12.3角的平分线的性质（解析版）

12.3角的平分线的性质知识点管理瞄准目标，牢记要点知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究题型一：角平分线的性质定理角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。几何语言：∵OP是∠AOB的平分线,P是OP上任意一点,PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是D,C(已知)∴PD=PC(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).【例题1】（2022·广东揭阳·八年级期中）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接PQ，当PQ⊥OM时，根据角平分线的性质得出PQ=PA，利用直线外一点到直线的垂线段最短即可得出结论．【详解】解：连接PQ，当PQ⊥OM时，∵OP平分∠MON，PQ⊥OM，PA⊥ON，∴PQ=PA，此时点P到OM的距离PQ最小，∴PA≤PQ，故选：D．【点睛】题目主要考查角平分线的性质，直线外一点到直线的距离中，垂线段最短，理解这两个性质定理是解题关键．变式训练【变式1-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（

）

A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠E=90°，∵AD=AD，∴△DAC≌△DAE，∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；∵BE+AE=AB，AE=AC，∴BE+AC=AB，∴④BE+AC=AB正确；∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，∴∠BDE=∠BAC，∴②∠BAC=∠BDE正确．综上，正确的个数的3个，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质；题目是一道结论开放性题目，考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．【变式1-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，平分，于点，，，则（

）A．28 B．21 C．14 D．7【答案】C【分析】作于，由角平分线的性质得到，结合三角形面积公式解题．【详解】解：作于，平分，，，，，故选：C．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式1-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（

）A．24 B．27 C．32 D．36【答案】C【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求得S△ABD=S△BDE=96，利用角平分线的性质得到△ACD与△ABD的高相等，进一步求解即可．【详解】解：∵AD=DE，S△BDE=96，∴S△ABD=S△BDE=96，过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AB于点F，∵AD平分∠BAC，∴DG=DF，∴△ACD与△ABD的高相等，又∵AB=3AC，∴S△ACD=S△ABD=．故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【变式1-4】（2020·湖北武汉·八年级期中）如图所示，在△ABD中，∠BAD＝40°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝，∠ABD的角平分线与AC交于点E，连接DE．(1)求证：点E到DA、DC的距离相等；(2)求∠BED的度数．【答案】(1)见解析(2)20°【分析】（1）过E作EGBA于G点，EPBC于P点，EHAD于H点，根据角平分线的性质定理证得EH=EP=EG即可；（2）设，，根据角平分线的判定与性质和三角形的外角性质得到即可求解．（1）证明：过E作EGBA于G点，EPBC于P点，EHAD于H点，，，，∴AE为的角平分线，，又为的角平分线，EP=EG，∴EH=EP，点E到DA，DC的距离相等；（2）解：由（1）知，DE平分∠ADC，又BE平分∠ABD，∴设，，，∵∠ADC=∠ABD+∠DAB，，即，而，．【点睛】本题考查角平分线的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握角平分线的性质和三角形的外角性质是解答的关键．【变式1-5】（2022·江西吉安·八年级期末）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若，求DE的长．【答案】DE＝3.5【分析】利用角平分线的性质可得DE＝DF，再根据求解即可．【详解】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，

