数列综合运用-2023年高考数学一轮复习（全国通用）（解析版）

考向21数列综合运用

1.（2022年乙卷理科第4题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕

太阳飞行的人造卫星.为研究嫦娥二号绕II周期与地球绕日周期的比值，用到数歹∣J{2}:

bl=∖+-,⅛=ι+-,仇=ι+——:一,…，以此类推，其中

L

q-4+14+—r

其中％∈ΛΓ,(Z=l,2,)则

A.bx<b5B.&<4C.bβ<b2D.b4<b1

【答案】D

【解析】：由己知，⅛1=1+ɪ,b2=1—ɪʃ,故4>打；同理可得均<4,

%

4+一

a2

4>4，又因为-----Li——，故历<白；于是得4>4>4>⅛7>,排除A,

"2.■11

%+一

%

」>>-----Li一，故b,<b<∖,排除C,而4>4>4,排除B.故选择D.

%a,+-^-τ

_1

%+——

方法二：(取特殊值)取4=1,于是有4=2,⅛,=-,h.=-,⅛=-,

^2345

分子分母分别构成斐波那契数列，于是有仇=u,b6=-,h7=-.⅛=-.

58613721834

于是得">2,⅛,=1+->1+->1+—=⅛,%=1+§>1+'=仇.对比选项，选D.

33333486132-

2.(2022浙江卷第10题)已知数列｛%｝满足“∣=1,an+l=«„-1a；(z?∈N*),则

2<1OOΩIOO<∣

A.B.2<IOOtz100<3

77

C.3<IOOa]Q0<—D.Q<IOoqQQ<4

【答案】B

【解析】α,,+ι-Λ,,=-∣⅛<0，则数列｛%｝单调递减，

0<a“<1•由an+l

113又根据」——->-n^

--->一,累力口得--------->—n,得---->34>得IOOq(K)<

aaaa6zIOOa

n+ln3-%3n+∖∖31,+i%3

1π+2

—>----所以-------------二---------<ɔ—1+——累加得

aa3n+∖

*3n+ln3-4---3_ɪ

〃+2

Illl111

-----------<—n+—-+-+ɪ+…+-----

%用4----33234〃+1

得—+埠1+1岸1+…+<34+U，1x6++』x931=40,

aιoo33234328

IOCkz100>—.

3.(2021年上海卷第12题)已知函数a,eN"(i=l,2,,9)对于任意2WZW8,4+∣=&+1和=4-1中

有且只有一个成立4=6,佝=9,求q+/++%的最小值.

【答案】31

【解析】由题意得，①当Z=2时，若4=%-1，则%=7.

若想前9项和最小，则可取生=1,4=2，¾=1»%=2，%=1,6=2,

%=9满足题意，此时舟=31；

②当Z=2时，若%=%+1成立，

若想前9项和最小，则可取%=1,%=2,%=1，牝=2,4=1,tz7=2,¾=8,

此时§9=32.

综上可得：al+a2++%的最小值为31

4.（2021年浙江卷第120题）己知数列｛/｝满足4=1,%=""（"∈AΓ）,记数列｛用｝的前〃项和

ι+A

为s“，则

199

A.-<S∣oo<3B-3<S]θ0<4C.4<S∣oo<—D.-<SKX)<5

【答案】A

【解析】显然〉0,・,・由。〃+1=--⅛=∙知4+[<a”.

ι÷A

flaa

又由4+1=1+归得：,>+l+n+lM=,l

%=<货B=2M-Q，

Jα,J”口

∙"∙SlOO<a\+2[(V^i^^^V^Γ)+(V¾-7¾)+-"+(7^9~7^100)]

=αl+2y[a^-y∣al00=3-y∣am<3.故选A.

5.（2021年新高考1卷第17题）17.（10分）

a+1,〃为奇数

已知数列｛凡｝满足4=1，.向n

q+2,”为偶数

（1）记2=%,,写出4，b2,并求数列物,J的通项公式；

（2）求｛4｝的前20项和.

