集合-2024年新高考数学一轮复习（解析版）

专题01集合

【命题方向目录】

命题方向一：集合的表示：列举法、描述法

命题方向二：集合元素的三大特征

命题方向三：元素与集合间的关系

命题方向四：集合与集合之间的关系

命题方向五：集合的交、并、补运算

命题方向六：集合与排列组合的密切结合

命题方向七：集合的创新定义

[2024年高考预测】

1、考查两个几何关系的判定或子集的个数问题

2、常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合

重点考查集合的交集运算，也可能考查集合的并集、补集运算

【知识点总结】

1、集合与元素

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，通常用大写字母A，3，€?，・•・表示.集合中的

每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母a,6，。，.一表示.

2、集合的分类

集合按元素多少可分为：有限集（元素个数有限）、无限集（元素个数无限）、空集（不含任何元素）;

也可按元素的属性分，如：数集（元素是数），点集（元素是点）等.

3、集合中元素的性质

对于一个给定的集合，它的元素具有确定性、互异性、无序性.

4、常用集合符号

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N,ZQR

5、元素与集合之间的关系

元素与集合之间用“e”或“C”连接，元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小或相等关系.

6、集合与集合之间的关系

（1）包含关系：如果对任意xeA，都有xeB，则称集合A是集合8的子集，记作显然AqA，

0GA;

（2）相等关系：对于集合人、B，如果同时AR3,那么称集合A等于集合3,记作4=8；

（3）真包含关系：对于集合A、B，如果A=并且我们就说集合A是集合5的真子集，

记作AUB;

（4）空集是任何非空集合的真子集.

7、集合的基本运算

（1）交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与8的交集，记作4B，

即A8={x|xeA,且re8}•

（2）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合3的元素组成的集合，称为A与3的并集，记作AB，

即A3={x|xeA,或xe8}.

（3）补集：对于一个集合A，由全集u中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全

集U的补集，简称为集合A的补集，记作Q4，即QA={x|xeU,且％e4}.

8、集合表示方法：列举法、描述法、Venn图.

9、集合之间的运算性质

（I）交集：AB=BA，AB=ABcB<AA=A，A0=0，A=30AB=A-

（2）并集：AB=BA，A8=A，AB&B，AA=A，Ai0=A，A=3=4B=B-

（3）补集的运算性质：Cy（Q,A）=A>Cv0=U.C〃U=0，A（CyA）=0.A（CuA）=U-

【秒杀总结】

（1）若有限集A中有八个元素，则A的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空子集有2"-1个，非空

真子集有2"_2个.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合6的真子集.

（3）AcB=AoAqa==A.

【典例例题】

命题方向一：集合的表示：列举法、描述法

【通性通解总结】

1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

例1.（2023・新疆•校联考二模）集合A={T0,l,2,3,4,5},B={x|x为1~10以内的质数},记AcB=M,

则（）

A.leMB.2iM

C.D.4任M

【答案】D

【解析】因为5={刈彳为1~10以内的质数}={2,3,5,7},又4={-1,0,123,4,5},

则M=Ac3={2,3,5},对比选项可知，1拓M,2eM,3wM,4任M,即D正确，ABC错误.

故选：D.

例2.（2023•全国•高三专题练习）已知集合4={-1,0,1},则集合B中所有元

素之和为（）

A.0B.1C.-1D.72

【答案】C

【解析】根据条件分别令苏-1=-1,0」,解得，”=0,±1,士夜，

又加一1任A,所以，"=—1，土0,B=夜},

所以集合B中所有元素之和是T,

故选：C.

例3.（2023・全国•高三专题练习）已知集合人={*|2<》<6"£[^},则集合A的子集的个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【解析】集合A={x|2<x<6,xeN}={3,4,5},

则集合A的子集有:0,{3},{4}45},{3,4},{3,5},{4,5},{3,4,5）,共8个,

所以集合A的子集的个数为8.

故选：D

变式1.（2023•广东茂名•高三统考阶段练习）设集合A={2,4},8={1,2},集合

M=[z]z=A,yeB、则M中所有元素之和为（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【解析】当x=2,y=l时，z=2；

当x=2,y=2时，z=l；

当x=4,y=l时，z=4；

当X=4,y=2时，z=2;

所以例={1,2,4},“中所有元素之和为7.

