16.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念 课件 2022-2023学年人教版八年级下

16.1二根次式第十六章二次根式第1课时二次根式的概念思考

用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：(1)如图①的海报为正方形，若面积为3m2，则边长为_____m；若面积为

Sm2，则边长为_____m．

图①知识点1：二次根式的概念及有意义的条件正方形的面积3=边长(x)×边长(x)(x＞0)解析：

x2=3同理：正方形的面积

S

边长

探究新知(2)如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为

130m2，则它的宽为_____m．图②解析：长方形的面积130=长(2x)×宽(x)(x＞0)2x2=130x2=65(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下的高度

h(单位：m)满足关系

h=5t2，如果用含有

h的式子表示t，那么

t为

．开始落下的高度

h=5t2(t＞0)解析：

h=5t2问题1

这些式子分别表示什么意义？分别表示2，S，3，的算术平方根．上面问题中，得到的结果分别是：，，，．

讲授新课二次根式的概念及有意义的条件一①根指数都为2;②被开方数为非负数.问题2

这些式子有什么共同特征？归纳总结

一般地，我们把形如

的式子叫做二次根式.

“”称为二次根号.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a

≥0注意：a可以是数，也可以是式.例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：典例精析例2当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义.解：由题意得x-1＞0，∴x＞1.【变式题1】当

x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)答案：x≤5.总结(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；答案：2≤x≤3.

多个二次根式相加如

有意义的条件：总结答案：x＞1.二次根式要求：x-1＞0二次根式作为分式的分母如

有意义的条件：

A＞0.分式要求：总结x-1≥0分式要求：x-1≠0二次根式要求：x+3≥0二次根式与分式的和如

有意义的条件：

A≥0且

B≠0.总结

x≥-3且

x≠1归纳知识要代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义.1.分式+二次根式分母≠0并且

二次根式被开数≥0A≥0且

B

≠0A

>0当x取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解题秘方：紧扣“求使含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法”求解.练习解：(1)欲使+(x+5)0

有意义，则必有∴x≤－3且x≠－5.(2)欲使有意义，则必有∴x

＞.(3)欲使有意义，则必有∴2≤x≤5.(4)欲使有意义，则必有∴x≥－4且x≠2.典例讲解变式练习2

当

x

是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?解：(1)由题意得

∴

x＞1.

x-

2≥0，(2)由题意得

∴

2

≤x≤3.

x-2≥0①，

3-x≥0②，解不等式①得

x≥2

解不等式②得

x≤3(3)由题意得

∴

x=3.

x-

3≥0①，3

-x≥0②，解不等式①得

x≥3

解不等式②得

x≤3

归纳知识要代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义.1.多个二次根式每个二次根式被开数

≥0x=a解不等式组

典例讲解变式练习3

当

x

是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?解：(1)由题意得

∵

无论x为任何实数x2≥0(2)由题意得

(3)由题意得

∴

x为任何实数.

x2+2x+1=(x+1)

2∴

x为任何实数.-x2-2x-3=-(x2+2x+3)，=-(x2+2x+1)-2，=-(x+1)2-2，∵

无论x为任何实数(x+1)

2≥0∵

无论x为任何实数-(x+1)2-2≤0∴

x

无解.归纳知识判断代数式大小通常变形含有完全平方式来确定其正负1.(……)2+正数原式>02.-(……)2-正数原式<0典例讲解例3

已知

y=，求3x+2y的算术平方根.解：由题意得∴x=3.

∴

y=8.∴

3x+2y=25.∵25

的算术平方根为5，∴3x+2y

的算术平方根为

5．归纳知识y=bx=a解：由题意得∴a=3，∴b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．

若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.归纳典例讲解变式练习2

若

x，y

是实数，且

y＜

，求

的值.

解：根据题意得∴x

=

1.∵y＜

，∴y＜∴

.1.下列各式：.

一定是二次根式的个数有（）A.3个B.4个C.5个D.6个B2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______;(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.x

≥1

x

≥0且x≠2

练一练课堂小结定义带有二次根号建立不等式求出其解集被开方数为非负数算术平方根分式有意义重要结论多个二次根式二次根式+分式分母≠0并且被开数≥0y=bx=a2.(……)2+正数0.53.-(……)2-正数原式<0原式<0二次根式问题1

当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？前者x为全体实数；后者x为正数和0.

当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时，≥0.问题2

二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？二次根式的双重非负性二

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.

二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性归纳总结例3若，求a-b+c的值.解：

由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.

多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.归纳典例精析已知|3x-y-1|和互为相反数，求x+4y的平方根．解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根为±3.练一练(2)实数a，b满足+4a2+4ab+b2=0，则ba

的值为()A.2B.C.－2D.－B当堂练习2.式子有意义的条件是（）

A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为______．1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CA-104.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？5.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，解得m≥2且m≠-1，m≠2，∴m＞2．(2)无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.知识点一二次根式的性质

思考

探索新知练习新知1.根据算术平方根的意义填空:

42

0探索新知

探索新知例2

例2(2)用到了(ab)2=a2b2这个结论(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？探索新知练习新知

探索新知探究

20.1

0一般地，根据算术平方根的意义，

探索新知例3

知识点二代数式探索新知归纳总结

注意：（1）代数式中不能含有“=”“>”“<”“≥”“≤”等关系符号，单独一个数或者字母也是代数式.探索新知代数式的书写规范：

探索新知列代数式的常用方法：（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式.（2）公式法：根据数学相关的公式（面积或体积等）列出代数式.（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的规律用代数式表示出来.探索新知练习新知1.列代数式：一个三角形的面积为S，底边长为a，则底边上的高为多少？

探索新知2.用代数式表示：