2024年广东省高考数学一轮复习第7章第6讲：空间向量的概念与运算（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第7章第6讲：空间向量的

概念与运算

【考试要求】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正

交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其

坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量,

能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

相等向量方向招圆且模相笠的向量

相反向量长度揖笠而方向相反的向量

表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相包

共线向量(或平行向量)

或重合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量”，"bWO),的充要条件是存在实数2,使。=助.

(2)共面向量定理：如果两个向量”，6不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存

在唯二的有序实数对(x,y),使p=xa+y〃.

(3)空间向量基本定理

如果三个向量"，b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,

z),使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积及运算律

(1)数量积

非零向量”，方的数量积4力=同61cos(a,.

(2)空间向量的坐标表示及其应用

设0=(ai，ai,6)，b—(b\,bi,bi).

向量表示坐标表示

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数量积a-baibi+-262+。3b3

共线a=2仇后0,AeR)a?=Zbi,々3=263

垂直〃仍=0"0,bWO)〃|一+。262+〃363=0

模|«|4山+区+闰

cos(a,h)=工

/aybx+aibi+a3bi

夹角余弦值cos(a,b)—1-------------/-------------

yja4+㈤+7员+加+历

力#0)

4,空间位置关系的向量表示

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量，的有向线段所在直线与直线/平行或重合，则称此

向量"为直线/的方向向量.

(2)平面的法向量：直线/_La,取直线/的方向向量”，则向量〃为平面a的法向量.

(3)空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

1\//12”[〃〃2O"l=A〃2(/l£R)

直线/1,/2的方向向量分别为"1，"2

/山2〃l_l_/l2O，"〃2=0

直线/的方向向量为"，平面a的法向l//anVrn^nm=Q

量为〃

J,l<tal±an//m^n=Am(XWR)

a//[in//m^n=A/M(A£R)

平面a,△的法向量分别为“，，"

a邛n-Lnt^nm=0

【常用结论】

1.三点共线：在平面中4,B,C三点共线分亦=》协+了次?(其中x+y=l),。为平面内任

意一点.

2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面今夕=苫晶+夕为+z次?(其中x+y+z=l),

。为空间中任意一点.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)空间中任意两个非零向量％6共面.(V)

(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(X)

(3)若4,B,C,。是空间中任意四点，则有弱+的+历+方=0.(V)

第2页共23页

(4)若直线Q的方向向量和平面a的法向量平行，则a〃a(X)

【教材改编题】

1.如图，在平行六面体Z8CD-mSGOi中，ZC与8。的交点为点〃，设叁=a,而=b,

—A——A

AA\—c,则下列向量中与CiM相等的向量是()

答案C

解析CW=GC+CM^GC+-(CS+诙尸而+-DA+1扇^--a--b~c.

22222

2.如图所示，在正方体力8。。-48|。。|中，棱长为a,M,N分别为48和/C上的点,

AiM=AN=率,则MN与平面BBCC的位置关系是()

A.相交

C.垂直D.不能确定

答案B

解析分别以G3,CiA,GC所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.因为小〃=

,害，所以

■1处3,序la,al所以赤=卜*°,14

XC1(0,0,0),。|(0,a,0),所以33|=(0,a,0),所以加•瓦5尸0,所以疚

因为是平面881GC的一个法向量，且平面88iGC,所以MV〃平面B81GC.

第3页共23页

3.设直线八，/2的方向向量分别为a=(—2,2,1),6=(3,-2,m),若则加=.

答案10

解析V/i±/2,：.a±b,

：.ab=-6—4+"?=0,•\m=10.

■探究核心题型

题型一空间向量的线性运算

例1⑴在空间四边形/8CO中，^=(-3,5,2),CD=(-7,-1,-4),点E,尸分别为线

段8C,力。的中点，则球的坐标为()

A.(2,3,3)B.(—2,—3,—3)

C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)

答案B

解析因为点、E,尸分别为线段8C,的中点，设。为坐标原点，

所以寿=而一近，+OE=^OB+OC).

所以寿=3(晶+而)一；(无+的=；(或+比)=：X[(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)]

=：X(—4,—6,—6)=(—2,—3,—3).