故选：C.

变式2.（2023•全国•高三专题练习）已知集合4=1,44},集合B=卜,wN*且%-1e4，则8=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】C

【解析】A={x|x2<4}=[-2,2bB={x|xeWKx-leA),

故选：C

变式3.(2023・河北•高三统考学业考试)直角坐标平面中除去两点41,1)、8(2,-2)可用集合表示为()

A.{(x,y)|xw1,ywl,xw2,yw-2}

「xw1-fxw2

B.{*,y)|।或J

ITl"-2

c.{(x,y)|[(x-I)2+(y-l)2][(x-2)2+(y+2)2]#0)

D.{(x,y)I[(x-1)2+(y-1)2]+[(x-2)2+(y+2)2]*0}

【答案】C

【解析】直角坐标平面中除去两点A(l,l)、B(2-2),其余的点全部在集合中，

A选项中除去的是四条线x=l,y=l,x=2,y=-2；

B选项中除去的是A(L1)或除去以2,-2)或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；

C选项{(x,y)|[(x-l)2+(y-l)2][(x-2)2+(y+2)2]#0},则*-1尸+(丫-1尸#0且(x-2/+(y+2尸*0,即除去

两点A(l,l)、B(2,-2),符合题意;

D选项{(x,y)IKx-1)2+(y-1)2]+Kx-2)2+(y+2尸]#0},则任意点(x,y)都不能

[(x-1)2+(y-1)2]+[(x-2)2+(y+2)2]=0,即不能同时排除A,8两点.

故选：C

命题方向二：集合元素的三大特征

【通性通解总结】

1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性.

2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系.

例4.(2023•全国•高三专题练习)集合A={a,b,c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么

这个三角形一定不是()

A.等腰三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

【答案】A

[解析】根据集合中元素的互异性得a*b,b#c,a*c,

故三角形一定不是等腰三角形.

故选：A.

例5.(2023•全国•高三专题练习)定义集合A*B={z|z=wxeA,ye3},设集合A={-1,(U},

8={-1,1,3},则A*8中元素的个数为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】因为A={T,O,1},8={T,1,3},

所以4*3={-3,-1,0,1,3},

故4*8中元素的个数为5.

故选：B.

例6.（2023•河南新乡•高三校联考开学考试）已知集合4={4/,2»,B=,若A=B，则实数

x的取值集合为（）

A.{-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2}

【答案】B

【解析】因为4=3,所以—2eA.

当x=-2时，2y=l-y,得y=；；

当2y=-2时，贝ljx=2.

故实数x的取值集合为{-2,2}.

故选：B

变式4.（2023•全国•高三专题练习）设集合A设-2,-U,2,3},3=3"1吗|犬鼻€力，则集合8元素

的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】当x=±2时，y=l；

当％=±1时，y=0；

当x=3时,y=log23.

故集合B共有3个元素.

故选：B.

变式5.（2023•全国•高三专题练习）已知集合4={2,-5,3.+1,/},B={a+5,9,l-a,4},若Ac5={4},

则实数”的取值的集合为（）

A.{1,2,-2}B.{1,2}C.{1,-2}D.{1}

【答案】D

【解析】集合A={2,-5,3a+l,〃},8={a+5,9,l-a,4},

又AcB={4}3a+l=4或/=4，解得。=1或4=2或。=-2,

当”=1时，A={2,-5,4,1},={6,9,0,4},AcB={4},符合题意；

当a=2时，A={2-5,7,4},8={7,9,-1,4},Ac8={7,4},不符合题意；

当a=-2时，A={2,-5-5,4},3={3,9,3,4},不满足集合元素的互异性，不符合题意.

=则实数“的取值的集合为{1}.

故选：D.

命题方向三：元素与集合间的关系

【通性通解总结】

1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别.

2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数，是还是.

例7.（2023•贵州黔东南•凯里一中校考三模）己知集合5=卜|丫=/一1},7'={（匕丫）|犬+丫=0},下列关系正

确的是（）

A.-2eSB.（2,-2）gTC.-U5D.（-1,1）GT

【答案】D

【解析】因为S={y|y=x2-i}={），|y*T},

所以A、C错误，

因为2+（-2）=0,所以（2,—2）eT,所以B错误，

又—1+1=0,所以所以D正确，

故选:D.