∵，，AB＝BC＝8，∴，∴8DE＝28，∴DE＝3.5．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，利用角平分线的性质得出DE＝DF是解决本题的关键．【变式1-6】（2022·山东济南·七年级期中）如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，BC=4cm．(1)若ED=2cm，则DC=______cm；(2)求证：BE=BC；(3)若△AED的周长是4cm，AC=3cm，求AB的长．【答案】(1)2(2)见解析(3)5【分析】（1）由角平分线的性质可得出答案；（2）证明Rt△BCD≌Rt△BED（HL），由全等三角形的性质可得出结论；（3）求出AE的长，则可得出答案．（1）解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC=2cm，故答案为：2；（2）证明：在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC=BE；（3）解：∵△AED的周长是4cm，∴AE+DE+AD=4cm，∵DE=DC，∴AE+DC+AD=4cm，即AC+AE=4cm，∵AC=3cm，∴AE=1cm，∵BC=BE=4cm，∴AB=BE+AE=4+1=5（cm)．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BCD≌△BED是解题的关键．【变式1-7】（2021·云南红河·八年级期末）如图，已知中，是的角平分线，于E点．(1)求的度数；(2)若，求．【答案】(1)60°(2)108【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠BAC=60°，从而得到∠BAD=30°，再由，即可求解；（2）过D作于F．根据角平分线的性质定理可得，再由，即可求解．（1）解：∵，∴，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴；（2）解∶如图，过D作于F．∵是的角平分线，，∴，又∵，且，∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质定理，三角形内角和定理是解题的关键．题型二：角平分线的判定定理角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。几何语言：∵PD=PC,PD⊥OA,PC⊥OB,垂足分别是D,C(已知),∴点P在∠AOB的平分线上.【例题2】（2021·广东·深圳市宝安区沙井上南学校八年级期中）如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：(1)AF＝DE(2)若OP⊥EF，求证：OP平分∠EOF．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定和性质即可证明；（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB=∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论．（1）∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），∴AF＝DE；（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF，∵OP⊥EF，∴OP平分∠EOF．【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定和性质及等腰三角形的性质，解题关键是由BE=CF通过等量代换得到BF=CE．变式训练【变式2-1】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M．(1)EC＝BF；(2)EC⊥BF；(3)连接AM，求证：AM平分∠EMF．【答案】(1)见解析．(2)见解析．(3)见解析．【分析】（1）先求出∠EAC＝∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC＝∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE＝90°可得∠ABF+∠BDM＝90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD＝90°，从而得证．（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；（1）证明：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，即∠EAC＝∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC＝BF；（2）根据（1），∵△ABF≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC+∠ADE＝90°，∵∠ADE＝∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM＝90°，在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，所以EC⊥BF．（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图：∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据条件找出两组对应边的夹角∠EAC＝∠BAF是证明的关键，也是解答本题的难点．【变式2-2】2022·河北邯郸·八年级期末）如图，于E，于F，若．(1)求证：平分(2)判断与之间的等量关系．【答案】(1)证明详见解析(2)，证明详见解析【分析】（1）根据直角三角形“HL”定理得出，故可得出，所以平分．（2）由可知，所以，故．（1）证明：∵于E，于F，∴，在和中，∴．∴．又∵于E，于F，∴平分．（2），证明：∴，∴，，∴．【点睛】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．【变式2-3】（2022·河南洛阳·八年级期末）学习角的平分线之后，老师留了一道思考题：还有没有其他作角平分线的方法（不限于圆规和直尺）．下面是两位同学给出的两种方法：(1)同学1：我是用三角板按下面方法画角平分线：如图1，在已知的上，分别取．再分别过点，作，的垂线，交点为，画射线，则平分．请你帮这位同学证明：平分．(2)同学2：我是用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图2，以为圆心，以任意长为半径画弧与，交于点，，再以任意长为半径画弧与，交于点，，连接，交于点，连接，则平分．你认为同学2这种作角平分线的方法正确吗？若正确，请你给出证明过程；若错误，说出你的理由．【答案】(1)见解析(2)同学2这种作角平分线的方法正确．证明过程见解析【分析】（1）由作法得，则可判断，从而得到平分；（2）由作法得，则可判断，可得到，因此可证明，再根据，可得，从而得到平分．（1）证明：由作法得，在和中，，∴，∴，∴平分；（2）解：同学2这种作角平分线的方法正确.理由如下：由作法得，，可知.在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，在与中，，∴，∴.即平分．【点睛】本题考查了作图——基本作图，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）是解题的关键．题型三：角平分线性质的实际应用【例题3】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（

）的交点．A．三条角平分线 B．三条中线C．三条高的交点 D．三条垂直平分线【答案】A【分析】根据角平分线的性质即可得到探照灯的位置在角平分线的交点处，即可得到结论．【详解】解：∵探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，∴探照灯位置是△ABC的三条角平分线上，故选：A．【点睛】此题考查了角平分线的性质，数据角平分线的性质定理是解题的关键．变式训练【变式3-1】（2021·湖南长沙·八年级期中）如图：AB、AC、BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（

）A．△ABC三条角平分线的交点位置 B．△ABC三条高的交点位置C．△ABC三边的中垂线的交点位置 D．以上说法都不正确【答案】A【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．【详解】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，∴加油站应该在△ABC三条角平分线的交点处．故选：A【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．【变式3-2】（2022·全国·八年级）如图，l3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【答案】B【分析】根据角平分线的性质可作直线l2与l3夹角的平分线与直线l1的交点即为符合条件的点．【详解】解：作直线l2与l3夹角的平分线OA，OB，交直线l1于A，B两点，如图，则在l1上到另两条公路的距离相等的位置有点A和点B两个位置．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的任意一点点到角的两条边的距离相等，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．题型四：角平分线尺规作图【例题4】（2021·山东威海·七年级期中）下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程（

）已知：钝角∠AOB．求作：∠AOB的角平分线．作法：①在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD=OE；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，交∠AOB内部的点C；③作射线OC．所以，射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．上述尺规作图的依据是（

