广东省2021年春季高考数学模拟试卷十（含解析）

2021年广东春季高考数学模拟试卷(10)

注：本卷共22小题，满分150分。

-、单选题(本大题共15小题，每小题6分，满分90分)

1.能正确表示集合M={xeR\0<x<2}和集合N={X^R\X2+X=0}的关系的韦恩图的是

()

【答案】A

【解析】

【分析】

求出集合/V的元素，即可得到两集合的关系，再用韦恩图表示岀来.

【详解】

解：:,集合N={xeR|x2+x=0}={0,-1},集合M={xeH|04x«2},

.•.A/nN={0}且互不包含,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了韦恩图表达集合的关系，是基础题.

2.教育部日前出台《关于普通高中学业水平考试的实施意见》，根据意见，学业水平考试成绩以“等

级”或“合格、不合格”呈现.计入高校招生录取总成绩的学业水平考试的3个科目成绩以等级呈现,

其他科目一般以“合格、不合格”呈现.若某省规定学业水平考试中历史科各等级人数所占比例依次

为：4等级15%,6等级35%,C等级30%,D、£等级共20%.现采用分层抽样的方法，从某省参

加历史学业水平考试的学生中抽取100人作为样本，则该校本中获得/或8等级的学生中一共有().

A.45人B.60人C.50人D.90人

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知求得4或8等级所占比例，乘以100即得答案.

【详解】

由题意，4、8等级人数所占比例依次为：Z等级15%,8等级35%,

则Z或8等级所占比例为50%,

.•,100人的样本中，获得力或5等级的学生一共有50人.

故选：C

【点睛】

本题主要考查分层抽样，明确分层抽样中每一层所占比例数相等是关键，是基础题.

3.下列函数中，值域为??且为奇函数的是（）

A.y=x+2B.y=sinxC.y=x-x3D.y=2x

【答案】C

【解析】

【分析】

依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.

【详解】

A.y=x+2,值域为R,非奇非偶函数，排除；

B.y=sinx,值域为[-1,1],奇函数，排除；

C.卜=%一/,值域为R,奇函数，满足；

D.y=2x,值域为（0,+力），非奇非偶函数，排除;

故选：c.

【点睛】

本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.

4.函数/（x）=——+lg（3x+l）的定义域是（）

——,+00

3

【答案】B

【解析】

【分析】

l-x>0

根据函数的解析式知,解不等式组即可得定义域

3x+1>0

【详解】

——<x<1

3

故选：B

【点睛】

本题考查了函数的表示，根据函数解析式的性质求函数的定义域，属于简单题

5.若。<6<0,那么下列不等式中正确的是（）

A.J-q<-J—bB.a2>ab

D.a2<b2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据不等式的性质分别对四个选项分析可得解.

【详解】

对于由a<b<0,得-a〉-b>0,所以<工>J工，故4项错误；

对于8,由a<b<0两边同时乘以a,得a?>ab，故6项正确；

对于C,由a<b<0,得丄〉丄，故C项错误；

ab

对于〃由a<b<0,得/>/,故〃项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了不等式的性质，属于基础题.

6.若a,b是异面直线，且a〃平面a,则b和Ia的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.b在a内D.平行、相交或b在a内

【答案】D

【解析】

试题分析：因为a,b是异面直线，且a〃平面a,当直线a〃平面a,直线b在平面a内，.•.a〃b,

或a与b异面，那么结合线面的位置关系和异面直线的概念可知，则b和a的位置关系是平行、相

交或b在a内.故选D.

考点：本题主要是考查线面的位置关系的运用.

点评：解决该试题的关键是理解线面平行的判定定理和性质定理，然后根据异面直线的概念可知宜

线b与平面a的位置关系.

7.直线x=l的倾斜角和斜率分别是（）

A.45°,1B.135°,-1C.90°.不存在D.180%不存在

【答案】C

【解析】

解：•.•直线x=l垂直于x轴，倾斜角为90°,而斜率不存在，

故选C.

8.将长度为1米的绳子任意剪成两段，那么其中一段的长度小于0.2米的概率是（）

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

【答案】B

【解析】

【分析】

利用几何概型的长度类型概率计算公式求解.

