人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题19.7课题学习选择方案(原卷版+解析)

八年级下册数学《第十九章一次函数》19.7课题学习方案选择知识点知识点一次根函数的应用---方案的选择与设计◆1、选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断筛选出最佳方案的过程，此类问题往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、不等式、几何知识联系在一起.◆2、在实际问题中，运用一次函数选择最佳方案的一般步骤为：①从数学的角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个及两个以上模型）；②列出关系式，在自变量取不同值时比较对应函数值的大小关系；③结合实际需求,选择最佳方案.◆3、一次函数可以解决生产实践、日常生活中的很多实际问题：①应用一次函数和一元一次方程可以解决行程、面积等实际问题；②应用一次函数和一元一次不等式(组)可以解决生产安排、分工、运输等实际问题；③应用一次函数和二元一次方程组可以解决实际问题中评估、方案选择、决策等问题.题型一租车方案题型一租车方案【例题1】(2023春•罗源县期中）有A、B两种型号的货车：用2辆A型货车和1辆B型货车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型货车和2辆B型货车装满货物一次可运货11吨．请用学过的方程（组）知识解答下列问题：（1）求A型、B型两种货车装满货物每辆分别能运货多少吨？（2）现某物流公司有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型货车每辆需租金100元/次，B型货车每辆需租金120元/次．请你帮该物流公司选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．【变式1-1】(2023春•东洲区期末）某公司需要租赁货车运回一批货物，经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运载力和租金如下表：型号运载力（箱/辆）租金（元/辆）大货车40380小货车30300（1）（2）在（1）的条件下，若这批货物共290箱，所租用的8辆货车可一次将货物全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．【变式1-2】(2023秋•简阳市期末）今年夏天成都突发新冠疫情，“巴蜀儿女，命运与共；'疫'无反顾，共克时艰．”按照成都市应对新型冠状病毒肺炎疫情应急指挥部统一部署，我市将组织435名医务工作者前往支援，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型马客车，它们的载客量和租金如表：甲种客车乙种客车载客量（座/辆）6045租金（元/辆）1080900（1）如果恰好一次性将435名医务工作者送往成都，应安排租用甲、乙两种车各几辆？（2）设租用甲种客车m辆，租车总费用为w元．①求出w（元）与m（辆）之间的函数表达式；②【变式1-3】(2023春•渠县校级月考）2020年由于疫情发生，某市伸出友爱之手，现计划把甲种医疗物资1240吨和乙种医疗物资880吨用一列货车运往某地支援，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，B型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批医疗物资的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的关系式（2）如果每节A型车厢最多能装甲种医疗物资35吨和乙种医疗物资15吨，每节B型车厢最多能装甲种医疗物资25吨和乙种医疗物资35吨，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）上述方案中，哪个方案运费最少？最少运费为多少万元？【变式1-4】(2023秋•吴兴区期末）依靠国家强有力的政策引导和全国人民的共同努力，我国的新冠疫情态势得到了有效控制．但当前疫情发展形势依旧严峻，常态化防控工作仍然不能松懈．为了打赢这场没有硝烟的战争，某公司积极响应国家号召，采购了口罩、防护服、消毒剂等医疗物资若干箱，进行物资援助．该公司计划租用某货运公司的A、B型两种货车共6辆完成物资运送，它们的载货量和租金如表：AB载货量（箱/辆）4530租金（元/辆）800550设租用A型货车x辆，根据要求回答下列问题：（1）用含有x的式子填写下表：车辆数（辆）载货量（箱）租金（元）Ax45x800xB（2）若保证租车费用不超过4550元，求x的最大值；（3）若该公司援助防疫物资共200箱，设这批物资的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出最少运费为多少元？【变式1-5】某学校计划在总费用为3200元的限额内，租用汽车送312名学生和8名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师；现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表：甲种客车乙种客车载客量（单位：人/辆）4530租金（单位：元/辆）400280（1）通过计算与分析后，直接写出共需租用辆汽车；（2）求出有哪几种租车方案；（3）求出最节省的租车费用是多少元．题型二选择方案题型二选择方案【例题2】（2023•秦都区校级一模）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和（x+10）本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y2元．（1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式；（2）若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．【变式2-1】（2023•二道区校级一模）某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成；薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成．设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为y1（元），方式二的销售人员的月收入为y2（元）．（1）请分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；（2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？【变式2-2】(2023秋•大丰区期末）某中学计划寒假期间安排4名老师带领部分学生参加红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：四位老师全额收费，学生都按七折收费．（1）设参加这次红色旅游的老师和学生共有x名，y甲，y乙（单位：元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的函数解析式；（2）若该校共有30名老师和学生参加活动，则选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？【变式2-3】(2023秋•海曙区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？【变式2-4】(2023•太康县校级模拟）为迎接中招体育考试，某校决定采购一批足球以供学生业余训练使用．某体育用品超市推出以下两种优惠方案：方案一，一律打八折；方案二，当购买量不超过80个时，按原价销售，当购买量超过80个时，超过的部分打六折．已知一个足球的原价为50元，设学校计划购买x个足球．