2023年高考数学二轮复习讲练测(新高考) 立体几何解答题常考全归类(原卷版)

专题08立体几何解答题常考全归类

【命题规律】

空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与

计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深.解决这类题目的原则是建系求点、坐标运

算、几何结论.作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度.

【核心考点目录】

核心考点一：非常规空间几何体为载体

核心考点二：立体几何探索性问题

核心考点三：立体几何折叠问题

核心考点四：立体几何作图问题

核心考点五：立体几何建系繁琐问题

核心考点六：两角相等(构造全等)的立体几何问题

核心考点七：利用传统方法找几何关系建系

核心考点八：空间中的点不好求

核心考点九：创新定义

【真题回归】

1.（2022•天津•统考高考真题）直三棱柱ABC-A由£中，AA,=AB=AC=2,AA,1AB,AC1AB,。为4A

的中点，E为AA的中点，/为8的中点.

⑴求证：Ef7/平面ABC；

(2)求直线BE与平面CCQ所成角的正弦值；

(3)求平面\CD与平面CC.D所成二面角的余弦值.

2.(2022•全国•统考高考真题)如图，四面体A5co中，AD_LCD,AD=CD,ZADB=NBDC,E为AC的中

点.

⑴证明：平面3ED_L平面ACD；

（2）设48=皮）=2,44。8=60。，点厂在30上，当△?!八?的面积最小时，求C尸与平面曲所成的角的正

弦值.

3.（2022•浙江・统考高考真题）如图，已知A3CD和CD所都是直角梯形，ABHDC,DCHEF,AB=5,

DC=3,EF=l,ZBAD=ZCDE=60°,二面角厂-OC-B的平面角为60。.设M,N分别为AE,3c的中

点.

⑴证明：FN±AD；

（2）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.

4.（2022•全国•统考高考真题）如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB,AB1AC,E是PB的中点.

p

(1)证明：OE//平面PAC；

(2)若NA8O=/CBO=30。，PO=3,PA=5,求二面角C-的正弦值.

5.(2022.全国.统考高考真题)如图，四面体ABCD中，ADLCD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC的中

点.

(1)证明：平面BED_L平面AC。；

(2)设AB=3D=2,NACB=60。，点/在8。上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥尸-ABC的体积.

6.(2022•全国•统考高考真题)在四棱锥尸-ABCD中，PDL底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6

⑴证明：BDLPA；

(2)求PD与平面上48所成的角的正弦值.

7.(2022•北京•统考高考真题)如图，在三棱柱ABC-AMG中，侧面8。6及为正方形，平面比《耳，平面

ABBJA,AB=BC=2,M,N分别为44，AC的中点.

⑴求证：MN〃平面8CC4；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线A3与平面所成角的正弦值.

条件①：AB1MN-,

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

8.(2022.全国•统考高考真题)如图，直三棱柱ABC-A4G的体积为4,4BC的面积为2亚.

(1)求A到平面ABC的距离；

(2)设。为AQ的中点，AAl=AB,平面ABC，平面AB44,求二面角A—-C的正弦值.

【方法技巧与总结】

1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角

形的内角，然后通过解三角形求得.求解的一般步骤为：

(1)作图：作出空间角的平面角.

(2)证明：证明所给图形是符合题设要求的.

(3)计算：在证明的基础上计算得出结果.

简称：一作、二证、三算.

2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某

个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上.

3、求直线与平面所成角的常见方法

(1)作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所

成的角即为所求.

(2)等积法：公式sind=M，其中。是斜线与平面所成的角，人是垂线段的长，是斜线段的长，其中

求出垂线段的长(即斜线上的点到面的距离)既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求

垂线段的长.

(3)证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90。.

4、作二面角的平面角常有三种方法

(1)棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所

成的角，就是二面角的平面角.

（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的

点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角.

（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就

是二面角的平面角.

【核心考点】

核心考点一：非常规空间几何体为载体

【规律方法】

关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系.

