AB=()

A.(—2,5)B.(—2,4)C.(4,5)D.(—5,4)

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式的解，以及集合的交集运算即可求解.

【详解】由-d+3x+10>0,解得—2<x<5,即4=口|-2<x<5},又因为B={x|x<4},所以

AB=(-2,4).

故选：B.

2.若复数z=(2i-l)i,则z的共轨复数彳=()

A.2+iB.-2+iC.2-iD.-2-i

【答案】B

【分析】利用复数的乘法运算化简复数z,结合共规复数的定义可得共轨复数.

2

【详解】z=(2i-l)i=2i-i=-2-i,

则z的共辗复数5=—2+i.

故选：B.

3.已知向量。=(2,5),6=(-3,1),c=2a+Ab，若则彳=()

A.—B.-C.—D.一

5445

【答案】D

【分析】求出c的坐标，根据向量的垂直的坐标表示列式计算，可得答案.

【详解】由题意得c=2"+助=2(2,5)+3,1)=(4-3月10+/1),b=(-3,1),且一b，

所以c/=-3(4-32)+(10+；l)=0,所以彳=1,

故选：D

4.已知_ABC外接圆的周长为4万，=则3C=()

6

A.4B.2C.4GD.2>/3

【答案】B

【分析】利用正弦定理可求BC的长度.

【详解】因为4?C外接圆的周长为4兀，所以ABC外接圆的半径为2,

7or--4

则根据正弦定理可得疝,解得3C=2.

6

故选：B.

5.在正/8C中,向量”在C4上的投影向量为（

3

A.—CAB.—CAC.-CA

222

【答案】B

【分析】先求出A4与C4的夹角，再根据投影向量的定义求解

【详解】AB与C4的夹角为g,，cos（4B,CA）=-g,根据投影向量的定义有:

CA.1

43在CA上的投影向量为IAB|-cos〈AaC4〉・：一=-7CA；

|C4|2

故选：B.

6.已知正实数“，b满足2a+6—9而=0,则a+4的最小值为（

【答案】B

1?

【分析】将条件2a+b-%活=0转化为±+：=9,然后利用力的代换”和基本不等式可得.

12

【详解】因为2。+6-%心=0,变形得一+[=9.

ab

f।2、2b2cz

由题意{a+2b}\^+~b）5+丁+至5+24,当且仅当竺即a=b=；时,等号

a+2h=-------------------=------------>----------=1ab3

999

成立.

故选：B.

7.在“ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,sinA-sinB+即二笠=0,则工43c的形

c

状一定为（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形

【答案】B

【分析】利用正弦定理边化角计算即可.

【详解】在一ABC中，sinA-sinB+2"*=0,

则由正弦定理得：则(sinA-sinB)+2'mA：in')=卜+A\(sinA-sinB)=0,

sinCIsinCJ

2

因为三角形中，AB、C“0㈤，故sinC>O=^+lwO,

所以sinA=sin3na=6,则：ABC的形状一定为等腰三角形.

故选：B

8.若函数f(x)=|2ln4|-eT"的两个零点分别为a,b,其中。<匕，则()

11

a=a>

A.b-B.C.0<a<-D.a+h=e

h

b-

【分析】作出函数y=llnx彳Dy=eTM(尤>0)的大致图象，结合图象可得答案.

【详解】令/(x)=()，得|lnx|=e+i,作出函数y=|lnx|和yueWa〉。)的大致图象,

如图所示，因为/(x)有两个零点，所以这两个函数的图象有两个交点，

其交点的横坐标分别为a，b,由""可得0<a<l<b,

因为由图可得|lna|>|ln〃|,所以—lna>lnb,

即lna+lnZ?=ln(ab)<0,所以0<彷<1,0<a<-.

二、多选题

20

9.已知复数z满足z=3，则下列结论正确的是()

1-21

A.z=4+8i

B.z-4是纯虚数

C.复数z在复平面内对应的点在第三象限

D.若复数z在复平面内对应的点在角a的终边上，则sina=。

【答案】AB

【分析】根据复数的概念、运算、几何意义、三角函数定义逐一判断即可.