（1）（2）若派学生代表去采购足球，他们应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．【变式2-5】(2023春•潼南区期末）某校组队参加庆祝中国共青团成立100周年经典诵读比赛，需要为参赛选手每人配备一个朗诵文件夹．已知甲、乙两家店铺销售同款文件夹，原价相同，但销售方式不同，在甲店铺，无论一次性购买多少个文件夹，一律打8.5折；在乙店铺，当购买数量不超过30个时，按原价出售，当购买数量超过30个时，超过的部分打7折．设该校需购买x个朗诵文件夹，在甲店铺购买所需的费用为y1元，在乙店铺购买所需的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示．（1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式；（2）求图中m的值，并说明m的实际意义；（3）若该学校一次性购买朗诵文件夹的数最超过40个，但不超过90个，到哪家店铺购买更优惠？题型三购买方案题型三购买方案【例题3】(2023秋•市中区期末）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗100棵．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买甲树苗不少于25棵，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？最少费用是多少元？【变式3-1】(2023春•临沭县期末）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少是多少元？【变式3-2】（2023•雁塔区校级模拟）今年的春节假期是文旅行业近三年来最火爆的一年，西安作为十三朝古都，由于其悠久的历史无疑成为最具吸引力的旅游城市之一．西安某景点的A、B两种纪念品深受广大游客们的喜爱，经过了解发现，A种纪念品的进价为11元/件，B种纪念品的进价为13元/件．若某商店决定要购进A、B两种纪念品共300件，设购进A种纪念品x件，购进这300件纪念品所需总费用为y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该店进货时，厂家要求A种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半，试问如何购进A、B两种纪念品使得所需总费用最低，并说明理由．【变式3-3】（2023•衢州模拟）三八节即将到来，小红打算买一束康乃馨和百合组合的鲜花送给妈妈，已知买2支康乃馨和3支百合需21元，3支康乃馨和2支百合需19元．（1）买1支康乃馨和1支百合各需多少元？（2）小红准备买康乃馨和百合共12支，且百合花的支数不少于康乃馨的12，设买这束鲜花所需费用w元，康乃馨有x支，求w与x【变式3-4】(2023秋•长安区期末）某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【变式3-5】(2023秋•东阳市期末）某校为“防疫知识小竞赛”准备奖品，购进A，B两种文具共40件作为奖品，设购进A种文具x件，总费用为y元．已知A、B文具的费用与x的部分对应数据如下表．x（件）81012A种文具费用（元）120150bB种文具费用（元）640a560（1）将表格补充完整：a＝；b＝；（2）求y关于x的函数表达式．（3）当A种文具的费用不大于B种文具的费用时，求总费用y的最小值．题型四采购方案题型四采购方案【例题4】(2023秋•秦都区期末）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元，单价不变，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元．求：（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？（2）若计划再购买A、B两种花草共30棵，设购买A种花草m棵，购买花草的总费用为W元，求出W关于m的函数表达式，并计算当m＝9时，购买花草的总费用为多少元？【变式4-1】(2023春•黄陵县期末）暑假过后将迎来新学期，为保障教学硬件设施的完善，某校后勤部决定对松动、损坏的课桌椅进行检修和置换，已知在供应商处购买，一张课桌价格是120元，一把座椅价格是30元．若该校准备购买课桌和座椅共216件，设购买座椅a把．（1）因学校购买数量多，且可以长期合作，供应商给出了如下优惠：课桌打七五折，座椅打八折，求该校按此优惠购买这些课桌椅的总费用W与a之间的函数关系式；（2）若该校购买的课桌不少于70张，且座椅的数量不少于课桌的2倍，则本次购买课桌椅有哪些购买方案？求出花费最少的方案及其对应的总费用．【变式4-2】某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．【变式4-3】今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．【变式4-4】(2023春•江津区期末）中考临近，某商家抓住商机，采购了一批考试用笔套装（记为A套装，包括有黑色签字笔和涂卡铅笔）和作图工具套装（记为B套装，包括有圆规和直尺）进行售卖，出售时两种套装都是整套出售，且全部售出．已知购进的两种套装A、B共500套，A、B两种套装进价与售价如表所示．设采购A种套装x套，获得的总利润为y元．套装购进价格（元/套）售出价格（元/套）A1215B1620（1）求y关于x的函数关系式；（2）如果该商家采购的A套装的套数不少于100套，且不超过B套装的套数，那么该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？题型五利润方案题型五利润方案【例题5】已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产甲、乙两种型号的时装共80套．已知做一套甲种型号的时装或一套乙种型号的时装所需A、B两种布料如下表：时装布料甲乙A种（米）0.61.1B种（米）0.90.4若销售一套甲种型号的时装可获利润45元，销售一套乙种型号的时装可获利润50元．设生产乙种型号的时装为x套，用这批布料生产这两种型号的时装利润为y元．（1）写出y（元）与x（套）的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）雅美服装厂在生产这批时装中，当生产两种型号的时装各多少套时，获得的总利润最大，最大利润是多少元？【变式5-1】(2023秋•章贡区校级期末）某地允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两种特价商品，两种商品的进价与售价如表所示：甲商品乙商品进价（元/件）355售价（元/件）458小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售，设小王购进甲商品x件，甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润最大？【变式5-2】（2023•秦都区校级模拟）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：AB进价（万元/套）32.4售价（万元/套）3.32.8（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？【变式5-3】(2023秋•无为市月考）某蔬菜生产基地组织10辆汽车装运黄瓜、西红柿、卷心菜三种蔬菜共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种蔬菜，且装运每种蔬菜的车辆均不少于2辆，其他信息如下表所示：黄瓜西红柿卷心菜每辆汽车载货量（吨）765每吨蔬菜获利（万元）0.150.20.1（1）设装运黄瓜的车辆为x辆，装运西红柿的车辆为y辆，求y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围．