【典型例题】

例1.（2022•陕西安康•统考一模）如图，已知A3为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，

BS=AB=2,ABAC=—,BE平分NSBA,。是SC上■点，且平面DBE，平面SAB.

⑴求证：SA^BD；

（2）求二面角E—3D—C的正弦值.

例2.（2022・安徽•校联考二模）如图，将长方形OA4toi（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中

OA=l,0,0=2,劣弧耳耳的长为J,A3为圆。的直径.

6

4

BA

(1)在弧A3上是否存在点C(C片在平面。的同侧)，使8CLA与，若存在，确定其位置，若不存在,

说明理由；

(2)求平面AQB与平面BQB夹角的余弦值.

例3.(2022•山东东营・胜利一中校考模拟预测)如图，A民CD分别是圆台上、下底面的直径，且ABCD,

点E是下底面圆周上一点，AB=2A/2，圆台的高为

(1)证明：不存在点E使平面AECL平面ADE；

(2)若DE=CE=4,求二面角O—AE—5的余注值.

例4.(2022•河北・统考模拟预测)如图，在圆台OQ中，上底面圆。］的半径为2,下底面圆。的半径为4,

过。Q的平面截圆台得截面为42瓦A，M是弧A8的中点，MN为母线,cosNNMB=显.

(1)证明：4月，平面4OM；

(2)求二面角M-NB-A的正弦值.

核心考点二：立体几何探索性问题

【规律方法】

与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面

角满足特定要求时的存在性问题.处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设

出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.

【典型例题】

例5.(2022・上海虹口・统考一模)如图，在三棱柱ABC-4耳。中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三

角形，侧面例6。为菱形，点片在底面上的投影为AC的中点£>,且AB=2.

B

(1)求证：BD±CCX；

(2)求点C到侧面A\B{B的距离；

(3)在线段A耳上是否存在点£,使得直线。E与侧面9耳2所成角的正弦值为渔？若存在，请求出&E的

7

长；若不存在，请说明理由.

例6.(2022春.山东・高三山东校考阶段练习)如图，在三棱柱ABC-AB。1中，VAqC为等边三

角形，四边形为菱形，AC，BC,AC=4,BC=3.

(1)求证：AB,1\C-

(2)线段CG上是否存在一点E’使得平面A瓦E与平面ABC的夹角的余弦值为:？若存在’求出点£的位置;

若不存在，请说明理由.

例7.(2022春.黑龙江绥化•高三海伦市第一中学校考期中)如图1,在矩形A8CZ)中，AB=2,BC=1,E

是。C的中点，将D4E沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且PB=PC,如图2所示.尸是棱上

的一点.

(1)若尸是棱依的中点，求证：CF〃平面B4E；

⑵是否存在点忆使得二面角产-初-c的余弦值为千？若存在’则求出篝的值；若不存在’请说明

理由.

例8.(2022•广东韶关•统考一模)已知矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E是C£>的中点，如图所示，沿BE

将.BCE翻折至ABFE,使得平面BFE_L平面ABCD.

(2)若DP=ADB(0<A<1)是否存在A，使得尸尸与平面DEF所成的角的正弦值是迈？若存在，求出几的值;

3

若不存在，请说明理由.

核心考点三：立体几何折叠问题

【规律方法】

1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变.

2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质.

【典型例题】

JT

例9.（2022春・江苏南通・高三期中）已知梯形ABCD中，AD//BC,ZABC=ZBAD=-,ABBC^2AD^4,

E,尸分别是AB,8上的点，EF//BC,AE=x,G是的中点，沿将梯形ABCD翻折，使平面

AEFD_L平面EBCF.

⑴当尤=2时

①求证：BD±EG；

②求二面角D-Bb-C的余弦值；

（2）三棱锥D-FBC的体积是否可能等于几何体ABE-FDC体积的一半？并说明理由.

