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文档简介
山西省临汾市圣王中学高二数学文模拟试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是(
)A.96 B.120 C.240 D.24参考答案:A【分析】首先确定连号的张数,然后把这二张连号捆绑在一起与其它三张全排列即可.【详解】2张参观券连号有、、、四张,捆绑在一起与其它三张全排列为,故本题选A.【点睛】本题考查了排列与组合的应用,正确理解题意是解题的关键.2.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(
) A.63.6万元 B.65.5万元
C.67.7万元 D.72.0万元参考答案:B略3.(理科)从4名男生和3名女生中选出3人参加某个座谈会,若这3中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有(
)种.
A.60
B.35
C.34
D.30参考答案:D4.下列命题中,真命题是:
(
)A.
B.C.a+b=0的充要条件是=-1
D.a>1,b>1是ab>1的充分条件参考答案:D略5.椭圆上对两焦点张角为的点有
(
)A、4个
B、2个
C、1个
D、0个
参考答案:D6.直线x+y+1=0的倾斜角为()A.30° B.60° C.120° D.150°参考答案:D【考点】直线的倾斜角.【分析】设出直线的倾斜角,求出斜率,就是倾斜角的正切值,然后求出倾斜角.【解答】解:设直线的倾斜角为α,由题意直线的斜率为,即tanα=所以α=150°故选D.7.已知集合A={1,﹣1},B={1,0,﹣1},则集合C={a+b|a∈A,b∈B}中元素的个数为()A.2 B.3 C.4 D.5参考答案:D【考点】15:集合的表示法.【分析】当a=1时,b=1、0、﹣1,则a+b=2、1、0;当a=﹣1时,b=1、0、﹣1,则a+b=0、﹣1、﹣2;从而列举出集合C中的元素即可.【解答】解:当a=1时,b=1、0、﹣1,则a+b=2、1、0;当a=﹣1时,b=1、0、﹣1,则a+b=0、﹣1、﹣2;集合C={a+b|a∈A,b∈B}={﹣2,﹣1,0,1,2}故选:D.【点评】本题考查了元素与集合的关系,属于基础题.8.圆x2+y2﹣2x+4y=0与2tx﹣y﹣2﹣2t=0(t∈R)的位置关系为(
)A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能参考答案:C【考点】直线与圆的位置关系.【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆.【分析】观察动直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0(t∈R)可知直线恒过点(1,﹣2),然后判定点(1,﹣2)在圆内,从而可判定直线与圆的位置关系.【解答】解:直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0恒过(1,﹣2)而12+(﹣2)2﹣2×1+4×(﹣2)=﹣5<0∴点(1,﹣2)在圆x2+y2﹣2x+4y=0内则直线2tx﹣y﹣2﹣2t=0与圆x2+y2﹣2x+4y=0相交故选:C.【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定,解题的关键找出直线恒过的定点,属于基础题.9.过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角()A.30° B.45° C.60° D.135°参考答案:B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】方程思想;转化法;导数的概念及应用.【分析】求得函数的导数,求得切线的斜率,由直线的斜率公式,可得倾斜角.【解答】解:y=x2的导数为y′=2x,在点的切线的斜率为k=2×=1,设所求切线的倾斜角为α(0°≤α<180°),由k=tanα=1,解得α=45°.故选:B.【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查直线的倾斜角的求法,考查运算能力,属于基础题.10.是(
)A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.“”是“一元二次方程”有实数解的
条件.(选填“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”中的一个)参考答案:充分不必要12.6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有
种.(用数字作答)参考答案:240略13.如果实数x,y满足等式(x﹣2)2+y2=1,那么的取值范围是.参考答案:[,+∞)【考点】直线与圆的位置关系.【分析】设k=,则y=kx﹣(k+3)表示经过点P(1,﹣3)的直线,k为直线的斜率,所以求的取值范围就等价于求同时经过点P(1,﹣3)和圆上的点的直线中斜率的最大最小值,当过P直线与圆相切时,如图所示,直线PA与直线PB与圆相切,此时直线PB斜率不存在,利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线PA的距离d,令d=r求出此时k的值,确定出t的范围,即为所求式子的范围.【解答】解:设k=,则y=kx﹣(k+3)表示经过点P(1,﹣3)的直线,k为直线的斜率,∴求的取值范围就等价于求同时经过点P(1,﹣3)和圆上的点的直线中斜率的最大最小值,从图中可知,当过P的直线与圆相切时斜率取最大最小值,此时对应的直线斜率分别为kPB和kPA,其中kPB不存在,由圆心C(2,0)到直线y=kx﹣(k+3)的距离=r=1,解得:k=,则的取值范围是[,+∞).故答案为:[,+∞)14.已知双曲线中心在原点,一个焦点为,点P在双曲线上,且线段的中点坐标为(,),则此双曲线的方程是