（2）怎样安排车辆能使此次销售利润w最大？并求出w的最大值．【变式5-4】(2023春•茌平区期末）北京冬奥会期间，某商店为专注冬奥的商机决定购进A、B两款“冰墩墩、雪容融”纪念品，若购进A款纪念品4件，B款纪念品6件，需要960元；若购进A款纪念品2件，B款纪念品5件，需要640元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过9920元，那么该商店最多可购进A纪念品多少件．（3）若销售每件A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，在（2）中的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？【变式5-5】某书店决定用不多于20000元的资金购进甲、乙两种图书共1200本进行销售．已知甲、乙两种图书的进价分别为20元/本、14元/本，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在书店购买甲种图书，其购买本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．（1）列方程求解：甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？（2）书店为了促销，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，设甲种图书进货数量为n本，两种图书全部售完后，所获总利润为W元．①求W与n的函数关系式．②书店应该如何进货，才能使购进的两种图书全部售完后，所获利润最大？题型六进货方案题型六进货方案【例题6】(2023秋•泰兴市期末）某体育用品店计划花7000元购进篮球和足球，已知足球比篮球进价贵20元．若花3000元购买篮球，4000元购买足球，则可以够买到相同数量的篮球和足球．（1）求篮球和足球的进价；（2）篮球的销售单价为100元，足球的销售单价为120元，求该商店将购进的篮球和足球全部售出后能获取的利润w（元）与购买的篮球的数量m（只）之间的函数关系式，并直接写出w最大时的进货方案．【变式6-1】(2023秋•敦煌市期中）进入8月以来某些海鱼的价格逐渐上涨，某农贸市场水产商户老王在进货数量上作出调整，8月份前两周两种海鱼的价格情况如下表：鲅鱼价格带鱼价格第一周8元/千克18元/千克第二周10元/千克20元/千克（1）老王第一周购进了一批鲅鱼和带鱼，总货款是1700元，且购进的鲅鱼千克数是带鱼的2倍，求老王第一周购进的鲅鱼和带鱼分别是多少千克？（2）若第二周将这两种鱼的进货总量减少到120千克，且购进鲅鱼a千克，需要支付的货款为w元，则w与a的函数关系式为．（3）【变式6-2】(2023秋•仪征市期末）某药店出售普通口罩和N95口罩．如表为两次销售记录：普通口罩/个N95口罩总销售额/元50040050006003004200（1）求普通口罩和N95口罩的销售单价分别是多少？（2）该药店计划再次购进1000个口罩，根据市场实际需求，普通口罩的数量不低于N95口罩数量的4倍．已知普通口罩的进价为1元/个，N95口罩的进价为6元/个．设购买普通口罩x个，获得的利润为W元；①求W关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；②该药店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．【变式6-3】(2023秋•义乌市期末）12月、浙江突发疫情，我市立即启动疫情应急处置模拟演练．为配合演练顺利开展，某校需要购进A、B两款体温枪共100只．已知购进A型体温枪花费1000元，B型体温枪花费1500元，A型体温枪的价格比B型高50元，B型体温枪的数量是A型的两倍．（1）求每只A型、B型体温枪的价格；（2）若购进B型体温枪的数量不超过A型体温枪的2倍，设购进A型体温枪x只．这100只体温枪的总费用为y元．①求y关于x的函数关系式；②某校实际购买时，发现某店对A型体温枪进行降价处理，比原价降低a元出售（10＜a＜100），且限定一次性最多购买A型体温枪50只，当a满足什么条件时，能使该校购进这100只体温枪总费用最小．【变式6-4】(2023•东坡区校级模拟）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a270500餐椅a﹣11070（1）求表中a的值；（2）若该商场购进餐椅的数量比餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过260张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？题型七调运方案题型七调运方案【例题6】A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城运往C、D两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，设A城运往C乡的肥料量为x吨，总运费为y元．（1）写出总运费y元关于与x之间的关系式；（2）当总费用为10200元，求从A、B城分别调运C、D两乡各多少吨？（3）怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？【变式7-1】(2023•雨花区校级开学）2021年是中国“十四五”开局之年，站在“两个一百年”奋斗目标的历史交汇点上，优先发展农业农村、全面推进乡村振兴是重中之重．湖南为了落实党的“中央一号”文件，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A，B两城共有肥料1000吨，其中B城肥料比A城肥料多200吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为10元/吨和18元/吨．现C乡需要肥料480吨，D乡需要肥料520吨．（1）A城和B城各有多少吨肥料？（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式，并写出x的取值范围，并求出最少总运费．【变式7-2】(2023春•青秀区校级期末）为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：目的地车型A村（元/辆）B村（元/辆）大货车800900小货车400600（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．【变式7-3】(2023秋•平湖市期末）要从甲、乙两仓库向A，B两工地运送水泥，已知甲、乙两个仓库分别可运出800吨和1200吨水泥；A，B两工地分别需要水泥1300吨和700吨，从两仓库运往A，B两工地的运费单价如表：A工地（元/吨）B工地（元/吨）甲仓库1215乙仓库1018（1）设甲仓库运往A工地水泥x吨，求总运费y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；（2）当甲仓库运往A工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？（3）若甲仓库运往A工地的运费下降了a元/吨（2≤a≤6），则最省的总运费为多少元？【变式7-4】(2023春•黄山期末）为了落实党的“精准扶贫”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送肥料以支持农村生产．已知A，B两城分别有肥料210吨和290吨，从A城往C，D两乡运送肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C，D两乡运送肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．设从A城运往C乡的肥料有x吨，总运费为y元．C乡（吨）D乡（吨）A城xB城（1）①用含x的代数式完成表；②请写出总运费y与x的函数关系式，并求出最少总运费．