(2)(2023•北京日坛中学模拟)在三棱柱小81G-/8C中，。是四边形8SGC的中心，且京=

a,AB=b,AC=c,则小。等于(

1,L,1

AAfi-b-\c

222

1l.,l

D~a—h-\--c

222

C.-a-\--b--c

222

D.——a-\--b-\~~c

222

答案D

解析A[D=J^A+AB+BD

第4页共23页

------►-►1------►-►

=-AAi+48+：(8囱+BC)

—►——►1—►1-►―►

——AA]+-(/4C—AB)

1—►1—►1―►

=--AA+-AB+-AC

2]22

1,L,1

=­a-\--b-\--c.

222

思维升华用已知向量表示某一向量的三个关键点

(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.

(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.

跟踪训练1(1)已知4=(2,3,-4),6=(—4,-3,-2),〃=$一2小则x等于()

A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)

C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)

答案B

解析由6=3—2a,得x=4〃+2b=(8,12,—16)+(—8,—6,-4)=(0,6,—20).

(2)如图,在长方体Z5co—ZLBICQI中,。为4c的中点.

------A1-►1—►

①化简40—AB—AD=；

22

_►►■"-A-・A.A

②用力8,/。，/小表示OG,贝UOG=.

答案①就？②K方+:3+高

22

解析①/。一?8—?。=40—#48+/0)=小0—/0=小。+04=4/.

②因为OC=?C=#Z8+N。).

所以万乙=浣+黄=%方+疝)+石=益+与2)+五不.

222

题型二空间向量基本定理及其应用

例2(1)下列命题正确的是()

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A.若a与6共线，b与c共线，则a与c共线

B.向量a,b,c共面，即它们所在的直线共面

C.若空间向量a,h,c不共面，则a,h,c都不为0

D.若a,6,c共面，则存在唯一的实数对（x,y）,使得4=动十产

答案C

解析若5=0,则满足。与6共线，b与c共线,但是a与c不一定共线，故A错误；

因为向量是可以移动的量，所以向量a,b,c共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错

误；

假设a,h,c至少有一个为0,则空间向量a,b,c共面，故假设不成立，故C正确；

假设6=0,若a,c共线，则存在无数个实数对（x,刃，使得4=xb+*,若a,c不共线，则不

存在实数对（x,y）,使得a=xb+yc,故D错误.

（2）（多选）下列说法中正确的是（）

A.同一回=|。+0是a,力共线的充要条件

B.若赢,而共线，则/8〃8

C.A,B,C三点不共线，对空间任意一点O,若苏=3易+15^+1次，则P,A,B,C

488

四点共面

D.若P,A,B,C为空间四点，且有强=通+〃元"（两，无不共线），贝版+〃=1是4B,

C三点共线的充要条件

答案CD

解析由同一|"=|"+臼，可知向量明〃的方向相反，此时向量”，力共线，反之，当向量a,

6同向时，不能得到同一网=1。+"，所以A不正确；

若诵,诙共线，则或/,B,C,。四点共线，所以B不正确；

由/,B,c三点不共线，对空间任意一点o,若苏=3①+1五+」次，因为3+1十1=1,

488488

可得P,A,B,C四点共面，所以C正确；

若尸，A,B,C为空间四点，且有形=2/+幺的两，无不共线），

当2+〃=1时，即〃=1-7,可得届一元=2（两一两，即花1=2无，

所以4B,C三点共线，反之也成立，即4+〃=1是B,C三点共线的充要条件，所以D

正确.

思维升华应用共线（面）向量定理、证明点共线（面）的方法比较

三点（P,A,8）共线空间四点（AZ,P,A,8）共面

PA=XPBMP^xMA+yMB

第6页共23页

对空间任一点0,OP^OA+tAB对空间任一点0,苏=OM+xMA+yMB

对空间任一点0,OP=xOA+(l-x)OB对空间任一点0,OP^xOM+yOA+(\-x-y)OB

跟踪训练2(1)已知空间中4B,C,。四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中

任意一点，若近)=6位—4而+2.无,则，等于()

A.2B.—2C.1D.—1

答案B

解析BD=6R4-4PB+XPC,即丽一通=6法一4两+2讫，

整理得的=6形I-3无+/1尸3,

由/,B,C,。四点共面，且其中任意三点均不共线，

可得6—3+7=1,解得%=-2.

