快速傅里叶变换实验

2011010541机14林志杭一、实验目的1．加深对几个特殊概念的理解：“采样”……“混叠”；“窗函数”（截断）……“泄漏”；“非整周期截取”……“栅栏”。2．加深理解如何才能避免“混叠”，减少“泄漏”，防止“栅栏”的方法和措施以及估计这些因素对频谱的影响。3．对利用通用微型计算机及相应的FFT软件，实现频谱分析有一个初步的了解。二、实验原理为了实现信号的数字化处理，利用计算机进行频谱分析――计算信号的频谱。由于计算机只能进行有限的离散计算（即DFT），因此就要对连续的模拟信号进行采样和截断。而这两个处理过程可能引起信号频谱的畸变，从而使DFT的计算结果与信号的实际频谱有误差。有时由于采样和截断的处理不当，使计算出来的频谱完全失真。因此在时域处理信号时要格外小心。时域采样频率过低，将引起频域的“混叠”。为了避免产生“混叠”，要求时域采样时必须满足采样定理，即：采样频率fs必须大于信号中最高频率fc的2倍（fs＞2fc）。因此在信号数字处理中，为避免混叠，依不同的信号选择合适的采样频率将是十分重要的。频域的“泄漏”是由时域的截断引起的。时域的截断使频域中本来集中的能量向它的邻域扩散（如由一个δ（f）变成一个sinc（f），而泄漏的旁瓣将影响其它谱线的数值。时域截断还会引起“栅栏效应”，对周期信号而言，它是由于截断长度不等于周期信号的周期的整数倍而引起的。因此避免“栅栏”效应的办法就是整周期截断。综上所述，在信号数字化处理中应十分注意以下几点：1．为了避免“混叠”，要求在采样时必须满足采样定理。为了减少“泄漏”，应适当增加截断长度和选择合适的窗对信号进行整周期截取，则能消除“栅栏数应”。增加截断长度，则可提高频率分辨率。三、预习内容熟悉Matlab语言、函数和使用方法；利用Matlab所提供的FFT函数编写程序。四、实验内容及步骤调通所编写的程序，对下列信号〔函数〕进行离散FFT变换，根据题目的要求……FFT变换点数〔截断长度〕及采样频率，计算各点的傅里叶变换值，画出频谱图，对典型的谱线标出其幅值及相角。（－）内容：1．代码：N=input('N=');n=input('n=');t=1:1:N;w=2*pi;x1=sin(w*(t-1)/n+pi/6)+sin(2*w*(t-1)/n)+cos(3*w*(t-1)/n);y=fft(x1);y=fftshift(y);an=angle(y)/pi*180;y=abs(y)/N;figure(1);bar(t,y,0.3);gridon;以下类似（1）采样频率fs=8f0，截断长度N＝16幅频谱相频谱=1\*GB3①最高频率为3，采样频率为8，满足采样定理。采样点数N=16，分辨率：。关注频率为正负1、2、3倍频（2）fs=8f0，N＝32幅频谱相频谱=1\*GB3①最高频率为3，采样频率为8，满足采样定理。采样点数N=32，分辨率：。关注频率为正负1、2、3倍频=2\*GB3②由上述分析可见，两种采样均满足采样定理，不出现混叠。=3\*GB3③以上截取方式相当于添加了矩形窗函数，理论上存在泄漏效应但由于均为整周期截取（2倍及4倍原函数周期），故没有出现现泄露现象。=4\*GB3④由于整周期截取，未产生栅栏效应。=5\*GB3⑤误差分析：明显关注频率为正负1、2、3倍频，理论上分解的幅值及相角与做FFT得到的值一样，幅值误差及相角误差均为零。2．（1）fs=8f0，N＝16幅频谱相频谱①最高频率为11，采样频率为8，不满足采样定理。采样点数N=16，分辨率：。关注频率为正负1、11倍频（2）fs=32f0，N＝32幅频谱相频谱①最高频率为11，采样频率为32，满足采样定理。采样点数N=32，分辨率：。