例8.（2023・新疆・校联考二模）集合4=卜白＞1/€2卜8={x|x为1~10以内的质数},记

Ar＞B=M,则（）

A.IGA/B.C.3&A/D.

【答案】D

Q

【解析】由解得一2＜尢＜6,XxeZ,所以A={-l,0,l,2,3,4,5},

而5={2,3,5,7},则A3={2,3,5},即知={2,3,5},

对比选项可知，D正确，而A、B、C错误.

故选：D.

例9.（2023•河北石家庄•统考一模）设全集U={2,4,6,8},若集合M满足aM={2,8},则（）

A.4aMB.C.41MD.6走用

【答案】C

【解析】由题意可得：加={4,6},

显然4是M中的元素，故ABD错误，C正确.

故选：c

变式6.（2023・河南・开封高中校考模拟预测）已知4={4/-6+1<0},若2e/,且3WA,则。的取值

范围是（）

（5\（510"|「510、（10-

a-i2'+o°jb-匕旬c-d-a司I

【答案】B

【解析】由题意，22-2a+l<0且32-3a+120，

解得

23

故选：B

变式7.（2023•云南昆明•昆明一中校考模拟预测）已知集合4={-2,-1,1,3,5},集合

B={R-d+5>0,XGZ},则图中阴影部分所表示的集合为（）

A.{-2,-1,1}B,{0,3,5}

C.{0,1}D.{0,2}

【答案】D

【解析】因为8=5|+5<0,xeZ}={x[—石<x<z}={-2,-1,0,1,2),

易知图中阴影部分对应的集合为{xlxeB且xeA}={0,2},选项D正确，

故选：D

变式8.（2023・河北•高三学业考试）给出下列关系：①;iR；②近iR；③3|eN；④3|eQ.其中

正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】g是有理数，也是无理数，均为实数，①正确，②错误；

|-3|=3,为自然数及有理数，③④正确.

故选：C.

命题方向四：集合与集合之间的关系

【通性通解总结】

I、注意子集和真子集的联系与区别.

2,判断集合之间关系的两大技巧：

（1）定义法进行判断

（2）数形结合法进行判断

例10.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）若非空集合A7,MP满足：McN=N,MS=P,则（）

A.P三MB.MlP=M

C.N2P=PD.MMN=0

【答案】BC

【解析】由McN=N可得：N^M,\\]MP=P,可得MqP,则推不出P=故选项A错误；

由A/aPuJ■得MlP=M,故选项B正确；

因为Nq〃且M=所以NqP,则=故选项C正确；

由NqMuJ得：Mc与N不一定为空集，故选项D错误；

故选：BC.

例11.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）已知集合4=3-14》<7},B={x|a+2<x<2a-\],若使

8aA成立的实数。的取值集合为M,则M的一个真子集可以是（）

A.（-8,4]B.（-a）,3]C.（3,4]D.[4,5）

【答案】BC

【解析】由题意集合4={xl-lVx<7},B={x|a+2<x<2a-\],

因为8=A,所以当3=0时，a+2>2a-\,即a<3；

当8W0时，<-l<a+2<2a-l<7,解得34〃W4,

故M=（-8,4].则M的一个真子集可以是（TO,3]或（3,4],

故选：BC.

例12.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）已知集合M=k|6W-5x+l=0},集合尸={x|ar=l},若

McP=P,则实数。的取值可能为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】ACD

【解析】由6V_5x+]=0得（2x—l）（3x_l）=0,解得*=；或彳=：,故"

因为McP=P，所以P=A7,

当P=0时，得4=0,满足题意；

当Pw0时，得QWO,则尸={Har=i}={xx=1},

所以，=:或，=）,得a=2或.=3；

a2a3

综上：a=0或。=2或。=3.

故选：ACD.

变式9.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）设Z表示整数集，且集合M={时机=54-2,AeZ},

N={H”=l（R+8,/eZ},贝lj（）

A.MuN=MB.McN=0

C.电M）-N=ZD.（颛）u（zN）

【答案】AD

【解析】•."=100+8=5x22+5x2-2=5（22+2）-2,由keZ,则2左+2eZ,

即N中元素都是M中元素，有NjM；.

