高三数学一轮复习夯实练55：空间向量及其运算

一轮复习夯实练55空间向量及其运算基础练1.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(1,-1,1),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=()A.5 B.3 C.22 D.42.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量AB与AC的夹角为(A.-π3 B.π6 C.π43.已知向量a=(-3,2,1),b=(2,2,-1),c=(m,10,1),若a,b,c共面,则m=()A.2 B.3 C.-1 D.-54.(2024·江西南昌模拟)把正四面体的每条棱三等分,截去顶角所在的小正四面体,得到一个有八个面的多面体,如图,点P,A,B,C,D为该多面体的顶点,若PA=a,PB=b,PC=c,则PD=()A.-12a+b+12c B.12a-bC.a-12b+12c D.12a+b5.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=45°,∠DAB=90°,则|AC1|=(A.3 B.2+2 C.2 D.2+16.(多选题)关于空间向量,以下说法正确的是()A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面B.若a·b<0,则<a,b>是钝角C.设{a,b,c}是空间中的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}也是空间的一个基底D.若对空间中任意一点O,有OP=16OA+13OB+17.已知空间向量a=(1,0,1),b=(2,-1,2),则向量b在向量a上的投影向量是.

8.设正四面体A-BCD的棱长为2,E,F分别是BC,AD的中点,则AE·AF的值为提升练9.(2024·陕西西安模拟)已知点P在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上运动,则PA·PB的最大值为(A.6 B.7 C.8 D.910.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且两两夹角都是60°,下列说法中不正确的是()A.AC1=66B.AC1⊥BDC.向量B1CD.向量BD111.(2024·陕西西安模拟)在空间四边形ABCD中,AC与BD是四边形的两条对角线,M,N分别为线段AB,CD上的点,且满足AM=23AB,DN=34DC,点G在线段MN上,且满足MG=3GN,若向量AG满足AG=xAB创新练12.(2024·安徽蚌埠高二期末)正多面体是所有面都只由一种正多边形构成的多面体.数学家已经证明只存在五种正多面体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2(如图),M,N分别为棱AD,AC的中点,则FM·BN=

参考答案1.A解析因为a⊥c,所以x-1+1=0,即x=0.因为b∥c,所以11=y-1=11,即y=-1,所以a=(0,1,1),b=(1,-1,1),则a+b=2.D解析由已知得AB=(2,-2,4)-(2,-5,1)=(0,3,3),AC=(1,-4,1)-(2,-5,1)=(-1,1,0),所以cos<AB,AC>=AB·AC|AB||AC|=333.D解析因为a,b,c共面,所以c=xa+yb,即(m,10,1)=x(-3,2,1)+y(2,2,-1)=(-3x+2y,2x+2y,x-y),所以-3x+2y=m,24.A解析如图所示,PC=PA+AC=PA+2BD=PA+2PD-2PB.所以PD=-15.D解析由已知可得AB·AA1=AD·AA1=1×1×cos45°=22,AB·AD=0,又AC1=AB+AD+AA1,6.ACD解析对于A,因为有两个向量共线,所以这三个向量一定共面,A正确;对于B,若a·b<0,则<a,b>是钝角或是180°,B错误;对于C,因为{a,b,c}是空间中的一个基底,所以a,b,c不共面,假设a+b,b+c,c+a共面,则a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即μ=1,λ=1,λ+μ=0,矛盾,所以a+b,b+c,c+a不共面,所以{a+b,b+c,c+a}也是空间的一个基底,C正确;对于D,因为OP=16OA+13OB+17.(2,0,2)解析向量a=(1,0,1),b=(2,-1,2),则|a|=2,|b|=3,a·b=4,所以向量b在向量a上的投影向量为|b|cos<a,b>a|a|=|b|·a·b|8.1解析依题意,由|AB|=|AC|=|AD|=2,<AB,AD>=<AC,AD>=60°,故AB·AD=AC·AD=|AB||AD|cos<AB,AD>=2×2×12=9.C解析取AB的中点O,连接PO,如图,则PA·PB=(PO+OA)·(PO+OB)=PO2-OA2=PO2-1.当点P在正方体表面上运动时,运动到点D1或点C1处时,PO最大,所以POmax210.CD解析∵在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且两两夹角都是60°,∴AA1·AB=AA1·AD=AD·AB=6×6×cos60°=18.对于选项A,∵(AA1+AB+AD)2=AA12+AB2+AD2+2AA1·AB+2AB·AD+2AA1·AD=36+36+36+3×2×18=216,∴|AC1|=|AA1+AB+AD|=216=66,A正确;对于选项B,∵AC1·DB=(AA1+AB+AD)·(AB-AD)=AA1·AB-AA1·AD+AB2-AB·AD+AB·AD-AD2=0,∴AC11.1112解析因为AG=AM+MG=23AB+34MN=23AB+12.52解析连接BD,如图.由题意,可得BN=AN-A