例10.（2022春・辽宁・高三辽校考期中）如图1,在平面四边形A8CD中，已知ABOC,AB//DC,

AD=DC^CB^-AB^4,E是A8的中点.将△BCE1沿CE翻折至使得DP=2,如图2所示.

2

图1图2

⑴证明：DPLCE；

（2）求直线DE与平面PAD所成角的正弦值.

例11.（2022春・湖南长沙•高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形B48CD中，皿）是边长为2的等边

三角形，AD//BC,AB=2BC=2,ABJ.BC,将＜皿）沿翻折成四棱锥尸一4BCD,E是棱尸。上的动

点（端点除外），F,M分别是AB,CE的中点，且尸C=J7.

⑴证明：ABLFM；

（2）当直线EF与平面PAD所成的角最大时，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值.

例12.（2022・四川雅安・统考模拟预测）如图①，ABC为边长为6的等边三角形，E,尸分别为AB,AC上

靠近A的三等分点，现将△AEF沿EF折起，使点A翻折至点P的位置，且二面角P-EF-C的大小为120°

（如图②）.

图①图②

（1）在PC上是否存在点反，使得直线微〃平面P8E?若存在，确定点"的位置；若不存在，说明理由.

（2）求直线PC与平面P8E所成角的正弦值.

核心考点四：立体几何作图问题

【规律方法】

（1）利用公理和定理作截面图

（2）利用直线与平面平行的性质定理作平行线

（3）利用平面与平面垂直作平面的垂线

【典型例题】

例13.（2022.贵州•校联考模拟预测）如图，已知平行六面体4BCO-ABC］。的底面ABC。是菱形,

JT3

CD=CCX=AC1=2,NDCB=上且cosZQCD=cos/C、CB=1.

（1）试在平面ABC。内过点C作直线/,使得直线/〃平面GB。，说明作图方法，并证明：直线///与

（2）求点C到平面Af。的距离.

例14.（2022秋・河北石家庄.高一石家庄市第十五中学校考期中）如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD

满足：AB±AD,AD//BC.

（1）要经过平面CGA。内的一点P和棱8片将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写

出作图说明，无需证明）

⑵若AD=AB=2,BC=AA,=\,当点尸是矩形CZ»G的中心时，求点R到平面4年的距离.

例15.（2022・全国•高三专题练习）如图多面体ABCDEF中，面E钻，面ABCD,E钻为等边三角形，四

3

边形ABCD为正方形，EF//BC,且EF=3BC=3,H,G分别为CE,8的中点.

(1)求二面角C-EH-G的余弦值；

Ap

(2)作平面/77G与平面A3CO的交线，记该交线与直线A3交点为尸，写出不；的值(不需要说明理由,

AB

保留作图痕迹).

例16.(2022•全国•高三专题练习)四棱锥P-MCD中，底面ABC。是边长为2的菱形，ZDAB=—.

AC\3骁=0,且201平面48。。，尸。=石，点EG分别是线段产区尸£)上的中点，E在以上.且上4=3PE.

(I)求证：BD//平面£FG；

(II)求直线AB与平面所G的成角的正弦值；

(III)请画出平面EFG与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.

核心考点五：立体几何建系繁琐问题

【规律方法】

利用传统方法解决

【典型例题】

例17.如图，已知三棱柱ABC-的底面是正三角形，侧面是矩形，M,N分别为3c,8G

的中点，尸为AM上一点.过4cl和尸的平面交A3于E,交AC于

(1)证明：AA1//MN,且平面A|AMN_L平面EqC/；

(2)设。为的中心.若AO//平面，且AO=A5,求直线与平面A/1MN所成角

的正弦值.

例18.如图，在锥体P-A3CD中，A3CD是边长为1的菱形，且NZM3=60。，PA=PD=啦,PB=2,

E,尸分别是3C,PC的中点

(1)证明：AD_L平面£>£尸

(2)求二面角P-A。—3的余弦值.

例19.(2022春.福建南平•高三校考期中)在三棱柱ABC-ABC1中，ABJ.AC,4C，平面ABC,E、F分

别是棱AC、A耳的中点.

