2022年广东省东莞市市高埗中学高二数学文测试题含解析

2022年广东省东莞市市高埗中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知F1，F2为双曲线C：﹣=1（a＞0）的左右焦点，点A在双曲线的右支上，点P（7，2）是平面内一定点，若对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，则|AP|+|AF2|的最小值为（）A．2﹣6 B．10﹣3 C．8﹣ D．2﹣2参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，得出直线4x+3y+m=0与双曲线的渐近线方程为y=±x，重合或平行，求出a，再利用双曲线的定义进行转化，即可得出结论．【解答】解：∵双曲线C：﹣=1（a＞0），∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∵对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，∴直线4x+3y+m=0与双曲线的渐近线方程为y=±x，重合或平行，∴a=3，∴c=5，∴F1为（﹣5，0），∵P（7，2），∴|PF1|==2，∴|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|﹣6≥|PF1|﹣6=2﹣6∴|AP|+|AF2|的最小值为2﹣6，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查双曲线定义的运用，考查学生的计算能力，正确转化是关键．2.命题，则是A.

B.C.

D.参考答案：A略3.函数y=f（x）在定义域内可导，其图象如图所示．记y=f（x）的导函数为y=f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为（）A． B．C． D．参考答案：A【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减确定函数f（x）的单调性【解答】解：由图象可知，即求函数的单调减区间，从而有解集为[﹣，1]∪[2，3]，故选：A．4.设集合I＝{1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有(

)A．50种

B．49种

C．48种

D．47种参考答案：B略5..直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（

）A. B. C.2 D.4参考答案：D直线与曲线的交点坐标为和，故直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积．故选．6.用反证法证明命题“如果”时，假设的内容应是

（

）A

B

C

D参考答案：C略7.已知随机变量X服从正态分布，且，则（

）A.0.8 B.0.2 C.0.1 D.0.3参考答案：D【分析】由已知条件可知数据对应的正态曲线的对称轴为X=3,根据正态曲线的对称性可得结果.【详解】随机变量服从正态分布，则曲线的对称轴为X=3,由可得P(X≤1)=P(X≥5)=0.2，则(1-0.2-0.2)=0.3故选：D【点睛】本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所求区间用已知区间表示，并根据对称性求解，考查数形结合的应用，属于基础题.8.设则不等式的解集为（

）

A．

B、

C、

D、参考答案：A9.通过随机询问100名性别不同的高二学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：

男女总计爱好104050不爱好203050总计3070100

P(K2≥k)0.100.050.025k2.7063.8415.024

其中则下列结论正确的是（

）A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”参考答案：A10.下列命题是真命题的是

A．的充要条件

B．的充分条件C．

D．若为真命题，则为真参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

在多项式的展开式中，其常数项为__________。参考答案：12.若命题p：?x∈R，x2+x﹣1≥0，则￢p：．参考答案：?x∈R，x2+x﹣1＜0【考点】特称命题．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全程命题，写出命题p的否定￢p即可．【解答】解：根据特称命题的否定是全程命题，得命题p：?x∈R，x2+x﹣1≥0，的否定是￢p：?x∈R，x2+x﹣1＜0．故答案为：?x∈R，x2+x﹣1＜0．【点评】本题考查了特称命题的否定是全称命题的应用问题，是基础题目．13.设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为________________.参考答案：14.由y=sinx，x=0，x=，y=0所围成的图形的面积可以写成．参考答案：【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】首先利用定积分表示所求面积．【解答】解：由y=sinx，x=0，x=，y=0所围成的图形的面积为；故答案为：．15.已知直线，给出下列四个命题：

(1)直线的倾斜角是；

(2)无论如何变化,直线不过原点；

(3)无论如何变化,直线总和一个定圆相切；

(4)当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1；其中正确命题的序号是

．(把你认为正确命题的序号全填上)参考答案：2,3,4略16.已知平面向量，，满足，，，则的最大值为___________．参考答案：【分析】只有不等号左边有，当为定值时，相当于存在的一个方向使得不等式成立．适当选取使不等号左边得到最小值，且这个最大值不大于右边．【详解】当为定值时，当且仅当与同向时取最小值，此时，所以．因为，所以，所以所以，当且仅当且与同向时取等号．故答案为：．【点睛】本题考察平面向量的最值问题，需要用到转化思想、基本不等式等，综合性很强，属于中档题．