关注频率为正负1、11倍频②（1）中采样不满足采样定理，正负11倍频未取到，在正负3倍频处出现混叠，要消除混叠则可以增加采样频率。（2）中采样满足采样定理，未出现混叠。③以上截取方式相当于添加了矩形窗函数，理论上存在泄漏效应但由于均为整周期截取（2倍及1倍原函数周期），故没有出现泄露现象。④由于整周期截取，未产生栅栏效应。⑤误差分析：明显关注频率为正负1、11倍频，理论上分解的幅值及相角与做FFT得到的值比较：（1）中采样正负1倍频的幅值相角均无误差，但由于未采到正负11倍频，故误差为100％。（2）中采样的幅值及相角误差均为0。3．（1）fs=8f0，N＝16幅频谱相频谱①最高频率为，采样频率为8，满足采样定理。采样点数N=16，分辨率：。关注频率为倍频（2）fs=32f0，N＝32幅频谱相频谱①最高频率为，采样频率为32，满足采样定理。采样点数N=32，分辨率：关注频率为倍频②由上述分析可见，2种采样均满足采样定理，未出现混叠。③以上截取方式相当于添加了矩形窗函数，理论上存在泄漏效应，由于均未整周期截取，故出现了泄露现象。除两条幅值较大的谱线外，还出现了一些幅值较小的谱线。且由于（2）中窗宽度更小，泄露更加明显。④由于非整周期截取，产生了栅栏效应，频谱图中只有整周期频率而无。且（2）中分辨率较低，相对（1）栅栏效应更明显。要减少泄露效应，可以采用其他类型的窗函数，或将截断长度调整为整周期。要避免栅栏效应，可以将截断长度调整为整周期。然而由于该种x(t)中频率为无理数，难以做到整周期截断，因此不能完全避免泄露和栅栏效应。⑤误差分析：明显关注频率为倍频，理论上分解的幅值及相角与做FFT得到的值比较：实际所求并没有理论的频率，故用3倍频来近似。理论、实际的幅值和相角分别为：（1）中：1、，0deg、57deg，（2）中：1、2，0deg、27.7deg故误差：（1）中：（2）中：4．对信号加窗（HanningWindow）（1）fs=8f0，N＝16幅频谱相频谱①最高频率为，采样频率为8，满足采样定理。采样点数N=16，分辨率：。关注频率为倍频（2）fs=32f0，N＝32幅频谱相频谱①最高频率为，采样频率为32，满足采样定理。采样点数N=32，分辨率：。关注频率为倍频②2种采样均满足采样定理，未出现混叠。③以上方式相当于添加了汉宁窗函数，理论上存在泄漏效应且由于均未整周期截取，故出现了泄露现象。除两条幅值较大的谱线外，还出现了一些幅值较小的谱线。且由于（2）中窗宽度更小，泄露更加明显。要减少泄露效应，可以采用其他类型的窗函数，或将截断长度调整为整周期。④由于非整周期截取，产生了栅栏效应，频谱图中只有整周期频率而无。且（2）中分辨率较低，相对（1）栅栏效应更明显。要避免栅栏效应，可以将截断长度调整为整周期。然而由于该种x(t)中频率为无理数，难以做到整周期截断，因此不能完全避免泄露和栅栏效应。⑤误差分析：明显关注频率为倍频，理论上分解的幅值及相角与做FFT得到的值比较：实际所求并没有理论的频率，故用3倍频来近似。理论、实际的幅值和相角分别为：（1）中：1、0.422，0deg、deg，（2）中：1、2，0deg、故误差：（1）中：（2）中：可见：在为按整周期截取时，采用汉宁窗函数所得到的结果相对矩形窗并没有得到改善。5．（1）fs=8f0，N＝16幅频谱相频谱①最高频率为，采样频率为8，满足采样定理。采样点数N=16，分辨率：（2）fs=32f0，N＝32幅频谱相频谱①最高频率为，采样频率为32，满足采样定理。采样点数N=32，分辨率：。②2种采样均满足采样定理，未出现混叠。③以上截取方式相当于添加了矩形窗函数，理论上存在泄漏效应且由于均未整周期截取，故出现了泄露现象。除两条幅值较大的谱线外，还出现了一些幅值较小的谱线。