(2)(2023•金华模拟)已知正方体/BCD一小8iGG的棱长为1,且满足无=入扇+)，比+(1-x

-y)DDx,则|西|的最小值是()

A1RS「也n2

A.-B.—C.—DL

3333

答案c

解析因为疫庆'+(l-x-y)砺，由空间向量的共面定理可知，点E,A,C,D1

四点共面，即点£在平面ZC。上，所以的最小值即为点。到平面力Cd的距离d,由正

方体的棱长为1,可得△/CA是边长为/的等边三角形，则=；X(/)2Xsin：=¥，

S^CD=^X1X1=|,由等体积法得右9=—以;义44=沁乂1,解得d=当

所以|方©的最小值为事.

题型三空间向量数量积及其应用

例3⑴已知点。为空间直角坐标系的原点，向量昂=(1,2,3),励=(2,1,2),5?=(1,1,2),

且点。在直线。尸上运动，当品•无取得最小值时，诙的坐标是.

答案b33J

解析•.♦殍=(1,1,2),点。在直线OP上运动，

设丽=2。＞=(九A,22),

又♦怎=(1,2,3),由=(2,1,2),

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：.QA=OA-OQ=(\-}L,2-2,3-22),

QB—OB_0Q=(2—2,1—2,2—22),

则7•丽=(l_Q(2_»+(2_#(l_；l)+(3—22)(2_2/l)=6#_16/l+10,

当时，。4。8取得最小值，

_P4A

此时。0的坐标为匕’3'3J.

(2)如图，已知平行六面体N8C。一小81Gz)i中，底面/8C。是边长为1的正方形，44i=2,

AA\AB=AA\AD=\2Q0.

①求线段ZG的长；

②求异面直线ACt与AyD所成角的余弦值;

③求证：AA\1.BD.

①解i^AB—a,AD=b,AA\—c,

则同=网=1,|c|=2,ab=Q,

ca—cb=2X1Xcos120°=—1.

因为/Ci=N8+/Z)+Nm=a+8+c,

所以|就i|=|“+b+c|—\l(a+b+c)2

^\a\2+\b\2+\c\2+2a-b+2b-c+2a-c

=3+1+4+0-2-2=啦,

所以线段/G的长为啦.

②解因为ZG=a+6+c,A\D=b—c,

所以为G，4£)=(〃+力+c>(b—c)

=ab-ac+b2—c2

=0+l+l-4=-2,

\A\D\=\b-c\=«〃一c)?

="砰+|c|2-2/rc

第8页共23页

=、1+4+2=亚

设异面直线力G与小。所成的角为仇

一»—►

——>——>|4。1办£>|

则cos6=|cos(ACI9AID)\=_

|ZG|初

__|~2|_V14

也义币7'

即异面直线/G与小。所成角的余弦值为半

③证明由①知44i=c,BD=b-a,

所以44，BD=c-(b—a)=cb—c-a=—l+1=0,

即刀；筋=0,

所以

思维升华空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接

计算；二是利用坐标运算.

跟踪训练3（1）（2023•益阳模拟）在正三棱锥P-48C中，。是△/BC的中心，PA=AB=2,

则用后等于（）

5口#「4/n8

A.-B.—C.-----D.—

9333

答案D

解析为正三棱锥，。为△ZBC的中心，

，尸。，平面ABC,

：.PO±AO,：.pbOA=0,

-2f2电

\AO\=^\AB\-sin60。=蔗，

故POB4=PO(PO+OZ)=|PO|2=MP|2-MO|2=4一々=3

(2)(2022•营口模拟)已知4(-1,2,1),5(-1,5,4),C(l,3,4).

①求(AB,BC^

②求农在崩上的投影向量.

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解①因为因一1,2,1),5(-1,5,4),C(l,3,4),

所以筋=(0,3,3),BC=(2,-2,0).

因为石•病=0X2+3X(—2)+3X0=—6,

|荔|=33，|诙|=2啦，

一—ABBC—61

所以cos(AB,BC)=ff=丁——p=—L,

\AB^BC\33义2/2

故[AB,BC>=—.

3

②因为农=(2,1,3),还=(0,3,3),

所以病•法=0+1><3+3X3=12.

因为|法|=33，|iC|=V14,

所以cos

所以病在筋上的投影向量为Mdcos(AC,AB)—=Vi4X^X^=-J5=(0,2,2).

\AB\73也3

题型四向量法证明平行、垂直

例4如图所示，在长方体Z8C。-4BCQ中，/小=4。=1,E为C。的中点.

⑴求证：B\EA.AD\^

(2)在棱N4上是否存在一点P,使得OP〃平面8/E?若存在，求4尸的长；若不存在，说

明理由.

