四川省巴中市龙湖中学高二数学文下学期期末试卷含解析

四川省巴中市龙湖中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】直线与平面所成的角．【分析】先证出B1D⊥平面AC1，过A点作AG⊥CD，证AG⊥平面B1DC，可知∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，求其正弦即可．【解答】解：如图，连接B1D∵D是A1C1的中点，△A1B1C1是正三角形∴B1D⊥A1C1，∵平面AC1⊥平面A1B1C1，平面AC1∩平面A1B1C1=A1C1，∴B1D⊥平面AC1，过A点作AG⊥CD，则由B1D⊥平面AC1，得AG⊥B1D由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B1DC，于是∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，由已知，不妨令棱长为2，则AD==CD，由等面积法得AG==所以直线AD与面DCB1的正弦值为故选B．2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（

）A．

B．

C．90

D．81参考答案：B由三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的平行六面体（四棱柱）．其底面的面积为，前后两个面的面积为，左右两个面的面积为．故棱柱的表面积为．选B．

3.当时，给出以下结论（其中是自然对数的底数）：①，②，③，④，其中正确结论的序号是

（

）

①③

①④

②③

②④参考答案：A当时，，，成立，①正确.（也可通过构造函数说明）.构造函数，利用的单调性说明

③是正确的.选.4.若两直线和互相垂直，则的值为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A略5.已知向量，，若∥，则的值为（

）（A）7

（B）6

（C）5

（D）4参考答案：B略6.抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，由此可得抛物线y2=﹣x的准线方程．【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴=∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=故选D．【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7.函数单调递增区间是（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C． D．（1，+∞）参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数y的导函数y′，因为要求单调递增区间，令y′＞0得到不等式求出x的范围即可．【解答】解：令故答案为C．8.右图是2011年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（

）A、84，4.84

B、84，1.6

C、85，1.6 D、85，1.5参考答案：C9.已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=2xf'（1）+lnx，则f'（）=（）A．﹣2 B．e﹣2

C．﹣1

D．e参考答案：B【考点】导数的运算．【分析】利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中得到关于f′（1）的方程，求出方程的解，再带值即可得到f′（）的值．【解答】解：函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=2xf'（1）+lnx，∴f′（x）=2f'（1）+，∴f′（1）=2f'（1）+1，∴f′（1）=﹣1，∴=﹣2+e，故选：B10.在二项式的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】DB：二项式系数的性质；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】由二项式系数的性质得到n的值，由通项公式可得展开式中的有理项的个数，求出9项的全排列数，由插空排列求出有理项都互不相邻的排列数，最后由古典概型概率计算公式得答案．【解答】解：∵二项式的展开式中只有第五项的二项式系数最大，∴二项式的二项展开式共有9项，则n=8．其通项为=，当r=0，4，8时，项为有理项．展开式的9项全排列共有种，有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项在形成的7个空中插孔即可，有种．∴有理项都互不相邻的概率为=．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知则数列的前n项和=

.参考答案：12.过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：213.某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师人．参考答案：100【分析】根据教师的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，∴从高级教师和中级教师中抽取了20﹣10=10人，设全校共有老师x人，则全校人数为，即x=100，故答案为：100【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．14.已知直线l:kx－y+1+2k=0(k∈R)，则该直线过定点__________．参考答案：直线，，∴当，时过定点，∴，，∴过定点．15.已知圆（x﹣1）2+（y+2）2=6的圆心到直线2x+y﹣5=0的距离为．参考答案：【考点】点到直线的距离公式．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：圆（x﹣1）2+（y+2）2=6的圆心C（1，﹣2）到直线2x+y﹣5=0的距离d==．故答案为：．16.命题“若a＞0，b＞0，则ab＞0”的逆否命题是（填“真命题”或“假命题”．） 参考答案：真命题【考点】四种命题． 【专题】转化思想；定义法；简易逻辑． 【分析】根据逆否命题的真假关系，判断原命题的真假即可． 【解答】解：若a＞0，b＞0，则ab＞0成立，即原命题为真命题， 则命题的逆否命题也为真命题， 故答案为：真命题． 【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键． 17.在△ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=

．参考答案：1：：2．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由三角形的内角和以及三个角的比例关系，求出三个角，利用正弦定理即可求出比值．【解答】解：∵A：B：C=1：2：3，A+B+C=180°∴A=30°，B=60°，C=90°，∴由正弦定理，得：．∴a：b：c=1：：2故答案为：1：：2．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.椭圆上一点A.关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设且，则该椭圆离心率的取值范围为___▲___.参考答案：已知椭圆焦点在x轴上，椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，则：连接AF，AF1，AF，BF所以：四边形AFF1B为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，∠ABF=α，则：∠AF1F=α．∴2a=2ccosα+2csinα，即a=（cosα+sinα）c，由椭圆的离心率e===，由，,，sin（α+）∈[，1]，∈[，]，∈，19.已知函数f（x）=x﹣lnx﹣a，g（x）=x+﹣（lnx）a+1，a∈R．（Ⅰ）若f（x）≥0在定义域内恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）当a取（Ⅰ）中的最大值时，求函数g（x）的最小值；（Ⅲ）证明不等式＞ln（n∈N+）．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的定义域，利用导数求出单调区间，继而得到最值．（Ⅱ）对g（x）求导，再构造新函数说明g（x）的单调性，得到g（x）的最小值．（Ⅲ）由第（Ⅱ）的结论写出各项，求和证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增∴fmin（x）=f（1）=1﹣a依题意得，1﹣a≥0，a≤1，故a的取值范围（﹣∞，1]…（4分）（Ⅱ）当a=1时，，g（x）的定义域是（0，+∞），令h（x）=x2﹣2xlnx﹣1，h'（x）=2（x﹣lnx﹣1），由（Ⅰ）知，h'（x）的最小值是h'（1）=0，∴h'（x）≥0，h（x）递增，又h（1）=0x∈（0，1）时，h'（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）递减，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）递增，∴gmin（x）=g（1）=2；…（9分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得，x＞1时，，令，则，∴=…（14分）【点评】本题主要考查利用导数求函数极值最值问题和利用函数导数对参数的求解及利用新函数的单调性证明复杂不等式的方法，属于难度较大题型．20.在△ABC中，角A，B，C所列边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若，试判断bc取得最大值时△ABC形状．参考答案：【考点】三角形的形状判断；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理和同角三角函数的基本关系化简已知式可得，从而求得角A的值．（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理和基本不等式可得bc≤3，此时根据，又，可得，△ABC为等边三角形【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，…（2分）即，∴，∴，…∵0＜A＜π，∴．…（6分）（Ⅱ）在△ABC中，a2=b2+c2﹣2bccosA，且，∴，∵b2+c2≥2bc，∴3≥2bc﹣bc，即bc≤3，当且仅当时，bc取得最大值，…（9分），又，故bc取得最大值时，△ABC为等边三角形…（12分）【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，同角三角函数的基本关系，基本不等式的应用，求出bc≤3，是解题的难点．21.已知椭圆：（）的左顶点为，上顶点为，直线的斜率为，坐标原点到直线的距离为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知正方形的顶点、在椭圆上，顶点、在直线上，求该正方形的面积.参考答案：（Ⅰ）由，所以椭圆的方程为：.（Ⅱ）因为是正方形，所以对角线.设直线为，联立椭圆得：.由题意知，.设，，则，，.所以的中点的坐标为，由于正方形的对角线平分，所以点在直线上，即有.所以.故正方形的面积为.22.若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，（1）求实数a的值；（2）求不等