而对于集合M，当A=1时，7n=3,故3eM,但3eN,NU"

由NUM,有〃uN=例，A选项正确；VcN=N,B选项错误；

由NO",有（颛）0（zN）,.•.（“％）N=Z,（d,M）NHZ,C选项错误，D选项正确.

故选：AD.

变式10.（多选题）（2023•云南昆明•昆明一中校考模拟预测）已知条件p：{x|/+x-6=0},条件q：

{x|xm+l=0},且p是q的必要条件，则机的值可以是（）

A.gB，gC.D.0

【答案】BCD

【解析】设A={x，+x_6=0}={-3,2},B={x\xm+l=0},

因为〃是4的必要条件，所以

当8=0时:山g+1=0无解可得加=0,符合题意；

当3工0时，B={2}或3={-3},当3={2}时，由2m+1=0解得机=-；，

当5={-3}时,由-3m+l=0解得阳=；.

综上，机的取值为0,-1,1.

故选：BCD

变式11.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）设集合

M={x\x=6k+2,keZ],N={x|x=6k+5,keZ\,P={x|x=3k+2,keZ},贝lj（）

A.McN手0B.MDN=PC.M=PD.*pM=N

【答案】BD

【解析】A/={x|x=6fcj+2,kxeZ},N={x\x=6k2+5,k2eZ},P={x\x=3k3+29JeZ},

对A,由6Al+2=6&+5=K=&+耳，等式不成立，故McN=0,A错；

对BCD,当％3为奇数时，可令。=2&+1,则女3+2=6左2+5；当A3为偶数时，可令出3=2%,则

3%+2=6年+2.

故〃3%=尸，且N=O，M,BD对C错；

故选：BD

变式12.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）下列关系式错误的是（）

A.0e{O}B.{2}G{1,2}C.&三QD.OeZ

【答案】AC

【解析】A选项由于符号e用于元素与集合间，0是任何集合的子集，所以应为0G{0},A错误;

B选项根据子集的定义可知正确；

C选项由于符号G用于集合与集合间，C错误；

D选项Z是整数集，所以OeZ正确.

故选：AC.

变式13.（多选题）（2023.全国•高三专题练习）设4=卜9_"+14=0},B={x|ar-l=0},若

AB=B,则实数”的值可以为（）

A.2B.—■C.—D.0

27

【答案】BCD

【解析】集合4={x|*2—9x+14=0}={2,7},B={x|ar-l=0},

又月B=B,

所以3=

当a=O时，B=0»符合题意，

当"0时，则8={1},所以1=2或4=7,

aaa

解得”=g或八；，

综上所述，。=0或g或3，

故选：BCD

变式14.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）已知集合4={xeR|f-3x-18<0},

B=|%eR|x2+ax+tz2-27<0|,则下列命题中正确的是（）

A.若A=B,则。=—3B.若A=3,则a=—3

C.若3=0,则或D.若BUA时，则一6<a«—3或

【答案】ABC

【解析】A={xeR|-3<x<6},若4=5，则。=一3,且°2-27=-18,故A正确.

。=一3时，A=3‘故D不正确.

^AaB,WlJ(-3)2+a-(-3)+a2-27<0Ji62+6a+a2-27<0.解得a=-3,故B正确.

当8=0时，/-4(/-27)40,解得。4-6或“26,故C正确.

故选:ABC.

变式15.(2023•全国•高三专题练习)已知集合4={-1,1,3},8={&+2,a},BaA,则实数a的值是

【答案】1

【解析】因为A={-l,l,3},B={&+2,a},且BqA,

所以后+2e4,a&A,

因为G+2W2,«>0,

所以々+2=3,解得a=l.

当a=l时，8={1,3},满足要求.

所以a=l.

故答案为：1.

变式16.(2023・全国•高三专题练习)已知集合〃=卜,2+》-6=0},N={x|/nr-1=0},若NqM,则实

数m的取值构成的集合为.