20(1+2i)

【详解】z=匚五=4+8iA正确;

(l-2i)(l+2i)

z-4=8i,为纯虚数，B正确;

z=4+8i,其在复平面内对应的点为(4,8),在第一象限，C错误;

82石

D错误.

次+82

故选：AB

10.已知函数/(x)=6tan(ox+m)+6(0>0)的最小正周期为则()

A.刃=6

B./(x)的图象经过点(一看,5)

C.7(x)的定义域为卜+

D.不等式/(x)>9的解集为，弓+”],keZ

I31o3)

【答案】BCD

【分析】根据正切型函数的图象与性质逐一计算即可.

TTTT

【详解】由正切函数的周期7=二=?,解得。=3.故A错误；

CD3

因为/[-F)=Gtan[-5+方)+6=5,所以f(x)的图象经过点(一己,5).故B正确;

令3xH—w—I-ku,k£Z,得xw—H—,kEZ,

32183

jrkit

x\x^—+—,keZ\.故C正确；

{10JJ

令百tan(3x+g)+6〉9,则tan(3x+1)>G,所以三十攵兀<3工+]<]+而，ZeZ,得

"<x<2+"，"Z,即不等式/(尤)>9的解集为件2+”],k£Z.故D正确;

3183V3Io5)

故选：BCD

11.在平行四边形ABCQ中，BE=2EC，DF=3FA»AE与BF交于点。，设D4=a，DB=b，则

()

5

A.AE=——a+bB.AE=a——b

33

C.DO=—a+—bD.DO=—a+—b

11111111

【答案】AC

2—2—

【分析】由8E=2EC得5石=—]D4,从而AE=43+BE=(Q8—ZM)—,整理即可判断A,B；

33

设A石与3D交于点M,则△/?劭/与AQ4M相似，可得。=DF=-DA因为尸，。，B

54f

三点共线，A,0,知三点共线，^DO=xDF+(\-x)DB^DA+^^-DM,则当+^1^=1,

4343

Q

求得x=H，求出OO即可判断C,D.

【详解】在平行四边形ABCD中，BE=2EC，所以8E=-(2D4,

一一—一?5一5--

则AE=48+8E=(/)8-OA)—-DA=--DA+DB=--a+b,A正确，B错误；

333

设AE与8。交于点M,则在平行四边形ABC。中，ZXBEM与△£>/!"相似，

所以也=些=2,则。DM=-DB=-b,DF=-DA=-a,

DMDA355544

因为尸，O,B三点共线，A,O,M三点共线，

]^DO=xDF+(\-x)DB~DA+^^-DM,则苧<)=1,即x=(,

所以。O=—DA+(1—x)DB=—aH—b,C正确，D错误.

41111

故选：AC.

12.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式

为M=ig勺(其中常数为是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，4侬是指

我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅).地震的能量£(单位：焦耳)

是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知E=1048xl0L5M,其中M为地震震级.下列

说法正确的是()

A.若地震震级M增加2级，则最大振幅4”增加到原来的20倍

B.若地震震级M增加2级，则放出的能量E增加到原来的1000倍

C.若最大振幅4皿增加到原来的100倍，则放出的能量E增加到原来的1000倍

D.若最大振幅4,*增加到原来的100倍，则放出的能量E增加到原来的100倍

【答案】BC

【分析】根据对数和指数的运算性质即可求解.

【详解】因为M'=M+2=2+lg?=怆粤独，所以小心=100A1ax.故A错误；

A)A)

因为£=1043x1()15"=1()48xl0l3(M+2>=]048X10L5M+3=]000K,所以g正确；

148

因为M"=1gI*"=M+2,所以E"=l0X1015"=1048x101.5(M+2)=104.8x}()L5M+3=10Goe，所以C

A)

正确，D错误.

故选：BC

三、填空题

13.己知复数z满足3z+i=6—2i,则恸=.

【答案】非

【分析】先解方程求出z,再根据复数模的定义求解.