④由于非整周期截取，产生了栅栏效应。要减少泄露效应，可以采用其他类型的窗函数，或将截断长度调整为整周期。要避免栅栏效应，可以将截断长度调整为整周期。且由于该种x(t)中频率为有理数，易做到整周期截断，因此可完全避免泄露和栅栏效应。⑤误差分析：可见关注频率为倍频，实际所求并没有理论的频率，故用1倍频近似。理论、实际的幅值和相角分别为：（1）中：1、，-60deg、-deg，（2）中：1、，-60deg、-deg故误差：（1）中：（2）中：由于截断长度虽不是整周期但比较接近，故幅值误差不大，但相角误差较大。典型函数FFT变换（重排FFT结果，使DC在谱图中间。）对不同占空比方波信号FFT分析（均取每周期点数200，总点数400，依照实验指导书生成方波。）从上到下依次为：方波信号、幅频信号、相频信号。占空比3％占空比6％占空比9％占空比20％占空比40％占空比60％占空比80％占空比90％分析：由以上占空比不同的方波的频谱图可见，在占空比50%以下，随着占空比的增大，幅值较大的特征频率向低频集中。在占空比50%以下，可以发现方波占空比越大，低频分量越多的特点。而相角则无明显的变化规律。由此推断得到：当占空比为100％（常数信号）时，能量全部集中在DC分量上（delta函数），而当占空比为0（单位脉冲信号）时，能量均匀分布在各个频率上（常数），两种极端的情况都符合前述变化规律。用伪随机模仿白噪声信号进行FFT分析伪随机信号：幅频图：相频图:明显能量几乎完全集中在频率为0（DC分量）上，所以伪随机信号的频谱图具有随机信号的特征。利用该特点，可以利用伪随机信号生成随机数或者其他有用的随机信号，便于进行工程应用。实际信号频谱分析电风扇振动信号分析采样频率128Hz，采样点数为512。为提高频谱分辨率做128点的FFT（截断长度128）。为了减小外界干扰带来的误差，将采样点数分为4组（按点号1～128、129～256、257～384、385～512分），分别求得每组数据的FFT以后求平均，即可得到较为准确的频谱图。分析振动时，一般只考虑幅值（能量）大小，而不考虑相角，故只做出幅频图即可。低速matlab程序：x1=ls(1:128);x2=ls(129:256);x3=ls(257:384);x4=ls(385:512);y1=fft(x1);y1=fftshift(y1);y1=abs(y1)/128;y2=fft(x2);y2=fftshift(y2);y2=abs(y2)/128;y3=fft(x3);y3=fftshift(y3);y3=abs(y3)/128;y4=fft(x4);y4=fftshift(y4);y4=abs(y4)/128;y=(y1+y2+y3+y4)/4;n=1:128;bar(n,y,0.3);gridon;幅频图：可见幅值较大的特征谱线频率为10Hz、20Hz、30Hz、48Hz，幅值分别为、、、4。高速matlab程序：x1=hs(1:128);x2=hs(129:256);x3=hs(257:384);x4=hs(385:512);y1=fft(x1);y1=fftshift(y1);y1=abs(y1)/128;y2=fft(x2);y2=fftshift(y2);y2=abs(y2)/128;y3=fft(x3);y3=fftshift(y3);y3=abs(y3)/128;y4=fft(x4);y4=fftshift(y4);y4=abs(y4)/128;y=(y1+y2+y3+y4)/4;n=1:128;bar(n,y,0.3);gridon;幅频图：可见幅值较大的特征谱线频率为14Hz、27Hz、42Hz、48Hz，幅值分别为、、、。分析以上两种转速下