（2）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时A城运往C乡的肥料有多少吨时总运费最少？八年级下册数学《第十九章一次函数》19.7课题学习方案选择知识点知识点一次根函数的应用---方案的选择与设计◆1、选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断筛选出最佳方案的过程，此类问题往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、不等式、几何知识联系在一起.◆2、在实际问题中，运用一次函数选择最佳方案的一般步骤为：①从数学的角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个及两个以上模型）；②列出关系式，在自变量取不同值时比较对应函数值的大小关系；③结合实际需求,选择最佳方案.◆3、一次函数可以解决生产实践、日常生活中的很多实际问题：①应用一次函数和一元一次方程可以解决行程、面积等实际问题；②应用一次函数和一元一次不等式(组)可以解决生产安排、分工、运输等实际问题；③应用一次函数和二元一次方程组可以解决实际问题中评估、方案选择、决策等问题.题型一租车方案题型一租车方案【例题1】(2023春•罗源县期中）有A、B两种型号的货车：用2辆A型货车和1辆B型货车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型货车和2辆B型货车装满货物一次可运货11吨．请用学过的方程（组）知识解答下列问题：（1）求A型、B型两种货车装满货物每辆分别能运货多少吨？（2）现某物流公司有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．若A型货车每辆需租金100元/次，B型货车每辆需租金120元/次．请你帮该物流公司选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由（1）的结论结合某物流公司现有31吨货物，即可得出3m+4n＝31，即n=31−3m4，由m、n均为正数即可得出各租车方案．根据租车总费用＝每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用【解答】解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，依题意，得：2x+y=10x+2y=11解得：x=3y=4答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．（2）由题意可得：3m+4n＝31，即n=31−3m∵m，n均为整数，∴共有m=1n=7，m=5n=4和设租车费用为W元，则W＝100m+120n＝100m+120•31−3m＝10m+930，∵10＞0，∴W随m的增大而减小，∴当m＝1时，W最小，此时W＝10×1+930＝940．∴当租用A型车1辆，B型车7辆，最少租车费用为940元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）由（1）的结论结合共运货31吨，找出3m+4n=31．【变式1-1】(2023春•东洲区期末）某公司需要租赁货车运回一批货物，经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运载力和租金如下表：型号运载力（箱/辆）租金（元/辆）大货车40380小货车30300（1）若该公司计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；（2）在（1）的条件下，若这批货物共290箱，所租用的8辆货车可一次将货物全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．【分析】（1）根据题意得：y＝380x+300（8﹣x）＝80x+2400；（2）由这批货物共290箱，可得x≥5，由一次函数的性质可得租用大货车5辆，小货车3辆，租车最低，最低费用为2800元．【解答】解：（1）根据题意得：y＝380x+300（8﹣x）＝80x+2400，答：y与x的函数关系式为y＝80x+2400；（2）∵这批货物共290箱，∴40x+30（8﹣x）≥290，解得x≥5，在y＝80x+2400中，∵80＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝5时，y取最小值，最小值为80×5+2400＝2800（元），此时8﹣x＝8﹣5＝3，答：租用大货车5辆，小货车3辆，租车最低，最低费用为2800元．【点评】本题考查一次函数，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元一次不等式．【变式1-2】(2023秋•简阳市期末）今年夏天成都突发新冠疫情，“巴蜀儿女，命运与共；'疫'无反顾，共克时艰．”按照成都市应对新型冠状病毒肺炎疫情应急指挥部统一部署，我市将组织435名医务工作者前往支援，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型马客车，它们的载客量和租金如表：甲种客车乙种客车载客量（座/辆）6045租金（元/辆）1080900（1）如果恰好一次性将435名医务工作者送往成都，应安排租用甲、乙两种车各几辆？（2）设租用甲种客车m辆，租车总费用为w元．①求出w（元）与m（辆）之间的函数表达式；②当甲种客车有多少辆时，能保障所有的医务工作者都能被送往成都且租车费用最少，最少费用是多少元？【分析】（1）根据题意先设未知数，然后根据题中的等量关系列出方程组，解出方程的解即可；（2）①根据题意先写出租用的乙车数量，然后根据能保障所有的医务工作者都能被送往成都，可列出不等式组，解出m的取值范围，再根据两种客车的租金即可写出w（元）与m（辆）之间的函数表达式；②根据一次函数的增减性即可求出w的最小值．【解答】解：（1）设租用甲种客车x辆，乙种可车y辆，根据题意可列方程组为：x+y=860x+45y=435，解得：x=5答：租用甲种客车5辆，乙种可车3辆；（2）①根据题意可得：租用乙种客车（8﹣m）辆，且8−m≥060m+45(8−m)≥435，解得：5≤m根据图表可得：w＝1080m+900（8﹣m），整理得：w＝180m+7200，∴w（元）与m（辆）之间的函数表达式为：w＝180m+7200（5≤m≤8）；②由①可知w＝180m+7200，∵180＞0，∴w随m的增大而减小，∵5≤m≤8，∴当m＝5，w有最小值，此时最小值＝8100，答：当甲车租用5辆时，能保障所有的医务工作者都能被送往成都且租车费用最少，最少费用为8100元．【点评】本题考查的是一次函数的应用，解题关键：一是根据等量关系列出方程组，二是掌握函数的增减性．【变式1-3】(2023春•渠县校级月考）2020年由于疫情发生，某市伸出友爱之手，现计划把甲种医疗物资1240吨和乙种医疗物资880吨用一列货车运往某地支援，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，B型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批医疗物资的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的关系式（2）如果每节A型车厢最多能装甲种医疗物资35吨和乙种医疗物资15吨，每节B型车厢最多能装甲种医疗物资25吨和乙种医疗物资35吨，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）上述方案中，哪个方案运费最少？最少运费为多少万元？【分析】（1）根据总费用＝A型车厢费用+B型车厢费用，即可列出y与x之间的关系式，需要化单位；（2）根据题意列不等式组，解不等式组可得x的范围，即可得到答案；（3）结合（1）（2），用一次函数性质可得答案．