【详解】由题意可得z=2—i，则|z|="7T=如；

故答案为：A/5.

14'已知+：卜冬

则sin2«=

【答案】49

【分析】由两角和的正弦公式展开，得出sina+cosa,两边平方，结合同角三角函数的平方关系和

二倍角公式即可求出答案.

【详解】因为sin(a+；)=#，

所以等(sina+cosa)=72,得sina+cosa=g,

则sin2a+cos2a+2sinacosa=2，

因为si/a+cos2a=1,2sinacosa=sin2a,

45

所以sin2a=§-1=一§,

故答案为：-

15.位于河北省承德避暑山庄西南十公里处的双塔山，因1300多年以前，契丹人在双塔峰顶建造的

两座古塔增添了诸多神秘色彩.双塔山无法攀登，现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距离.如图,

在与两座山峰、山脚同一水平面处选一点4,从A处看塔尖C的仰角是45。，看塔尖B的仰角是60。，

又测量得ZBAC=45。，若塔尖B到山脚底部D的距离为20a米，塔尖C到山脚底部E的距离为

【答案】20后

【分析】先解直角三角形得4C=60米，AB=40五米，再利用余弦定理解BC即可.

CE...30A/2

【详解】在RtAAEC中，CE=30夜米，NE4c=45。，则sin45°一也一米.

彳

同理，在RI4）8中，AB=4O0米，

在中，A3=40&米，AC=60米，Nfi4c=45°,

由余弦定理，得8C=J+3-2A8.ACcos45

=卜200+3600-2x4072x60x*=J2002=20^5米.

故答案为：2075.

ax-4,X<0

16.已知函数/*）=L./吟9…，（〃>0且。。1）有且仅有3个零点，则〃的取值范围

为.

【答案】由卜岗

【分析】根据分段函数解析式，分类讨论。的范围，结合指数函数以及正弦函数的性质即可求得答

案.

【详解】当时，x<0时，-4<ar-4<-3,

fM在（7,0）上没有零点，则fix）在[0,K]上有且仅有3个零点，

由xe[0,7i],可得以+二€-,an+-,

6|_66

兀11cLLhI13兀,7T17兀5,八/8

由2sinQXH——1=0,所以---<cmH—<---,即2W〃<一.

<6J6663

当Ovavl时，xvO时，ax>1,，一4二0有一解,

即，（X）在（V,O）上恰有1个零点，故，（X）在[0,用上有且仅有2个零点,

则变4〃兀+工〈包，即2«。＜2,因为所以

66633

故0的取值范围为|，1）2,1）.

故答案为：|■[[2,g）

四、解答题

17.设0,b是两个不共线的向量.

⑴若。=（-1,3）,。=（2,-1）,求〈〃）〉；

（2）若（4〃+加〃（34+2。），求之的值.

【答案】（1）〈。,加=芋3兀

4

（2）/1=+^

【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式求夹角即可；

（2）根据向量平行的充要条件计算参数即可.

【详解】（1）因为cos〈©»=看鬲=如:6=_苧,又向量夹角范围为[0,用,

所以血力=一3jr.

4

（2）因为（％a+/?）〃（3a+/U?）,设/la+b="（34+%b）,〃为实数，

[A=3u

BPXa+b-31M+A/tb，则＜1.,BP22=3＞

l办=1

解得4=土6.

18.已知复数z是方程工2+6工+13=0的一个复数根，且z的虚部大于零.

⑴求z；

⑵若az=Z?-i（。，〃wR,i为虚数单位），求出?.

【答案】⑴z=-3+2i

【分析】(1)根据复数根的求解即可得x+3=±2i,进而可求，

(2)利用复数的乘法运算以及复数相等的充要条件即可列方程求解.

【详解】(1)由f+6尤+13=(X+3)2+4=0,即(X+3>=Y,

可得x+3=±2i,解得x=-3±2i,

因为z的虚部大于零，所以z=-3+2i

(2)由(1)知z=—3+2i,因为az=b—i,所以oz=a(—3+2i)=—3a+2qi=b-i

,(~3a=b

则。,

\2a--\

解得"=-2，b=&,

22

3

所以必=-=.