【答案】梏4}

【解析】•••集合〃={#2+》-6=0},

集合/={2,-3},

,:NqM,N={H/nr-1=0},

:,N=0,或川={2},或'={-3}三种情况,

当N=0时，可得机=0；

当"={2}时，VN=[x\mx—\=0),/.x=-i-=2,/w=—；

1;m2

当"={-3},x=—=-3,/.m-；

「nt3

实数m的取值构成的集合为,

故答案为：

命题方向五：集合的交、并、补运算

【通性通解总结】

1、注意交集与并集之间的关系

2、全集和补集是不可分离的两个概念

例13.(2023・安徽•高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习)已知集合A={x|l〃(x-2)<0},

B={x|5-2x)O}(则4B=()

A.|x|2<x<!|B.|x||<x<3!C.jx|l<x<-||D.{x|l<x<2)

【答案】A

【解析】由题意得，ln(x-2)<0=2<x<3,5-2x>0=x<|,

所以A={x[2<r<3},B={x|x<|},

所以AcB={x|2<x<|}.

故选：A.

例14.(2023•宁夏银川・银川一中校考二模)已知集合人={414x43},B={x|y=ln(4-x2)},则

AD8=()

A.(―8,—1]D[2,+OO)B.[-1,2)

C.[-1,3]D.(-2,3]

【答案】D

【解析】由题意可得：4-x1>0^>B=(-2,2)=>AB=(-2,3]

故选：D

例15.(2023・安徽宣城•高三统考期末)已知U=R,集合A={—3,-1,0,1,3},B={x||x-l|>1},则

AIq/=()

A.{—1,0,1}B.{-3,3}C.{-3,—1,3}D.{0,1}

【答案】D

【解析】因为8=卜|k一力1}={》|》<0或x>2),

所以a/8={x|0VxV2},又4={—3,T,0,l,3}

所以AI&B={0,l}.

故选：D.

变式17.(2023•江西吉安•统考一模)已知全集。=R.设集合A={即。氏。+2)41},8=bJ<1,则

（4A）B=（）

A.{x|-2<x<0}B.{小4-2或x>l}

C.{x[x<-2或x>0}D.{X|XNO}

【答案】D

【解析】由不等式k）g2（x+2）41n0<x+242,

解得A={R-2<x40}.

^,,A=1x|x<-2ngx>0）；

由不等式21\-x

xx

解得8={x|x<（）或x>l}.

”）口8={巾.0}.

故选:D.

变式18.（2023.内蒙古赤峰.统考二模）设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},AI^B={1,3},«（AB）={2,4},

则集合B为（）

A.{1,3,5,6,7,8}B.{2,4,5,6,7,8}

C.{5,6,7,8}D.{1,2,3,4}

【答案】C

【解析】因为全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},

由心（A8）={2,4}知,2eB,4eB；

由AIg3={l,3}知，1/5,3任8,

则集合B={5,6,7,8},

故选：C.

变式19.（2023•贵州•校联考二模）已知全集。=1^,集合A={x|kgxM2},3={疝<工<5},则图中阴影

部分表示的集合为（）

A.{x|x45}B.{x|0<x<l}C.{x|x44}D.{x|l<x<5}

【答案】B

【解析】由图可得，图中阴影部分表示的集合为(a5)riA,

因为Iog2x42=log24,所以A={x[0<x44},

因为3={x[l<x<5},所以年8={小41或xN5},

所以（68）cA={x|0<x41}.

故选：B.

变式20.（2023•全国•高三专题练习）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card（A）表示有限集

合A中元素的个数.例如,A={a,b,c},则card（A）=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A,B,C三

类，那么，card（A_B_C）=

cardA+cardB+cardC-card（/IB）-card（J?C）-card（AC）+card（ABC）.某校初一四班学生46人，

寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游

泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】设集合A={参加足球队的学生},

集合8={参加排球队的学生.},

集合C={参加游泳队的学生},

则card（A）=25,card（3）=22,card（C）=24,

card（A5）=12,card（8C）=8,card（AC）=9

设三项都参加的有x人，即card（ABC）=x,card（AlBC）=46,

所以由card（ABC）=cardA+card/?+cardC-card（AB）-card（BC）-card（AC）+card（ABC）

即46=25+22+24-12-8-9+x,

解得x=4,

三项都参加的有4人，

故选：C.