(1)证明以/为原点，石,疝，不前的方向分别为x轴、夕轴、z轴的正方向建立如图所示的

空间直角坐标系.设4B=a,

则2(0,0,0),£)(0,1,0),£>!(0,1,1),1'°),5i(a,0,l).

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故石=(0,1,1),

---►---►ZJ

因为8|£'"。1=一：><0+1乂1+(—1)><1=0,

►►

所以BELADi,即eE_L4Di.

⑵解存在满足要求的点尸，

假设在棱44上存在一点尸（0,0,zo）,

使得。尸〃平面8/及此时方＞=（0,-1,zo）,

设平面的法向量为〃=（》，y,z）.

一-1,o]

力田=（凡0,1）,AE={2J.

因为〃_L平面所以〃_L48i,nA-AE,

ax+z=O,

得胃+产°,

取x=l,贝Ijy=­：，z=­a,

fl，—9，—]

故〃=l2J

要使。尸〃平面8MM只需方加

则QZO=O,解得zo=g.

22

所以存在点P,满足。尸〃平面8ME,此时ZP=1.

2

思维升华（1）利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系（尽可能利用垂直条

件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素）.

（2）向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关

定理.

跟踪训练4如图，在直三棱柱48c一481G中，ZABC=9Q°,BC=2,CG=4,点£在线

段85上，且EB=1,D,F,G分别为CG，CMG4的中点.

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(1)求证：平面平面/8D：

(2)求证：平面EGA1〃平面Z8D.

证明以8为坐标原点，BA,BC,881所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空

间直角坐标系,则8(0,0,0),£>(0,2,2),51(0,0,4),凤0,0,3),尸(0,1,4).

(1)因为扇=(a,0,0),脐=(0,2,2),部=(0,2,-2),

所以瓦B•眉=0,瓦方•访=0.

所以瓦51位,B^Dlsb,

即BiDlBD.

又BACBD=B,BA,BDU平面4BD,所以8iO_L平面N8D

因为5iZ)u平面小8|£),所以平面小囱。_1_平面Z8D.

(2)方法一因为启=t'1，0.£>=(0,1,1),励=(0,2,-2),

所以瓦B-曲=Q,B1DEF=O.

所以BIDLEG,B\DVEF.

因为EGnE/uE,EG,EFU平面EGF,所以8Q_L平面EGF.

又由(1)知SO，平面ABD,

所以平面EGF〃平面ABD.

方法二因为d=〔一5'0,°),

所以GF=一!氏4,：.GF//BA,

2

又GF<Z平面4BD,4BU平面4BD,

所以GP〃平面NB。，同理EF〃平面Z8D,

又GFCEF=F,GF,£尸<=平面EGF,

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所以平面EG/7〃平面ABD.

课时精练

应基础保分练

1.已知直线/的一个方向向量为，”=(x,2,—5),平面a的一个法向量为"=(3,—1,2),若/〃a,

则x等于()

A.-6B.6C.-4D.4

答案D

解析若l//a,则mA.n,从而mn=0,

即族一2—10=0,解得x=4.

2.(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有()

A.若向量a,与空间任意向量都不能构成基底，则“〃分

B.若非零向量a,b,c满足blc,则有a〃c

C.若为，而，灰7是空间的一组基底，且应)=［扇+‘为反，则4B,C,。四点共面

333

D.若向量a+力，b+c,c+a是空间的一组基底，则a,b,c也是空间的一组基底

答案ACD

解析对于A,若向量a,与空间任意向量都不能构成基底，则明力为共线向量，即“〃儿

故A正确；

对于B,若非零向量a,6,c满足a_L6,bLc,则。与c不一定共线，故B错误；

对于C,若加，励，又是空间的一组基底，且赤=15+1而+!沆

333

则砺一晶=/协一届)+：(沆_a)，即在=加+:就，

可得/,B,C,。四点共面，故C正确；

对于D,若向量a+6,b+c,c+a是空间的一组基底，

则空间任意一个向量d存在唯一实数组(x,y,z),

使d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)6+(y+z)c,

则a,8,c,也是空间的一组基底.

3.如图，在长方体Z8C。一/由iGDi中，设工。=1,则赤Jb等于()

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C.3D也

3

答案A

解析由长方体的性质可知/£>_LN8,ADLBBi,AD//BC,AD=BC=\,

BDi=BA+BC+BB\,所以丽・益）=（就+正+函）•肃）=应•益）+前•万）+函•万）=0+

交+0=1.