【解答】解：（1）根据题意得：y＝0.6x+0.8（40﹣x）＝﹣0.2x+32，∴y与x之间的关系式为y＝﹣0.2x+32；（2）∵每节A型车厢最多能装甲种医疗物资35吨和乙种医疗物资15吨，每节B型车厢最多能装甲种医疗物资25吨和乙种医疗物资35吨，∴35x+25(40−x)≥124015x+35(40−x)≥880解得24≤x≤26，∵x是正整数，∴x可取24，25，26，∴一共有三种方案：①A型车厢24节，B型车厢16节；②A型车厢25节，B型车厢15节；③A型车厢26节，B型车厢14节；（3）在y＝﹣0.2x+32中，∵﹣0.2＜0，∴y随x的增大而减小，∴x＝26时，y取最小值，最小值为﹣0.2×26+32＝26.8，答：A型车厢26节，B型车厢14节，运费最少，最少运费为26.8万元．【点评】本题考查一次函数，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式组．【变式1-4】(2023秋•吴兴区期末）依靠国家强有力的政策引导和全国人民的共同努力，我国的新冠疫情态势得到了有效控制．但当前疫情发展形势依旧严峻，常态化防控工作仍然不能松懈．为了打赢这场没有硝烟的战争，某公司积极响应国家号召，采购了口罩、防护服、消毒剂等医疗物资若干箱，进行物资援助．该公司计划租用某货运公司的A、B型两种货车共6辆完成物资运送，它们的载货量和租金如表：AB载货量（箱/辆）4530租金（元/辆）800550设租用A型货车x辆，根据要求回答下列问题：（1）用含有x的式子填写下表：车辆数（辆）载货量（箱）租金（元）Ax45x800xB（2）若保证租车费用不超过4550元，求x的最大值；（3）若该公司援助防疫物资共200箱，设这批物资的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出最少运费为多少元？【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以将表格补充完整；（2）根据题意，可以列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围；（3）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式，并求出最少运费．【解答】解：（1）由题意可得，车辆数（辆）载货量（箱）租金（元）Ax45x800xB6﹣x30（6﹣x）550（6﹣x）故答案为：6﹣x，30（6﹣x），550（6﹣x）；（2）由题意可知：800x+550（6﹣x）≤4550，解得x≤5，∴x的最大值是5；（3）由题意可得，y＝800x+550（6﹣x）＝250x+3300，∴y随x的增大而增大，∵45x+30（6﹣x）≥200，解得x≥4又∵x为整数，∴当x＝2时，y取得最小值，此时y＝3800，答：y与x之间的函数关系式是y＝250x+3300，最少运费为3800元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的不等式，利用一次函数的性质求最值．【变式1-5】某学校计划在总费用为3200元的限额内，租用汽车送312名学生和8名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师；现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表：甲种客车乙种客车载客量（单位：人/辆）4530租金（单位：元/辆）400280（1）通过计算与分析后，直接写出共需租用辆汽车；（2）求出有哪几种租车方案；（3）求出最节省的租车费用是多少元．【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到需要租用多少辆汽车，本题得以解决；（2）根据（1）中的结果和表格中的数据可以得到有几种租车方案，并写出相应的租车方案；（3）根据题意可以得到租车费用和租用甲种客车的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得到最节省的租车费用是多少元．【解答】解：（1）如果全部租用甲种客车，则需要（312+8）÷45＝719如果全部租用乙种客车，则需要（312+8）÷30＝1023∵汽车辆数为整数，且有8名教师，每辆汽车上至少要有1名教师，∴共租用8辆汽车，故答案为：8；（2）设租用x辆甲种客车，则租用乙种客车（8﹣x）辆，则租车费用y＝400x+280（8﹣x）＝120x+2240，∵45x+30(8−x)≥320400x+280(8−x)≤3200解得，513≤∵x为整数，∴x＝6或7或8，∴共有3种租车方案，方案一：6辆甲种客车，2辆乙种客车；方案二：7辆甲种客车，1辆乙种客车；方案三：8辆甲种客车；（3）∵y＝120x+2240中，k＝120＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝6时，y有最小值，最节省的租车费用是2960元，答：最节省的租车费用是2960元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．题型二选择方案题型二选择方案【例题2】（2023•秦都区校级一模）尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和（x+10）本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为y1元，选择第二种方案购买所需费用为y2元．（1）请分别写出y1，y2与x之间的关系式；（2）若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠．【分析】（1）根据题意直接写出y1，y2与x之间的关系式；（2）把x＝10代入（1）中解析式求出y的值进行比较即可．【解答】解：（1）根据题意得：方案①：y₁＝15x+4×（x+10﹣x）＝15x+40；方案②：y₂＝{15x+4（x+10）]×80%＝15.2x+32．∴y₁与x之间的关系式为y1＝15x+40，y2与x之间的关系式为y2＝15.2x+32；（2）当x＝10时，y1＝15×10+40＝190；y2＝15.2×10+32＝184，∵190＞184，∴选择方案②更为优惠．【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出y1，y2与x之间的关系式．【变式2-1】（2023•二道区校级一模）某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成；薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成．设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为y1（元），方式二的销售人员的月收入为y2（元）．（1）请分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；（2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？【分析】（1）根据已知直接可得y1、y2与x之间的函数表达式；（2）由（1）的表达式，分别列方程和不等式，即可解得答案．【解答】解：（1）根据题意得：y1与x之间的函数表达式为y1＝3000+15x，y2与x之间的函数表达式为y2＝30x；（2）由3000+15x＝30x，解得：x＝200，∴当x＝200时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，当3000+15x＜30x时，解得x＞200，∴当x＞200时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员．当3000+15x＞30x时，解得x＜200，∴当x＜200时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，综上所述，当x＜200时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，当x＝200时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，当x＞200时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，通过方程（或不等式））解答．