变式21.（2023•全国•高三专题练习）如图，/为全集，M、P、S是/的三个子集，则阴影部分所表示的

集合是（）

A.{MP)SB.(MP)S

C.(McP)cSD.(McP)uS

【答案】C

【解析】由Venn图可得，集合表示M,P的交集与S的补集的交集，即(McP)cK

故选：C

命题方向六：集合与排列组合的密切结合

【通性通解总结】

利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法

例16.(2023・全国•高三专题练习)己知集合X={1,2,3},匕={1,2,3,,”},(〃eN*),设S„={(«,/?)1a

整除匕或〃整除a，aeX,heYn},令/(«)表示集合5“所含元素的个数，则“2022)=

【答案】3709

【解析】/(2022)表示集合Sm2所含元素的个数，

其中aw{l,2,3},Z>e{1,2,3,,2022},

b整除。的有(1,力(2,1),(3,1),(2,2),(3,3)共5个.

。整除b的：

(1)1整除匕的有2022个；

2022

(2)2整除b的有不二=1011个；

(3)3整除人的有20笠22"=674个.

重复的有。，1)，(2,2),(3,3)共3个.

所以“2022)=5+2022+1011+674-3=3035+674=3709.

故答案为：3709

例17.(2023・上海•高三专题练习)设非空集合。aM,当。中所有元素和为偶数时(集合为单元素时和

为元素本身)，称。是M的偶子集，若集合M={1,2,3,4,5,6,7},则其偶子集。的个数为.

【答案】63

【解析】集合。中只有2个奇数时，则集合Q的可能情况为：{L3}、{1,5}、{1,7}、{3,5}、{3,7}、

{5,7},共6种，

若集合。中只有4个奇数时，则集合Q={1,3,5,7},只有一种情况，

若集合Q中只含1个偶数，共3种情况：

若集合Q中只含2个偶数，则集合Q可能的情况为{2,4}、{2,6}、{4,6},共3种情况；

若集合Q中只含3个偶数，则集合Q={2,4,6},只有1种情况.

因为。是M的偶子集，分以下几种情况讨论：

若集合。中的元素全为偶数，则满足条件的集合。的个数为7；

若集合。中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；

若集合Q中的元素是2个奇数1个偶数，共6x3=18种；

若集合。中的元素为2个奇数2个偶数，共6x3=18种；

若集合Q中的元素为2个奇数3个偶数，共6x1=6种：

若集合。中的元素为4个奇数1个偶数，共1x3=3种；

若集合。中的元素为4个奇数2个偶数，共1x3=3种；

若集合。中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.

综上所述，满足条件的集合。的个数为7+7+18+18+6+3+3+1=63.

故答案为：63.

例18.(2023•全国•高三专题练习)对任何有限集S,记p(S)为S的子集个数.设例={1,2,3,4},则

对所有满足AUBUM的有序集合对(A,B),p(A)p(B)的和为

【答案】2401

【解析】当8为〃(0<n<4)元集时，则p(B)=2”，且B集合的个数为

又AU8

则①A为〃元集时，则0(A)=2〃且A的个数为黑

②A为〃-1元集时，则P(4)=2"，且A的个数为CM

以此类推

③A为。元集时，p(A)=2。且A的个数为

则p(A)p(/?)=C：2〃(C：2°+C,2+...+C'：2")

=Cf2"(l+2)”

=C：6"

当〃依次取0,1,2,3,4时

p(A)p(5)的和为C；6°+C：6+...+C：64=2041

故答案为：2401.

变式22.(2023•高三课时练习)从集合M={1,2,3,,10}选出5个数组成的子集，使得这5个数的任两个

数之和都不等于11，则这样的子集有个.

【答案】32个;

【解析】集合{1,2,…,10}中和是11的有：

1+10,2+9,3+8,4+7,5+6,

选出5个不同的数组成子集，就是从这5组中分别取一个数，而每组的取法有2种，

所以这样的子集有：

2x2x2x2x2=32

故这样的子集有32个

故答案为：32

命题方向七：集合的创新定义

【通性通解总结】

1、集合的创新定义题核心在于读懂题意.读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方

法并不难，难在转化.

2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”,

要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解.