4.已知平面a内有一个点/（2,-1,2）,a的一个法向量为“=（3,1,2）,则下列点尸中，在平面

a内的是（）

「13$

A.(1,-1,1)B.l'Z

答案B

解析对于选项A,芯1=（1,0,1）,PAn=5,所以自与“不垂直，排除A;同理可排除C,D；

4，

对于选项B,有届=（1'3所以屈•"=（）,因此B项正确.

5.如图在一个120。的二面角的棱上有两点4B,线段4C,8。分别在这个二面角的两个半

平面内，且均与棱垂直，若AB=@,ZC=1,BD=2,则CO的长为（）

A.2B.3C.2而D.4

答案B

解析'JCD^CA+AB+BD,

：.cb2^CA2+AB2+BD2+2CA-AB+2CABb+2ABBb,

'：CA±AB,BDLAB,：.CAAB=0,BDAB=0,

CASZ)=|C4||5b|cos(180o-l20。)=：X1X2=1.

.•.丽2=I+2+4+2X1=9,西=3.

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6.(多选)(2023•浙江省文成中学模拟)已知空间向量4=(2,-2,1),6=(3,0,4),则下列说法正

确的是()

A.向量。=(—8,5,6)与〃，力垂直

B.向量"=(1,-4,一2)与“，力共面

C.若。与b分别是异面直线人与/2的方向向量，则其所成角的余弦值为2

3

D.向量仅在向量力上的投影向量为(6,0,8)

答案BC

解析对于A,ac=116—10+67^0,bc=-24+24=0,

故mc不垂直，故A错；

对于B,设"=阳。+〃6,

则〃?(2,—2,1)+〃(3,0,4)=(1,—4,—2),

2阳+3〃=1,c

.,m=2,

所以.一2机=—4,解得，

〃z+4〃=—2,

即2。一b=d,故B对；

ab=10=2

对于C,因为cos〈%b)

\a\\b\~3X5~39

所以异面直线八与,2所成角的余弦值为l，故C对;

但oq

对于D,向量。在向量b上的投影向量为同cos(a,6〉•g=3x2x，X(3Q4)=l5''5),

W35

故D错.

7.已知直线/的方向向量是股=(l,〃+2b,a—1)(4,b£R),平面a的一个法向量是〃=(2,3,3).若

/_La,则a+b=.

答案2

解析V/n=(l,a+2b,a—l)(a,b£R)是直线/的方向向量,

〃=(2,3,3)是平面a的一个法向量，/±a,m//n.

.1_a+2b_a—1

解得

，U2~3

：.a+b=2.

—>1►-AO-A-A

8.已知/为矩形718co所在平面外一点，且幺=k8=NC="D,VP=LVC,VM=~VB,VN

33

=2无).则VA与平面PMN的位置关系是.

3------------

答案以〃平面PMN

第15页共23页

解析如图，设K4=a,VB=b,VC=c,则以)="+<1—b,

由题意知尸A/=2〃一,<■,PN——VD——VC--a~~b-\--c.

3333333

因此应=3前+痴，：.VA,PM,丽共面.

22

又：幺。平面PMN,平面PMN.

9.已知”=(1,-3,2),6=(-2,1,1),9(-3,-1,4),5(-2,-2,2).

⑴求|2a+6|;

(2)在直线AB上是否存在一点E,使得无，b?(。为原点)

解(l)24+6=(2,-6,4)+(—2,1,1)=(0,—5,5),

故12a+〃|=—5)2+52=5/.

(2)令成=成”w11),AB=(\,-1,-2),

所以OE=O4+4E=。力+M6=(—3,—1,4)+^(1,—1,—2)=(—3+f,—1—/,4—2/),

若无，6,则无力=0,

Q

所以一2(—3+。+(—1-。+(4—2。=0,解得r=1.

一f6_1421

因此存在点E,使得OELb,此时点E的坐标为I5'5’5J

10.如图，四棱锥尸一N8CQ的底面为正方形，侧棱为，底面45C。，且刃=/。=2,E,

F,“分别是线段以，PD,的中点.求证：

⑴PB〃平面EFH；

(2)P0_L平面加/E

证明(1)；£,，分别是线段/P,AB的中点、，：.PB〃EH.

:PBC平面EFH,且EHU平面EFH,；.PB〃平面EFH.

(2)建立如图所示的空间直角坐标系.

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则/(0,0,0),0(0,2,0),尸(0,0,2),尸(0,1,1),"(1,0,0).