17.已知，且函数在处有极值，则的最大值为______．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题13分）如图，在正方体中，设．M，N分别是，的中点．（1）求异面直线与所成角的其余弦值；（2）设P为线段AD上任意一点，求证：．

参考答案：19.设函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4．（Ⅰ）若a是从﹣2、﹣1、0、1、2五个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求函数f（x）无零点的概率；（Ⅱ）若a是从区间[﹣2，2]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求函数f（x）无零点的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；几何概型．【分析】（Ⅰ）问题等价于a2+b2＜4，列举可得基本事件共有15个，事件A包含6个基本事件，可得概率；（Ⅱ）作出图形，由几何概型的概率公式可得．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4无零点等价于方程x2+2ax﹣b2+4=0无实根，可得△=（2a）2﹣4（﹣b2+4）＜0，可得a2+b2＜4记事件A为函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4无零点，总的基本事件共有15个：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），事件A包含6个基本事件，∴P（A）=（Ⅱ）如图，试验的全部结果所构成的区域为（矩形区域）事件A所构成的区域为A={（a，b）|a2+b2＜4且（a，b）∈Ω}即图中的阴影部分．∴20.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=x3﹣x+8（0＜x≤120）已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数模型的选择与应用．【分析】（I）把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量y即可．（II）求出耗油量为h（x）与速度为x的关系式，再利用导函数求出h（x）的极小值判断出就是最小值即可．【解答】解：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，依题意得，．令h'（x）=0，得x=80．当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25．因为h（x）在（0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．21.已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．（Ⅰ）试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程．（Ⅱ）是否存在过N（4，2）的直线m，使得直线m被截得的弦AB恰好被点N所平分？参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）根据点P到点F的距离等于它到直线l的距离，利用抛物线的定义，可得点P的轨迹C是以F为焦点、直线x=﹣1为准线的抛物线，从而可求抛物线方程为y2=4x；（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线m．设直线m与轨迹C交于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式可得，直线m的斜率存在，设直线m的方程与抛物线方程联立，消去y，利用，可得结论；解法二：假设存在满足题设的直线m．设直线m与轨迹C交于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式可得，设直线m的方程与抛物线方程联立，消去x，利用y1+y2=4a=4，可得结论；解法三：假假设存在满足题设的直线m．设直线m与轨迹C交于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式可得，利用点差法求直线的斜率，从而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）因为点P到点F的距离等于它到直线l的距离，所以点P的轨迹C是以F为焦点、直线x=﹣1为准线的抛物线，…所以方程为y2=4x．…（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线m．设直线m与轨迹C交于A（x1，y1），B（x2，y2），依题意，得．…①当直线m的斜率不存在时，不合题意．…②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y﹣2=k（x﹣4），…联立方程组，消去y，得k2x2﹣（8k2﹣4k+4）x+（2﹣4k）2=0，（*）

…∴，解得k=1．…此时，方程（*）为x2﹣8x+4=0，其判别式大于零，…∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y﹣2=x﹣4，即x﹣y﹣2=0．…解法二：假设存在满足题设的直线m．设直线m与轨迹C交于A（x1，y1），B（x2，y2），依题意，得．…易判断直线m不可能垂直y轴，…∴设直线m的方程为x﹣4=a（y﹣2），…联立方程组，消去x，得y2﹣4ay+8a﹣16=0，…∵△=16（a﹣1）2+48＞0，∴直线与轨迹C必相交．…又y1+y2=4a=4，∴a=1．…∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y﹣2=x﹣4即x﹣y﹣2=0．…解法三：假设存在满足题设的直线m．设直线m与轨迹C交于A（x1，y1），B（x2，y2），依题意，得．…∵A（x1，y1），B（x2，y2）在轨迹C上，∴有，将（1）﹣（2），得．…当x1=x2时，弦AB的中点不是N，不合题意，…∴，即直线AB的斜率k=1，…注意到点N在曲线C的张口内（或：经检验，直线m与轨迹C相交）…∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y﹣2=x﹣4即x﹣y﹣