例19.（2023•湖南长沙•高三校联考期中）若一个非空数集F满足：对任意.力€F，有a+b,a-b,

cibeF,且当bwO时，有fwF,则称尸为一个数域，以下命题中：

b

（1）0是任何数域的元素；（2）若数域P有非零元素，则2021CF；

（3）集合P=*|x=3匕ZeZ｝为数域；（4）有理数集为数域；

真命题的个数为

【答案】3

【解析】（1）当时，。一。=0属于数域，故（1）正确，

（2）若数域尸有非零元素，则?=leF,

b

从而l+l=2wR2+lwf,2020+1=2021GF,故（2）正确；

（3）由集合P的表示可知得x是3的倍数，当a=6,力=3时，？=。=2史P,故⑶错误，

b3

（4）若尸是有理数集，则当。，bwF,贝!la+b,a-b,而eF,且当。#0时，feF”都成立，故（4）

b

正确，

故真命题的个数是3.

故答案为：3

例20.（2023•全国•高三专题练习）对于非空集合A=®…20,i=l,2,3,ri）,其所有元素的

几何平均数记为E（A）,即E（A）=&/出•・%.若非空数集8满足下列两个条件：①BA：②

£（B）=E（A）,则称B为A的一个“保均值真子集”，据此，集合｛1,2,4,8,16｝的“保均值真子集”有一个.

【答案】6

【解析】因为集合A=｛1,2,4,8,16｝,则E（A）=01x2x4x8xl6=4,

所以,集合｛124,8,16｝的“保均值真子集”有：｛4｝、｛1,16｝、｛2,8｝、｛1,4,16｝,

｛2,4,8｝,｛1,2,8,16｝,共6个.

故答案为：6.

例21.(2023・全国•高三专题练习)非空集合G关于运算㊉满足：(1)对任意a、b\G,都有a㊉力eG；

⑵存在eeG,使得对一切aeG,都有。㊉e=e㊉a=a,则称G关于运算㊉为“融洽集”.现给出下列

集合和运算：

①G=｛非负整数｝,㊉为整数的加法；

②。：｛偶数｝,㊉为整数的乘法：

③G=｛平面向量｝,㊉为平面向量的加法；

@G=｛二次三项式｝,㊉为多项式的加法；

⑤G=｛虚数｝,㊉为复数的乘法

其中G关于运算㊉为“融洽集”的是.(写出所有“融洽集''的序号)

【答案】①③

【解析】对于①，G=｛非负整数｝,㊉为整数的加法；当。，6都为非负整数时，。，方通过加法运算还是

非负整数，且存在-整数OeG有0+a=a+0=a,所以①为“融洽集”；

对于②，G=｛偶数｝,㊉为整数的乘法，由于任意两个偶数的积仍是偶数，故满足条件(1),但不存在偶数

。，使得一个偶数与e的积仍是此偶数，故不满足条件(2),故不满足“融洽集”的定义；

对于③，G=｛平面向量｝,㊉为平面向量的加法；若",匕为平面向量，两平面向量相加仍然为平面向量，

且存在零向量通过向量加法满足条件(2)；所以③为“融洽集”：

对于④，G=｛二次三项式｝,㊉为多项式的加法；由于两个二次三项式的和不一定是二次三项式，如

火2+法+c与-以2一法+c的和为2c，不满足条件(1),故不满足“融洽集”的定义；

对于⑤，G=｛虚数｝,㊉为复数的乘法；两个虚数相乘得到的可能不是虚数，例如：=故不满足“融

洽集''的定义；

故答案为：①③

变式23.(2023•全国•高三专题练习)设集合A±R,如果/€尺满足：对任意。>0,都存在xeA,使得

0<|x-^|<«,那么称%为集合A的聚点，则下列集合中：

n1

(l)Z+uZ-;Q)R*2R-;(3)｛-~\neN*｝-(4)｛一

〃+1n

以0为聚点的集合有(写出所有你认为正确结论的序号)

【答案】(2)(4)【解析】对于(1)：当。=1时，0Vx-0|<lo-l<x<0或0<x<l,

显然｛x|-1<XV0或O<x<l｝c(ZPZ-)=0,

即不存在XG(Z+DZ-),使得0vx-0|<l,故⑴错误；

对于(2)：：0小-0|<。=-。<》<0或0cx<4,

此时令｛x|一"x<0或0cxea｝=(R',

故对任意a>0,都存在xe(TuR-),使得0<|x—q<a成立，故(2)正确;