4

19.在..ABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且人sinB-osinA+(b+c)sinC=O.

(1)求角A的大小；

(2)若角A的角平分线AD与BC交于点。，AD=4,AC=6,求.ABC的面积.

【答案】⑴>=专

⑵186

【分析】(1)利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；

(2)根据三角形的面积公式结合等面积法求出c,即可得解.

【详解】(1)因为bsinB-asinA+S+c)sinC=。，

222222

所以根据正弦定理可得h-a+hc+c=Of^b+c-a=-be，

由余弦定理可得COSA=1二/=-1,

与2b:c2

因为4e(0,兀)，所以A咚;

(2)由S^ABD+SMCD=S&ABC，

—x4xcxsin—+—x4x6xsin—=—x6cxsin—,解得c=12,

232323

所以一ABC的面积为:x6xl2xsin==18百.

23

20.已知函数/(x)=Asin(ox+小>0,。>0,［以苫)的部分图像如图所示.

⑴求f(X)的解析式.

(2)先将f(x)的图像向左平移合个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得

到函数g(x)的图像.当xe一三7时，求g。)的值域.

66

【答案】(D/(x)=4sin(6xq)

(2)[-2,4]

【分析】(1)根据最值求出A=4,再由周期求出。=6,最后根据对称中心求出夕=-?，可得解析

6

式；

TT7T

(2)先根据平移伸缩求出g(x),再根据xe求出值域即可.

OO

【详解】(1)根据图像可得A=4,

4=普一则;,/=・，因为<»>0，所以3=6.

2363662\(o\6

将原，。)代入"X)的解析式，得4"6'玄+?)=0,

兀

则6X；Z+0=E，kwZ,

36

TT

得8=-7+&兀,keZ.

TTjr

因为所以8=—占，

2o

所以/(x)=4sin[.

(2)由(1)知/(x)=4sin(6xq),

将f(x)的图像向左平移]个单位长度得y=4sin(6x+,q)=4sin(6x+1

再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，

得g(x)=4sin(3x+弓)的图像，

msi兀兀fr-ixlO兀兀57c

因为XW_—,所以3工+彳£--,

66J3L66_

则-g4sin（3x+1）41,

所以-2V4sin（3x+邪4,

故g（x）在-晨上的值域为[-2,4]

21.为了响应国家改善民生、给老百姓创造更好的生活环境的号召，某地的南湖公园准备再建一个

花坛，种植花卉以供老百姓观赏.花坛的设计图如图所示，30与CD的长均为20米，ZBDC=M°,

ZR4C=120°.

⑴如果NABO=105。，求AC的长；

（2）新建花坛的周长的最大值是多少？

【答案】（1）迎近米

3

⑵竺也+40米.

3

【分析】（1）连接BC,确定BC长，在中，利用正弦定理即可求得答案；

（2）设NA8C=8（0<®<1）在ABC中，由正弦定理表示出48,4C的长，结合三角函数恒等变

换以及三角函数性质，即可求得答案。

【详解】（1）连接3C,因为80=8,ZBDC=60°,

所以△BCD是等边三角形，所以3c=20米，而4453=1（）5。,

在“ABC中，^/WC=105°-60°=45°,N8AC=120。，

ACBC

所以由正弦定理得

sinNA3CsinZ.BAC

AC20

即迈=近，所以4。=生色r米.

~TT3

（2）在中，设NA3C=，0<8<g］,由正弦定理得.人二二—^

\3）sinZABCsinZB/

AC_20厂

即嬴万=百，所以AC=3坦sin。米，

T3

同理NAC8=乂-e,则A3=g5sin!巴-e1米，

33（3）

迪3亩。+且海

所以A8+AC=-^sin6>+sin(^-6)

322

4073.GJ1

3I3）

因为所以当e时，43+AC取得最大值竺叵,

V3；6