【变式2-2】(2023秋•大丰区期末）某中学计划寒假期间安排4名老师带领部分学生参加红色旅游．甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：四位老师全额收费，学生都按七折收费．（1）设参加这次红色旅游的老师和学生共有x名，y甲，y乙（单位：元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的函数解析式；（2）若该校共有30名老师和学生参加活动，则选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？【分析】（1）甲旅行社需要的费用为：0.8×1000x，；乙旅行社的收费为：2×1000+0.75×1000×（x﹣2）；（2）将x＝30分别代入（1）求得的函数解析式，计算即可求解．【解答】解：（1）y甲＝0.8×1000x＝800x，y乙＝4×1000+0.7×1000×（x﹣4）＝700x+1200；（2）当x＝30时，y甲＝800x＝800×30＝24000，y乙＝700x+1200＝700×30+1200＝22200，y甲＞y乙，答：选择乙旅行社支付的旅游费用较少．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，得出相应的函数解析式．【变式2-3】(2023秋•海曙区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；（3）分别令（1）中的y＝240，求出对应的x的值，再比较即可．【解答】解：（1）设y甲＝k1x，根据题意得4k1＝80，解得k1＝20，∴y甲＝20x；设y乙＝k2x+80，根据题意得：12k2+80＝200，解得k2＝10，∴y乙＝10x+80；（2）解方程组y=20x解得：x=8y=160∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；（3）当y＝240时，y甲＝20x＝240，∴x＝12；当y＝240时，y乙＝10x+80＝240，解得x＝16；∵12＜16，∴选择乙种更合算．【点评】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键．【变式2-4】(2023•太康县校级模拟）为迎接中招体育考试，某校决定采购一批足球以供学生业余训练使用．某体育用品超市推出以下两种优惠方案：方案一，一律打八折；方案二，当购买量不超过80个时，按原价销售，当购买量超过80个时，超过的部分打六折．已知一个足球的原价为50元，设学校计划购买x个足球．（1）设方案一的总费用为y1，方案二的总费用为y2，请分别写出y1，y2（元）与x（个）之间的函数关系式；（2）若派学生代表去采购足球，他们应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．【分析】（1）利用两种优惠方案的优惠方式分别列式计算即可；（2）利用分类讨论的方法和（1）中的结论分三种情形讨论解答即可．【解答】解：（1）方案一的总费用为y1＝0.8×50x＝40x；当x≤80时，方案二的总费用为y2＝50x，当x＞80时，方案二的总费用为y2＝50×80+50（x﹣80）×0.6＝30x+1600，∴方案二的总费用为y2=50x(x≤80)（2）当x＜160时，选择方案一更省钱，当x＝160时，选择两种购买方式花费相同，当x＞160时，选择方案二更省钱．理由：①当x≤80时，∵40x＜50x，∴y1＜y2，∴选择方案一更省钱；当80＜x＜160时，∵40x＜30x+1600，∴y1＜y2，∴选择方案一更省钱；②当x＝160时，∵40x＝30x+1600，∴y1＝y2，∴两种购买方式花费相同；③当x＞160时，∵40x＞30x+1600，∴y1＞y2，∴选择方案二更省钱．综上，当x＜160时，选择方案一更省钱，当x＝160时，选择两种购买方式花费相同，当x＞160时，选择方案二更省钱．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，利用分类讨论的方法解答是解题的关键．【变式2-5】(2023春•潼南区期末）某校组队参加庆祝中国共青团成立100周年经典诵读比赛，需要为参赛选手每人配备一个朗诵文件夹．已知甲、乙两家店铺销售同款文件夹，原价相同，但销售方式不同，在甲店铺，无论一次性购买多少个文件夹，一律打8.5折；在乙店铺，当购买数量不超过30个时，按原价出售，当购买数量超过30个时，超过的部分打7折．设该校需购买x个朗诵文件夹，在甲店铺购买所需的费用为y1元，在乙店铺购买所需的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示．（1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式；（2）求图中m的值，并说明m的实际意义；（3）若该学校一次性购买朗诵文件夹的数最超过40个，但不超过90个，到哪家店铺购买更优惠？【分析】（1）根据甲、乙商店的不同销售方案，可得关系式，注意乙商店的；（2）根据等量关系：甲商店所需费用＝乙商店所需费用，列出方程并求解即可；（3）注意分情况讨论，当172m＝7m+90时，当172m＜7m+90时，当172m【解答】解：（1）文件夹的原价：300÷30＝10（元），30个文件夹的价格：30×10×0.85＝255（元），由题意得，设y1＝kx，把（30，255）代入得，k=17∴y1=172当0≤x≤30时，设y2＝kx，把（30，300）代入得，k＝10，∴y2＝10x；当x＞30时，y2＝10×30+10×0.7×（x﹣30）＝7x+90，∴y2=10x(0≤x≤30)答：y1关于x的函数解析式是y1=172x，y2关于x的函数解析式是y2（2）当172m＝7m+90时，mm的实际意义是当购买60个朗诵文件夹时，甲乙两家商店花费相同．（3）当172x＝7x+90时，即x当172x＜7x+90时，即40＜x当172x＞7x+90时，即60＜x【点评】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用．题目难度不大．理解两个店铺不同的销售方案是解决本题的关键．题型三购买方案题型三购买方案【例题3】(2023秋•市中区期末）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗100棵．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买甲树苗不少于25棵，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？最少费用是多少元？【分析】（1）根据购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；（2）根据题意可以写出花费与购买甲种树苗数量之间的函数解析式，再根据购买甲树苗不少于25棵和一次函数的性质，即可得到最低费用．【解答】解：（1）设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵y元，由题意可得：20x+16y=1280x−y=10解得x=40y=30答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元；（2）设购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（100﹣a）棵，所需费用为w元，由题意可得：w＝40a+30（100﹣a）＝10a+3000，∴w随a的增大而增大，∵购买甲树苗不少于25棵，∴a≥25，∴当a＝25时，w取得最小值，此时w＝3250，100﹣a＝75，答：购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时花费最少，最少费用是3250元．