(1)设G为4G的中点，求证：EF〃平面3CG4；

(2)若AB=AC=2,直线B片与平面AC4所成角的正切值为更,求多面体与-EFGC的体积V.

2

核心考点六：两角相等(构造全等)的立体几何问题

【规律方法】

构造垂直的全等关系

【典型例题】

例20.如图，已知三棱柱ABC-A/©1的底面是正三角形，侧面BqgC是矩形，M,N分别为BC,B,C,

的中点，尸为A”上一点.过BC1和尸的平面交A3于E,交AC于

(1)证明：AAJ1MN,且平面A|AMN_L平面EB|C|F；

(2)设O为△A/CJ的中心.若AO//平面EqCF，且求直线2卢与平面A/IMN所成角

的正弦值.

........-----------J.G

——oxr

例21.如图，在锥体尸―A3CD中，ABCD是边长为1的菱形，且㈤43=所，PA=PD=及，PB=2,

E,P分别是3C,PC的中点

(1)证明：4。，平面。卯

(2)求二面角P-AO-3的余弦值.

核心考点七：利用传统方法找几何关系建系

【规律方法】

利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系.

【典型例题】

例22.如图：长为3的线段PQ与边长为2的正方形ABCD垂直相交于其中心0（尸O>OQ）.

（1）若二面角尸的正切值为-3,试确定O在线段尸。的位置；

（2）在（1）的前提下，以P,A,B,C,D,。为顶点的几何体PA3CD。是否存在内切球？若存在,

试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由.

例23.在四棱锥P—ABCD中，E为棱4）的中点，PE_L平面ABCD,AD//BC,ZADC=90°,ED=BC=2,

EB=3,P为棱尸C的中点.

（I）求证：PA//平面班F；

（II）若二面角尸-BE-C为60。，求直线PB与平面ABCD所成角的正切值.

例24.三棱柱ABC—44cl中，AB±AC,AB=AC=2,侧面BCQq为矩形，ZA,AB=—,二面角

A-8C-A的正切值为;.

（I）求侧棱色的长;

(II)侧棱CG上是否存在点。，使得直线仞与平面ABC所成角的正切值为半，若存在，判断点的位

置并证明；若不存在，说明理由.

核心考点八：空间中的点不好求

【规律方法】

方程组思想

【典型例题】

147T

例25.(2022.江苏南京.模拟预测)已知三棱台ABC-的体积为宁，l.ZABC=|,4C，平面BBgC.

(1)证明：平面ABC，平面A^G；

(2)若AC=8C，A瓦=81G=2,求二面角的正弦值.

例26.(2022春・浙江•高三浙江省新昌中学校联考期中)如图，在四棱台中，底面ABCD是

7T

边长为2的菱形，Z£>AB=|,平面BOD4，平面ABCZ),点。,。分别为男。,瓦)的中点,

Q8=1,/AA8，/ORO均为锐角.

(1)求证：AC±BB［；

⑵若异面直线8与9所成角正弦值为亨，四棱锥43。的体积为1,求二面角5C的平面

角的余弦值.

例27.（2022春•辽宁沈阳•高三沈阳市第一二。中学校考期中）如图，在几何体ABCDE中，底面A3C为以AC

为斜边的等腰直角三角形.已知平面ABC1平面ACD,平面ABC上平面BCE,£>£7/平面ABC,AD1DE.

B

（1）证明；DE1平面ACD；

（2）若AC=2CD=2,设/为棱8E的中点，求当几何体ABCQE的体积取最大值时,A"与8所成角的余弦

值.

核心考点九：创新定义

【规律方法】

以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决

问题.图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出

的信息进行提升，实现“图形―文字一符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的

本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读

图形.