）A．ASA B．SASC．AAS D．SSS【答案】D【分析】根据题意易得DC=EC，进而通过证明三角形全等，问题可求解．【详解】解：如图，由题意得：DC=EC，∵OC=OC，OD=OE，∴△ODC≌△OEC（SSS），∴∠DOC=∠EOC，即OC平分∠AOB；故选D．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及角平分线的尺规作图，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的尺规作图是解题的关键．变式训练【变式4-1】（2022·河北沧州·八年级期末）小明用尺规在△ABC上作图，并留下如图所示的痕迹，若AB=6，AC=4，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由作图痕迹可知，AD平分∠BAC，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质得到DE=DF，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：由作图痕迹可知，AD平分∠BAC，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，∵S△ABD=AB•DE，S△ACD=AC•DF，∴，∵AB=6，AC=4，，故选：A．【点睛】此题考查了三角形的面积，熟记角平分线的作法及性质是解题的关键．【变式4-2】（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图，在中，请用尺规作图法求作射线，使它平分，交于点M．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】画图见解析【分析】以B为圆心，任意长为半径画弧交BA，BC于Q，H，再分别以Q，H为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交AC于M，则射线AM即为所求．【详解】解：如图，射线AM即为所求作的角平分线，【点睛】本题考查的是作已知角的角平分线，掌握“作已知角的角平分线的步骤”是解本题的关键．【变式4-3】（2022·河南洛阳·八年级期末）如图所示，三条笔直的公路，，两两相交，交点分别为点、点和点，要在三角形的区域内建一个到三条公路距离相等的仓库，请用直尺和圆规在图中画出点的位置（保留作图痕迹）并说明理由．【答案】见解析【分析】作△ABC的任意两个内角平分线，交于点P即可．【详解】解：如图，点P即为所求；【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质是解题关键．【变式4-4】（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）如图，点在线段上，//，，．(1)求作的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)若的平分线交于点，试证明：.请将以下推导过程补充完整．证明：∵AB//CE在和中（

）平分__________在和中．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用基本作图作∠ADE的平分线即可；（2）先证明△ABD≌△DCE得到AD=DE．再证明△ADF≌△EDF，从而得到AF=EF．（1）解：如图，DM为所作；（2）证明：∵AB∥CE，∴∠B=∠C．在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴AD=DE．∵DF平分∠ADE，∴∠ADF=∠EDF，在△ADF和△EDF中，，∴△ADF≌△EDF（SAS）．∴AF=EF．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．【变式4-5】（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图，在中，请用尺规作图法求作射线，使它平分，交于点M．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】画图见解析【分析】以B为圆心，任意长为半径画弧交BA，BC于Q，H，再分别以Q，H为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交AC于M，则射线AM即为所求．【详解】解：如图，射线AM即为所求作的角平分线，【点睛】本题考查的是作已知角的角平分线，掌握“作已知角的角平分线的步骤”是解本题的关键．链接中考体验真题，中考夺冠链接中考【真题1】（2022·北京·中考真题）如图，在中，平分若则____．【答案】1【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作于点F，∵平分，，，∴，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边的高是解题的关键．【真题2】（2022·湖南郴州·中考真题）如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．【答案】8【分析】由角平分线的性质，得到，然后求出的周长即可．【详解】解：根据题意，在中，，，由角平分线的性质，得，∴的周长为：；故答案为：8【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．【真题3】（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则_________度．【答案】15【分析】根据，，判断OB是的角平分线，即可求解．【详解】解：由题意，，，，即点O到BC、AB的距离相等，∴OB是的角平分线，∵，∴．故答案为：15．【点睛】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．满分冲刺能力提升，突破自我满分冲刺【拓展1】（2022·山东省郓城第一中学八年级阶段练习）如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m²，通过测量可知周长为12m，I为ABC的三条角平分线交点，求点I到每条边的距离？【答案】1m【分析】先连接角平分线交点与各个定点，然后过交点作各个边的高，根据三角形的面积和周长来求交点到各个边的距离．【详解】如图，连接IA，IB，IC，作于一点D，于点E，于点F∵I为的三条角平分线的交点∴IA，IB，IC分别为三个内角的角平分线∴ID=IE=IF∵，㎡∴即∴∵m∴∴m∴ID=IE=IF=1m即点I到每条边的距离为1m．【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，解题的关键是利用三角形的面积联系三角形的周长求得高．【拓展2】（2022·四川·巴中市教育科学研究所七年级期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线……，若，则为（

）°．A． B． C． D．【答案】