【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．【变式3-1】(2023春•临沭县期末）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少是多少元？【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．（2）购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克，根据实际意义可以确定x的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝k1x（k1≠0），根据题意得50k1＝1500，解得k1＝30；∴y＝30x；当x＞50时，设y＝k2x+b（k2≠0），根据题意得，50k解得：k2∴y＝24x+300．∴y=30x(0≤x≤50)（2）购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克，∴50≤x≤60，w＝24x+300+25（100﹣x）＝﹣x+2800．∵﹣1＜0∴y随x的增大而减小，∴当x＝60时，wmin＝2740元，此时乙种水果100﹣60＝40（千克）．答：购进甲种水果为60千克，购进乙种水果40千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少，最少是2740元．【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．【变式3-2】（2023•雁塔区校级模拟）今年的春节假期是文旅行业近三年来最火爆的一年，西安作为十三朝古都，由于其悠久的历史无疑成为最具吸引力的旅游城市之一．西安某景点的A、B两种纪念品深受广大游客们的喜爱，经过了解发现，A种纪念品的进价为11元/件，B种纪念品的进价为13元/件．若某商店决定要购进A、B两种纪念品共300件，设购进A种纪念品x件，购进这300件纪念品所需总费用为y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该店进货时，厂家要求A种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半，试问如何购进A、B两种纪念品使得所需总费用最低，并说明理由．【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式；（2）根据厂家要求A种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半，可以得到x的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到如何购进A、B两种纪念品使得所需总费用最低．【解答】解：（1）由题意可得，y＝11x+13（300﹣x）＝﹣2x+3900，即y与x之间的函数关系式是y＝﹣2x+3900；（2）当购进A种纪念品100件，B种纪念品200件时，所需总费用最低，理由：由（1）可得，y＝﹣2x+3900，∴y随x的增大而减小，∵厂家要求A种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半，∴x≤12（300﹣解得x≤100，∴当x＝100时，y取得最小值，此时y＝3700，300﹣x＝200，∴当购进A种纪念品100件，B种纪念品200件时，所需总费用最低．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的不等式，利用一次函数的性质求最值．【变式3-3】（2023•衢州模拟）三八节即将到来，小红打算买一束康乃馨和百合组合的鲜花送给妈妈，已知买2支康乃馨和3支百合需21元，3支康乃馨和2支百合需19元．（1）买1支康乃馨和1支百合各需多少元？（2）小红准备买康乃馨和百合共12支，且百合花的支数不少于康乃馨的12，设买这束鲜花所需费用w元，康乃馨有x支，求w与x【分析】（1）根据买2支康乃馨和3支百合需21元，3支康乃馨和2支百合需19元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；（2）根据题意和题目中的数据，可以写出w与x之间的函数关系式，然后根据百合花的支数不少于康乃馨的12，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到w【解答】解：（1）设买1支康乃馨需要a元，买1支百合需要b元，由题意可得：2a+3b=213a+2b=19解得a=3b=5答：买1支康乃馨需要3元，买1支百合需要5元；（2）由题意可得，w＝3x+5（12﹣x）＝﹣2x+60，∴w随x的增大而减小，∵百合花的支数不少于康乃馨的12∴12﹣x≥12解得x≤8，∴当x＝8时，w取得最小值，此时w＝44，12﹣x＝4，答：w与x之间的函数关系式是w＝﹣2x+60，费用最少的买花方案是买康乃馨8支，买百合4支．【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．【变式3-4】(2023秋•长安区期末）某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，根据“购买1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w，由甲种奖品不少于20件，可得出关于m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，依题意，得：x+2y=402x+3y=70解得x=20y=10答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件．（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w元，∵甲种奖品不少于20件，∴m≥20．依题意，得：w＝20m+10（60﹣m）＝10m+600，∵10＞0，∴w随m值的增大而增大，∴当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的一次函数关系式．【变式3-5】(2023秋•东阳市期末）某校为“防疫知识小竞赛”准备奖品，购进A，B两种文具共40件作为奖品，设购进A种文具x件，总费用为y元．已知A、B文具的费用与x的部分对应数据如下表．x（件）81012A种文具费用（元）120150bB种文具费用（元）640a560（1）将表格补充完整：a＝；b＝；（2）求y关于x的函数表达式．（3）当A种文具的费用不大于B种文具的费用时，求总费用y的最小值．【分析】（1）根据表格中的数据，可以先计算出A种文具的单价，然后再计算出B种文具的单价，再计算a和b的值即可；（2）根据题意和（1）中两种文具的单价，可以写出y与x的函数关系式；（3）根据题意，可以得到相应的不等式，然后求出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到y的最小值．【解答】解：（1）由表格可得，A种文具每件的价格为：120÷8＝15（元），B种文具每件的价格为：640÷（40﹣8）＝20（元），则a＝20×（40﹣10）＝600，b＝12×15＝180，故答案为：600，180；（2）设购进A种文具x件，则购进B种文具（40﹣x）件，由题意可得：y＝15x+20（40﹣x）＝﹣5x+800，即y关于x的函数表达式是y＝﹣5x+800；（3）∵A种文具的费用不大于B种文具的费用，∴15x≤20（40﹣x），解得x≤2267∵y＝﹣5x+800，∴y随x的增大而减小，∴当x＝22时，y取得最小值，此时y＝690，答：总费用y的最小值是690．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式和不等式，利用一次函数的性质求最值．