【详解】

如图所示；

线段4比1,若剪成两段，其中一段的长度小于0.2米，

则ACDF0.2,

所以其中一段的长度小于0.2米的概率是p=以*=0.4,

故选：B

【点睛】

本题主要考查几何概型的概率的求法，属于基础题，

9.函数y=sin（2x+乡］的一条对称轴是（）

A.x----B.x=0C.x—D.x一

663

【答案】C

【解析】

【分析】

Irjrjr

根据正弦函数的对称轴方程，即可得对称轴x=—+—,左wZ.进而可知正确选项;

26

【详解】

."，7T„.k兀7V.

令2.x4—k兀H—，则x=-----1—,kGZ.

6226

故选：C.

【点睛】

本题考查了正弦函数的性质，根据对称轴方程求对称轴，属于简单题；

10.在A48C中，内角Z，B,C的对边分别为4,b,C.若sin/:sin8:sinC=3:7:8,则A48c

的形状是

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

【答案】C

【解析】

【分析】

由正弦定理丄;=—々=’不可推得a：b:c=3:7:8,再由余弦定理计算最大边的余弦值即可判

sinJsinnsinC

断三角形形状.

【详解】

因为sinZ:sin8:sinC=3:7:8,所以a:b:c=3:7:8,设a=3左，b=k,c=3k,则角C为

9”2+49“2_64“21jr

A48C的最大角，由余弦定理可得cosC="二-=—丄＜0,即一＜。＜乃，故MBC

42k272

是钝角三角形.

【点睛】

本题考查用正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题.

11.如图，在平行四边形488中，点E是边的中点，点R是NE的中点，则不戸=()

3—1—3—1—

A.-AB+-ADB.——AB+-AD

4242

1―.3--1--3―-

C.-AB+-ADD.一一AB+-AD

2424

【答案】B

【解析】

【分析】

把向量而，而作为基底，利用平面向量基本定理和向量的加减法法则求解.

【详解】

—•1一

解：因为尸是NE的中点，所以4F=-4E,

2

因为点E是边CD的中点，所以方=丄配=丄刀,

22

所以旃二万—方，

1—►—►

=—AE-AB,

2

1—►—►—►

=Q(AD+DE)-AB,

1一1——

=-(AD+-AB)-AB,

3―•1—•

=--AB+-AD,

42

故选：B

【点睛】

此题考查了平面向量基本定理和向量的加减法法则，利用了数形结合的思想，属于基础题.

12.在数列｛a,J中，%=-；,z=i--L(n>l),则％oi9的值为()

4a”-i

41

A.-B.一一C.5D.以上都不对

54

【答案】A

【解析】

【分析】

列举出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得的值.

□【详解】

,1,14,11

依题意。2=1一一=5r,%=1--=W，%=1一一=一二=%，故数列是周期为3的周期数列，故

qa25%4

4

%oi9=%=—，故选A.

【点睛】

本小题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题.

13.已知》〉0,了〉0,2》+了=2,则孙的最大值为()

A.—B.1C.D.-

224

【答案】A

【解析】

【分析】

化简卄:(2ry),再利用基本不等式求最大值得解.

【详解】

解：V^r>0,y>0,且2户尸2,

：.xy=-(2x・y)W丄()2=-,当且仅当归丄，尸1时取等号，

22222

故则xy的最大值为y,

故选A

【点睛】

本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

14.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是()

A.B.13；13C.D.12.5；13

【答案】D

【解析】

分析：根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与

中位数的值.

详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数，

所以中间一个矩形最该，故数据的众数为笥良=12.5,

而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于V轴的直线横坐标，

第一个矩形的面积为0.2,第二个矩形的面积为0.3,故将第二个矩形分成3:2即可，

所以中位数是13,故选D.

点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面

积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.

15.正方体ZBCD-45cl2中，平面a经过耳。且与/G平行，该正方体被平面分成两部分几

何体，其体积比为()

A.1:3B.1:4C.1:11D,1:12

【答案】C

【解析】

【分析】

利用中位线得线线平行，进而得线面平行，确定容易求得体积比.