Yl||

对于⑶：因为/一加万

所以当a=5时，0<|x-0|<—<=>--<x<O»JcO<x<^,

1In

此时{x|——vx<0或0vx<—}c{------1neN*}=0,

22n+l

n1

即不存在xH—MeN*},使得OVx-OK；；,故(3)错误；

对于(4)：；0<|x-0]<ao-a<x<0或0<x<a,

故当时、即">1时，总有2e(x|-a<x<0或0<x<a},故(4)正确.

nan

故答案为：(2)(4).

变式24.(2023・全国•高三专题练习)给定数集M,若对于任意a、beM,有a+b?M,且

则称集合〃为闭集合，则下列所有正确命题的序号是：

①集合"={-2,-1,0,1,2}是闭集合；

②正整数集是闭集合；

③集合M=刨"=3七ZeZ}是闭集合；

④若集合4、4为闭集合，则AU4为闭集合.

【答案】③

【解析】对于①，一2+(-1)=-3,—3生所以错误；

对于②，因为正整数减正整数可能不为正整数，所以错误，

对于③，当〃={"|"=3匕AeZ}时，设”=3匕,匕=3区,匕,42wZ,

则a+)=3(K+e)eM,a—b=3(%—&)eM,所以集合〃是闭集合，所以正确；

对于④，设A={〃>?=3发,keZ},A?={n]〃=2%,左eZ},

由③可知，集合4,4为闭集合，2,3«4。4),而(2+3)近4口4),故不为闭集合，所以错

误.

故答案为：③.

变式25.(2023•全国•高三专题练习)在整数集中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为

因，即因={4〃+布eZ},无=0,1,2,3.给出下列四个结论.

①2021叩]；②—1«1]；③Z=[0]31]32]33]；④“整数属于同一“类””的充要条件是““一6«0]”.

其中正确的结论是(填所有正确的结论的序号).

【答案】①③④

【解析】对于①，•,2021=4x505+1,则2021e[l],①正确;

对于②，-l=4x(-l)+3,则一le[3],②不正确；

对于③，任意整数除以4,余数可以且只可以是01,2,3四类，

则2=网51]52]。[3],③正确；

对于④，若整数4、b属于同一“类”，

则整数。、b被4除的余数相同，可设。=4%+%，b=4n2+k,其中勺、n2eZ,Ae{0,l,2,3},

则a-Z?=4(〃]一〃2),故a-bw[0],

若。-爪[0],不妨令。=4〃|+勺力=4〃2+42(4，々eZ,kt,k2e(0,1,2,3)),

贝|」“一。=4(4_%)+(4—七),

显然％2GzM-4e{0,1,2,3},于是得/一周=0，・4=&，即整数地属于同一“类”，

「整数仍属于同一“类””的充要条件是“。e网”，④正确.

・•・正确的结论是①③④.

故答案为：①③④.

【过关测试】

一、单选题

1.(2023•山东青岛•统考模拟预测)设集合A={(x,y)k，ywN",y。},8={(x,y)|x+y=8},则集合Ac8

中元素的个数为()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】因为集合A={(x,y)k，yeN",y2x},B={(x,y)|x+y=8},

所以集合ACS中元素为(4,4),(3,5),(2,6),(1,7)，共4个.

故选：C

2.(2023•陕西榆林・统考三模)已知集合人={30<*<16},8={田-4<4丫<16},则Au3=()

A.(-1,16)B.(0,4)C.(-1,4)D.(-4,16)

【答案】A

【解析】因为A=(0,16),8=(-1,4),所以AUB=(T,16).

故选:A.

3.(2023.新疆喀什•统考模拟预测)已知集合4=卜2,-3,—1,0,1},B={x|x>0),则4B=()

A.{-1,1}B.{-1,0}C.{1}D.{0,1}

【答案】D

【解析】由人={-2,-3,-1,0,1},B={小20}知48={0,1}.

故选：D

4.(2023・河南•校联考模拟预测)已知集合5={心=2〃+1,〃€2},T={x\x2-x-6<0