2021-2022学年福建省漳州第─中学高二下学期第三周数学晚练试题解析版

福建省漳州第─中学2021-2022学年高二下学期第三周数学晚练试题1．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值.【答案】答案不唯一，见解析.【解析】＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，由a≠，知－2a≠a－2.分以下两种情况讨论：①若a>，则－2a<a－2.当x变化时，的变化情况如下表：x(－∞，－2a)－2a(－2a，a－2)a－2(a－2，＋∞)＋0－0＋f(x)递增极大值递减极小值递增所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.②若a<，则－2a>a－2.当x变化时，的变化情况如下表：x(－∞，a－2)a－2(a－2，－2a)－2a(－2a，＋∞)＋0－0＋f(x)递增极大值递减极小值递增所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.2.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角C；（2）求的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.(2)由正弦定理边化角，再由三角函数求最值.（1）由已知及正弦定理得，即，由余弦定理得，可得．（2）根据正弦定理得，又，则故，则的取值范围是．3．已知函数（，，）的部分图象如图所示.，，.（1）求的解析式；（2）将的图象先向右平移个单位，再将图象上的所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数为，求的单调增区间.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由图可知，则，；又，则，得，因为，所以.又，解得,所以.（2）将图象向右平移个单位后得，再将图象上的所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得，即，令，得，.故的单调递增区间为：，.D21．在中，，，，点，在边上且，.（1）若，求的长；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设，，则，，因此，所以，，（2）因为，所以，同理可得，，所以，∴，即，同除以可得，.2．如图，在三棱锥中，底面是正三角形，，底面，点E，F分别为，的中点.（1）求证：平面BEF平面PAC；（2）在线段PB（不含端点）上是否存在点G，使得平面EFG与平面PBC所成锐二面角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵，E为AC的中点，∴.又∵平面ABC，平面ABC，∴.∵，PA，平面PAC，∴平面PAC，又∵平面BEF，∴平面平面PAC.（2）如图，由（1）知，，，点E，F分别为AC，PC的中点，∴，∴，又∵，∴EB，EC，EF两两垂直，以E为原点，以方向为x，y，z轴建立坐标系，则，.设（），∴，，，.设平面EFG的法向量为，则，∴，令，则，.，，设平面PBC的法向量，则令，则，，.由已知，，因为，故线段PB上不存在点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为.3．已知函数（1）求的最小正周期；（2）求在上的值域．【答案】（1）；（2）.【分析】利用二倍角正余弦公式、辅助角公式，可得，利用正弦函数的性质，即可求的最小正周期、以及在上的值域．【详解】由题设知：，（1）的最小正周期；（2）时，有，则.D31．（已知二次函数，满足，且的最小值是．（1）求的解析式；（2）设函数，函数，求函数在区间上的最值.【答案】（1）；（2）最大值14，最小值.【分析】（1）由已知条件列方程组，可求出的值，从而可得；（2）由题意得，再利用其单调性可求出其在上的最值【详解】（1）因为，所以，由二次函数的性质得，解得，所以（2）依题得：函数在区间内单调递减当时，有最大值14当时，有最小值2．已知函数．（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）若，求的值．【答案】（1）；单调递减区间是：；（2）．【分析】（1）先将化为，进而求出最小正周期和单调递减区间；（2）由分别求出，，然后相加即可.【详解】（1），所以，最小正周期．令，得所以，单调递减区间是：.（2）由知，故．，.3．函数在点处的切线斜率为．（1）求实数a的值；（2）求的单调区间和极值．【答案】（1）3；（2）增区间为，减区间为．极小值，无极大值．【分析】（1）根据导数的几何意义，导数值为切线的斜率求出实数的值；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值.【详解】解：（1）函数的导数为，在点处的切线斜率为，，即，；（2）由（1）得，，令，得，令，得，即的增区间为，减区间为．在处取得极小值，无极大值．【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值问题，属于容易题．D41．（多选）函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法正确的是（）A．是周期为的周期函数 B．是周期为的周期函数C．为奇函数 D．为奇函数【答案】BD【分析】AB选项，利用周期函数的定义判断；CD选项，利用周期性结合，为奇函数判断.【详解】因为函数的定义域为，且与都为奇函数，所以，，所以，，所以，即，故B正确A错误；因为，且为奇函数，所以为奇函数，故D正确；因为与相差1，不是最小周期的整数倍，且为奇函数，所以不为奇函数，故C错误.故选：BD.2．如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，，，．（1）求证：平面平面；（2）若，，多面体的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）设与的交点为，连接，根据四边形是菱形，可得，根据，可得，根据线面垂直的判定定理，可得平面，根据面面垂直的判定定理，即可得证.（2）根据（1）及题中条件，可求得，如图建系，求得各点坐标，进而可得，，，坐标，即可求得平面，平面的法向量，根据二面角的向量求法，代入公式，即可得答案.【详解】解：（1）如图，设与的交点为，连接．四边形是菱形，，且为，的中点．，．，平面，，平面．又平面，平面平面．（2）四边形是边长为的菱形，，则．．又，，．，四边形是梯形．为的中点，，．梯形的面积．又由（1）知平面．．．以为坐标原点，向量，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，．，，，．设平面，平面的法向量分别为，．由，得．令，得．由，得．令，得．，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．3.已知函数,且．（1）讨论函数的单调性；（2）求函数在上的最大值和最小值．【答案】（1）在上单调递增；在上单调递减（2）【详解】试题分析：(1)先求出，由求出的值，再由得增区间，得减区间；（2）根据（1）的结论求出函数的极值，与端点处函数值进行比较即可结果.试题解析：(1)函数),.,解得.则.,令，解得.由得或，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，函数与的变化如下表：单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：当时，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值，，又，可知函数的最大值为，最小值为.D51．已知函数，则（）A． B． C．6 D．14【答案】C【分析】求导，代入，求得，然后将代入原函数求得函数值.【详解】，则，则，故选：C2．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若，，，则直线与一定平行B．若，，，则直线与可能相交、平行或异面C．若，，则直线与一定垂直D．若，，，则直线与一定平行【答案】C【分析】根据已知条件判断各选项中直线、的位置关系，由此可得出合适的选项.【详解】对于A选项，若，，，则直线、相交、平行或异面，A选项错误；对于B选项，设直线、的方向向量分别为、，因为，，则为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，因为，则，即，但m与n不可能平行，B选项错误；对于C选项，设直线、的方向向量分别为、，因为，则为平面的一个法向量，，则，即，C选项正确；对于D选项，若，，，则直线与平行或异面，D选项错误.故选：C.3.已知函数．（1）讨论的单调性．（2）证明：当时，．【答案】（