【详解】

如图，

取/4中点A/，上底面中心为0,连接。M,则。M//ZG,NG//平面，即平面股司2

为平面a,

X

所以匕“-440,4Mq*4历=5X5SA、B\C、D、^-^I=^匕IBCD-AB1Gol)

所以被a分成的两部分体积比为：1:11.

故选：C.

【点睛】

本题考查了空间几何体的计算和空间想象能力，属于中档题.

二、填空题

16.已知圆G：x2+y=l,圆G：X2+J?—2X—2夕+1=0,则圆G与圆G的位置关系为.

【答案】相交

【解析】

【分析】

利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系可判断两圆的位置关系.

【详解】

由题设有G(o,o),耳=1,G(Li)，々=1，故|GC2|=J(OT『+(O-

所以厶一々=0<<2=4+々，故圆G与圆G的位置关系为相交.

故答案为：相交.

【点睛】

本题考查圆与圆的位置关系的判断，此类问题一般可通过圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的

大小关系来判断，本题属于基础题.

17.cos2750+cos2l5°+cos750cos15°的值等于.

【答案】-

4

【解析】

,,15

试题分析：原式可化为sii?150+cos215°+sin15°cos15°=1+—sin30°=工.

24

考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系.

18.在等边三角形ABC中，边长为2,则方•比=

【答案】-2

【解析】

ABBC=—BA-BC=—2x2xcos60=—2-

19.某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁.进一步调研，了解到

如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价

与日均销售量的关系如下表：

销售单价/元6789101112

日均销售量/桶480440400360320280240

根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为元/桶时能获得最大利润.

【解析】

【分析】

通过表格可知销售单价每增加1元、日均销售量减少40桶，进而列出表达式，利用二次函数的简单

性质即得结论.

【详解】

通过表格可知销售单价每增加1元、日均销售量减少40桶，设每桶水的价格为（6+x）元（OVxV

13）,

公司日利润y元，则产=（6+而）（48040x）200=40_?+440户280（0VxV13）,

440亠

V40<0,.♦.当x=--------=时函数y有最大值，

2x40

因此，每桶水的价格为元，公司日利润最大，

故答案为：11.5.

【点睛】

本题主要考查了二次函数模型的应用以及二次函数求最值，属于基础题.

三、解答题

20.已知数列｛可｝为正项等比数列，满足4=4,且为，344构成等差数列，数列｛〃｝满足

l+1

=°g2«n°g2«n+l-

（1）求数列｛4｝,｛[｝的通项公式;

,、2

（2）若数列抄“｝的前n项和为S„,数列｛c“｝满足c“=-7-—求数列｛c,,｝的前〃项和7；.

【答案】（1）4=2"，b“=2n-l（2）T.=——

M+1

【解析】

【分析】

（1）由题意，根据等比数列性质，以及等差中项可求得公比，即可求得代入可求得“；

（2）由（1）可求得”的前n项和S“，带入求得c“，再利用裂项相消求得

【详解】

解：（1）设等比数列｛为｝的公比为式夕>0）,由题意，得

%+“6=6%nq+q2=6解得q=2或q=—3（舍）

又%=4=>%=]所以=%q"T=2"T

(2)S=〃—+")=〃(1+(2〃-1)]=八

"22

【点睛】

本题考查了数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求

和的裂项相消，属于较为基础题.

21.如图，在三棱柱44a一/3。中，AB=AC,D为BC中点,平面N8C丄平面3CG4，

8G丄B]D.

(1)求证：4。〃平面/4。；

(2)求证:AB{1BCX.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)连结48交/用于点O,连结得到OOII&C,从而证明4cli平面/8Q.

(2)由=得到4)丄3C,由平面Z8C丄平面8CG瓦，得到力。丄平面8CC£，从

而得到AD丄6G，可以得到BC、丄平面AB}D,再得到AB,±BC」

【详解】

证明：(1)连结48交z用于点。，连结

因为44G—N8C是三棱柱，所以18月4是平行四边形，所以0为48中点.

有因为。为8C中点，所以。。II4。.

又4ctz平面/BQ,ODu平面N8Q,所以4cli平