. 参考答案:15..已知,那么展开式中含项的系数为
。参考答案:
135略16.五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;②若报出的数为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数,当五位同学依序循环报到第100个数时,甲同学拍手的总次数为_____________.参考答案:5_略17.直线过点(—4,0)且与圆交于两点,如果,那么直线的方程为
参考答案:或略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=(x﹣1)2﹣.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)有两个零点x1,x2,证明x1+x2>2.参考答案:【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)求出导函数,求出极值点,判断导函数的符号,推出函数的单调性即可.(Ⅱ)不妨设x1<x2,推出0<x1<1,x2>1.2﹣x2<1,利用函数f(x)在(﹣∞,1)上单调递减,得到x1>2﹣x2,转化为:0=f(x1)<f(2﹣x2).求出,构造函数设g(x)=xe2﹣x﹣(2﹣x)ex,再利用形式的导数,求出函数的最值,转化求解即可.【解答】(本小题满分12分)解:(Ⅰ),…f'(x)=0?x=1,当x∈(﹣∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以函数f(x)在(﹣∞,1)上单调递增.…(Ⅱ)证明:,f(0)=1,不妨设x1<x2,又由(Ⅰ)可知0<x1<1,x2>1.2﹣x2<1,又函数f(x)在(﹣∞,1)上单调递减,所以x1+x2>2?x1>2﹣x2等价于f(x1)<f(2﹣x2),即0=f(x1)<f(2﹣x2).…又,而,所以,…设g(x)=xe2﹣x﹣(2﹣x)ex,则g'(x)=(1﹣x)(e2﹣x﹣ex).…当x∈(1,+∞)时g'(x)>0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)>0.而恒成立,所以当x>1时,,故x1+x2>2.…19.如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E,F分别是AB,BD的中点.求证:(1)直线EF∥面ACD;(2)平面EFC⊥面BCD.参考答案:【考点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.【分析】(1)根据线面平行关系的判定定理,在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可,根据中位线可知EF∥AD,EF?面ACD,AD?面ACD,满足定理条件;(2)需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直,由线面垂直推出面面垂直,根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC,而BD?面BCD,满足定理所需条件.【解答】证明:(1)∵E,F分别是AB,BD的中点.∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥AD,∵EF?面ACD,AD?面ACD,∴直线EF∥面ACD;(2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD,∵CB=CD,F是BD的中点,∴CF⊥BD又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC,∵BD?面BCD,∴面EFC⊥面BCD20.用0,1,2,3,4,5这六个数字:(1)可组成多少个无重复数字的自然数?(2)可组成多少个无重复数字的四位偶数?参考答案:解:(1)组成无重复数字的自然数共有个(2)无重复数字的四位偶数中个位数是0共有个;个位数是2或4共有个.所以,重复数字的四位偶数共有60+96=156个21.已知函数.(Ⅰ)当时,求f(x)在上的零点个数;(Ⅱ)当时,若f(x)有两个零点,求证:参考答案:(Ⅰ)有一个零点;(Ⅱ)见解析【分析】(Ⅰ)对函数求导,将代入函数,根据函数在单调性讨论它的零点个数。(Ⅱ)根据函数单调性构造新的函数,进而在各区间讨论函数零点个数,证明题目要求。【详解】因为,在上递增,递减(Ⅰ)当时,在上有一个零点(Ⅱ)因为有两个零点,所以即.设则要证,因为又因在上单调递增,所以只要证设则所以在上单调递减,,所以因为有两个零点,所以方程即构造函数则记则在上单调递增,在上单调递减,所以设所以递增,当时,当时,所以即()所以,同理所以所以,所以由得,综上:22.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求的值.参考答案:(1),(2)【分析】(1)在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程,将曲线的极坐标方程先利用两角和的正弦公式展开,再等式两边同时乘以,再代入代入化简可得出曲线的直角坐标方程;(2)解法一:将直线的参数方程与曲线的普通方程联立,得到关于的二次方程,列出韦达定理,由弦长公式得可求出;解法二:计算圆心到直线的距离,并求出圆的半径,利用勾股定理以及垂径定理得出可计算出;解法三:将直线的方程与曲线的直角坐标方程联立,消去,得到关于的一元二次方程,列出韦达定理,利用弦长公式可计算出(其中为直线的斜率)。【详解】(1)由直线的参数方程,消去参数得,即直线普通方程为.
对于曲线,由,即,,
,曲线的直角坐标方程为.
(2)解法一:将代入的直角坐标方程,整理得,
,
.
(2)解法二:曲线的标准方程为,曲线是圆心为,半径的圆.
设圆心到直线:的距离为,则.
则.
(2)解法三:联立,消去整理得,
解得,.
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