题型四采购方案题型四采购方案【例题4】(2023秋•秦都区期末）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元，单价不变，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元．求：（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？（2）若计划再购买A、B两种花草共30棵，设购买A种花草m棵，购买花草的总费用为W元，求出W关于m的函数表达式，并计算当m＝9时，购买花草的总费用为多少元？【分析】（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意可列出相应的二元一次方程组，解方程组即可得到答案；（2）购买A种花草的数量为m株，则购买B种花草的数量为（30﹣m）株，根据题意列出W关于m的函数表达式，当m＝9时，求出W的值即可．【解答】解：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得，30x+15y=67512x+5y=265解得x=20y=5答：A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元；（2）∵购买A种花草的数量为m株，则购买B种花草的数量为（30﹣m）株，根据题意得：W＝20m+5（30﹣m）＝15m+150，当m＝9时，W＝15×9+150＝285（元），∴当m＝9时，购买化草的总费用为285元．【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出二元一次方程组和求出一次函数的表达式．【变式4-1】(2023春•黄陵县期末）暑假过后将迎来新学期，为保障教学硬件设施的完善，某校后勤部决定对松动、损坏的课桌椅进行检修和置换，已知在供应商处购买，一张课桌价格是120元，一把座椅价格是30元．若该校准备购买课桌和座椅共216件，设购买座椅a把．（1）因学校购买数量多，且可以长期合作，供应商给出了如下优惠：课桌打七五折，座椅打八折，求该校按此优惠购买这些课桌椅的总费用W与a之间的函数关系式；（2）若该校购买的课桌不少于70张，且座椅的数量不少于课桌的2倍，则本次购买课桌椅有哪些购买方案？求出花费最少的方案及其对应的总费用．【分析】（1）根据题目中的数据，可以写出W与a之间的函数关系式；（2）根据该校购买的课桌不少于70张，且座椅的数量不少于课桌的2倍，可以列出相应的不等式组，从而可以求得购买座椅数量的取值范围，再根据①中的函数解析式和一次函数的性质，可以求得最少花费的方案及其相应的费用．【解答】解：（1）由题意可得：W＝30a×0.8+120（216﹣a）×0.75＝﹣66a+19440，答：该校按此优惠购买这些课桌椅的总费用W与a之间的函数关系式是W＝﹣66a+19440；（2）∵该校购买的课桌不少于70张，且座椅的数量不少于课桌的2倍，∴216−a≥70a≥2(216−a)解得：144≤a≤146，∵a为整数，∴a可取144，145，146，∴符合条件的购买方案有：144把座椅和72张课桌或145把座椅71张课桌或146把座椅和70张课桌，而W＝﹣66a+19440，∵﹣66＜0，∴W随a的增大而减小，∴当a＝146时，W取得最小值，此时W＝9804，答：本次购买课桌椅方案有：购买方案有：144把座椅和72张课桌或145把座椅71张课桌或146把座椅和70张课桌，其中方案：146把座椅和70张课桌花费最少，最少费用为9804元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．【变式4-2】某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．【分析】（1）根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；（2）根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当x取最小值时，y有最大值，将x＝12代入函数解析式求出结果即可．【解答】解：（1）由题意得：y＝（2000﹣1600）x+（3000﹣2500）（20﹣x）＝﹣100x+10000，∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y＝﹣100x+10000；（2）由题意得：1600x+2500(20−x)≤39200400x+500(20−x)≥8500解得12≤x≤15，∵x为正整数，∴x＝12、13、14、15，共有四种采购方案：①甲型电脑12台，乙型电脑8台，②甲型电脑13台，乙型电脑7台，③甲型电脑14台，乙型电脑6台，④甲型电脑15台，乙型电脑5台，∵y＝﹣100x+10000，且﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x取最小值时，y有最大值，即x＝12时，y最大值＝﹣100×12+10000＝8800，∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元．【点评】此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键．【变式4-3】今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．【分析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程解答即可；（2）分别求出A种树苗每棵的价格与B种树苗每棵的价格，设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，根据题意求出w与t的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程，得：6300.9x解这个方程，得x＝20，经检验，x＝20是原分式方程的解，并符合题意，答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）由（1）可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9＝18（元），B种树苗每棵的价格为：20×1.2＝24（元），设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000，∵w是t的一次函数，k＝﹣6＜0，∴w随t的增大而减小，又∵t≤3500，∴当t＝3500棵时，w最小，此时，B种树苗有：5500﹣3500＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000，答：购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．【点评】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．【变式4-4】(2023春•江津区期末）中考临近，某商家抓住商机，采购了一批考试用笔套装（记为A套装，包括有黑色签字笔和涂卡铅笔）和作图工具套装（记为B套装，包括有圆规和直尺）进行售卖，出售时两种套装都是整套出售，且全部售出．已知购进的两种套装A、B共500套，A、B两种套装进价与售价如表所示．设采购A种套装x套，获得的总利润为y元．套装购进价格（元/套）售出价格（元/套）A1215B1620（1）求y关于x的函数关系式；（2）如果该商家采购的A套装的套数不少于100套，且不超过B套装的套数，那么该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式；（2）设该商家购进A套装m套，则购进B套装（500﹣m）套，根据采购的A套装的套数不少于100套，且不超过B套装的套数，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设套装全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每套的利润×购进数量，即可得出