丽=(0,2,-2),由=(1,0,0),苏=(04,1),

：.PD-AF=0X0+2X\+(-2)X1=0,

丽・加=0Xl+2X0+(—2)X0=0.

J.PDVAF,PDVAH,

：.PDLAF,PD±AH.

'：AHC\AF^A,且4W,4FU平面4HF,.•.尸。_1平面1”足

立综合提升练

11.如图，在长方体/5CD-小中，AB=3AD=3AAi=电,点尸为线段4c上的动

点，则下列结论不正确的是()

A.当状=2"时，Bi,P,。三点共线

B.当"，水时，APLD^P

C.当求=3乔时，OP〃平面80cl

D.当不运=5而时，小C_L平面。

答案B

解析如图，建立空间直角坐标系，贝U4(l,0,1),C(0,00),01(0,0,1)./(1。0)，丛(1,3,

1),£>(0,0,0),

例1,3，0),G(0,3，1)，

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,..fi_n

当求=2而时，/=12，2'2J,

DP=DA\+A\P=1ia

而砺=（i,s,i）,

：.DP=-DB,:P,。三点共线，A正确;

2t

=

设4P=MiC,A\C(-1,A/3,—I),则1+/i尸=4/1+■1141c=(—A,42,1—2).

当看,祝时，有奥•永=52—1=0,

A——,

一金鼻已退_口

：.APD^P={.5'5'5J1?5'5j=-：W0,二成与耳下不垂直，B不正确；

,..r1A/3_I)

当沈=3而时，舒=13'3'3J,

一一一住黄一口

5LP=AP-ADI=U,3*3J,

又加=(1,怎0),DC\=(0,\l3,1),

.,.5jP=-55--5Ci,：.D^P,DB,皮1共面，又。|尸0平面BOG,尸〃平面BOG,C正

33

确；

^3_n4]

当彳/=54P时，5,5,5J,从而善=15,5'5」，

又/£>"iC=(—1，S，—l)—0,

：.A\CLAD\,

一近力

运汇=15'5'5j(—1,S,-1)=0,

：.AiC±AP,'：AD\QAP=A,ADi,ZPU平面。/尸,.•.4CJ_平面。MP,D正确.

12.（多选）（2023•梅州模拟）如图,在正方体N5CD-aBIGDI中，441=3,点M,N分别在

棱/B和8囱上运动（不含端点）.若DiMLMN,则下列命题正确的是（）

A.MNLAiM

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B.MALL平面。iMC

C.线段长度的最大值为3

4

D.三棱锥。一小AM体积不变

答案ACD

解析在正方体/8。>一481cl。|中，以点。为原点，射线D4,DC,。。分别为x,y,z

轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

则4(3。3),5(0,0,3),C(0,3,0),8(3,3,0),

设M(3,y,0),N(3,3,Z),y,zd(0,3),0=(3,y,-3),MN=(0,3~y,z),而。iA/J_AYN,

则D[M-MN=y(3-y)~3z=0,

即z=3(3-y).

对于A选项，连接小"，A[M=(0,y,一3),则俞•加=y(3-y)—3z=0,则而，疝，

MNLAiM,A正确；

对于B选项，CM=(3,j-3,0),CM-MN=-(y-3)(3-y)^-(3-y)2<0,即CM与MV不垂直，

从而A/N与平面£)|MC不垂直，B不正确；

对于C选项，的=(0,0,Z),则线段BN长度I两=z=(一"泉+目彳，当且仅当尸|时

等号成立，C正确；

对于D选项，连接。4G,MC\,不论点"如何移动，点收到平面小。Ci的距离均为

1a

3,而七HOC二一T心)。。='所以三棱锥G一aAM体积为定值，即D正

确.

13.在正三棱柱N8C-Z山Ci中，侧棱长为2,底面边长为1,M为8c的中点，3为=2危,

且/SLAW,贝必的值为.

答案15

解析如图所示，取囱G的中点P,连接用尸，

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以庆，必，声的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，

因为底面边长为1,侧棱长为2,

2

则小%°],51(?"W,£0>CiG0,1MO,0,0),

设出01

因为GN=7M?,

所以启0，7+l],

,2[,W=[?°'W]

所以丽=12’2,

又因为ABiLMN,

所以相•疝=0,

所以一3

解得2=15.

14.(2022•杭州模拟)在棱长为1的正方体4BCD