【典型例题】

例28.（2022.安徽合肥・合校考模拟预测）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经

过顶点S的平面a相交，记交线为C,圆锥S的轴线/与平面a所成角Q是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条

母线所成角。的一半，为探究曲线C的形状，我们构建球7,使球T与圆锥S和平面a都相切，记球T与

平面a的切点为「直线/与平面a交点为A,直线AF与圆锥S交点为O,圆锥S的母线OS与球T的切

点为10M=a,

(1)求证：平面SOA_L平面a,并指出a,b,。关系式;

(2)求证：曲线C是抛物线.

例29.(2022•全国•高三专题练习)类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图

1,由射线FA,PB,PC构成的三面角尸一ABC,ZAPC=a,4BPC=/3,ZAPB=y,二面角4一「。一3的

大小为0，则cosy=cosacosP+sinasin尸cos〃.

(1)当a、/时，证明以上三面角余弦定理;

(2)如图2,四棱柱ABCD-AB|C|D］中，平面AA〈］C，平面ABC。，4414c=60。，ZS4c=45。,

①求NAAB的余弦值；

②在直线cq上是否存在点尸，使平面。4G?若存在，求出点尸的位置；若不存在，说明理由.

例30.（2022.全国•校联考模拟预测）峰房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六

棱柱截去三个相等的三棱锥ABC,J-CDE,K-EK4,再分别以AC,CE,EA为轴将AAC",NCEJ,

AE4K分别向上翻转180。，使J,K三点重合为点S所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂

房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每

一顶点的曲率规定等于27减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用

弧度制表示）.

图1

（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度;

（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值.

【新题速递】

1.（2022.重庆沙坪坝.重庆八中校考模拟预测）如图，在三棱柱ABC-A4G中，BC=CQ,AC=ABt.

（1）证明：平面ABGJ_平面BCC4；

⑵若BCgAC，AB=B£,ZCBB,=60°,求直线与平面4耳Q所成角的正弦值.

2.（2022・四川达州・统考一模）如图，三棱柱ABC-A瓦G中，底面ABC为等腰直角三角形,

AB=AC=1,BB]=2,/ABB]=60.

口4

(1)证明：AB1BtC；

(2)若与C=2,求AG与平面BC瓦所成角的正弦值.

3.(2022•陕西宝鸡・统考一模)如图在四棱锥中，2，底面ABCD,且底面A3CD是平行四边形.

已知E4=A8=2,AO=是尸3中点.

(1)求证：平面PBC1平面ACE；

(2)求平面PAD与平面ACE所成锐二面角的余弦值.

4.(2022•广东广州•统考一模)如图，已知四棱锥尸-ABCD的底面A3CD是菱形，平面「3cl平面A3C。,

/ACD=30,E为短)的中点，点尸在丛上，AP=3AF.

AB

(1)证明：2。//平面台历；

⑵若NPDC=NPDB,且与平面ABCD所成的角为45,求平面AEF与平面BE尸夹角的余弦值.

5.(2022・上海奉贤.统考一模)如图，在四面体ABCD中，已知54=9=6=。"点E是AD中点.

A

(1)求证：AD_L平面BEC；

9

⑵已知AB=5,NBDC=arccos—,Ar>=6,作出二面角D—BC—E的平面角，并求它的正弦值.

6.(2022・上海浦东新•统考一模)如图，三棱锥P-ABC中，侧面垂直于底面ABC,PA=PB,底面

ABC是斜边为A8的直角三角形，且NABC=30。，记。为A8的中点，E为OC的中点.

⑴求证：PC±AE；

(2)若AB=2,直线PC与底面ABC所成角的大小为60。，求四面体B40c的体积.

7.（2022・四川成校考模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中，AB=BD=BPf,

PA=PD=42,ZAPD=9O°,E是棱Bl的中点，且BE『平面尸CD

B

⑴证明：CZ）J_平面PAD；

（2）若CD=1,求二面角A-PB-C的正弦值.

8.（2022春・江苏徐州•高三期末）如图，四棱锥P-ABCD中，PAJ_底面ABC。，AD//BC,N为尸B的中

点.