【答案】（1）a=2,b2=5,b,l=3n-∖；（2）300.

【解析】（1）由已知，4=1,/=4+1=2,ai=a2+2=4,a4=ai+1=5,

数列｛为｝的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列，

所以当〃为奇数时,

数列｛”“｝的偶数项构成以2为首项，3为公差的等差数列，

所以a“=2+（^-1）X3=3；2，而，"="2"，所以仇=4=2，h2=a4=5,

bn=a2n=3*2；_-=3n-1,所以包=3〃-1.

(2)由(1)知：｛〃“｝的前20项和

S20=aλ+a2++〃20=(4+%++《9)+(/+6++%o)

=IOXl+^^x3+10x2+^^x3=300,所以｛凡｝的前20项和为300.

--------≡≡*∖

[方法技巧)

1.公式法求和中的常用公式有

(1)等差、等比数列的前〃项和

①等差数列：s,="0+M1L∕(d为公差)或s,="i普.

∕t6Zj>g=1,

,t

a↑]-qa∖-anq其中q为公比.

—p7=一ΓF^'妤1'

(2)四类特殊数列的1前〃项和

①1+2+3+...+"=]〃(〃+1).

②1+3+5+...+(2〃—1)=∏2.

③P+22+32+...+n2=∣n(n+1)(2〃+1).

Θl3+23+33+...+H3=∣n2(n+l)2.

2.解决数列与数学文化相交汇问题的关键

一是读懂题意，即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，即由题意构建等差数列或等比

数列或递推关系式的模型；三是‘‘解模"，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、公差(或公

比)、项数、通项公式或前〃项和等.

3.数列与函数综合问题的主要类型及求解策略

(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.

(2)己知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前〃项和公式、求和方

法等对式子化简变形.

4.数列与不等式的综合问题

(1)判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比

较大小∙

（2）以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值.

（3）考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可以通过构造函数

进行证明.

J基础练）

1.等比数列｛知｝的前〃项和为S",若©+452=0,则公比4=（）

A.—1B.1C.—2D.2

【答案】C

【解析】选C.方法一：因为G+4S2=0,所以“∣∕+44∣+4mq=0,因为m≠0,所以/+4g+4=0,所以q

=-2,故选C.

方法二：因为43+4S2=O,所以华+4s=0,因为由#），所以q+^+4=0,即（q+2）2=0,所以

q=-2,故选C.

2.中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文,

问丙丁各若干？“，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人，所分钱数为等差数列，甲、乙两人共分77

文，戊、己、庚三人共分75文，则丙、丁两人各分多少文钱？则下列说法正确的是（）

A.丙分34文，丁分31文B.丙分37文，丁分40文

C.丙分40文，丁分37文D.丙分31文，丁分34文

【答案】A

【解析】（1）方法一：设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数依次是0,6,的，«4,的，a6,a1,且成等

。1+。2=77,a∖+a∖+d=∏f[Λ∣=40,

差数列，设公差为d,根据题意可得BPι,1.解得

。5+。6+。7=75,αι+4d+m+5d+α]+6d=75,[d=13,

以丙分得。3=αι+2d=34（文），丁分得"4="ι+3d=31（文），故选A.

方法二：依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a—3d,a—2d,a-d,a,α+d,α

[a-3d+a-2d=∏ffα=31,

+2d,α+3d,则《解得.所以丙分得。一d=34（文），丁分得α=31（文）,

[a+d+Q+2d+a+3d=75,[d=13

故选A.

3.在等比数列｛〃〃｝中，已知41+〃3=8,"5+07=4,贝!|。9+。11+03+05的值为（）

A.1B.2C.3D.5

【答案】C

【解析】（1）方法一：因为｛斯｝为等比数列，所以的+s是m+的与麴+。”的等比中项，所以（怒+劭）2=

.,（的+。7）242

（。1+的）・伍9+01），故ag+a∖∖=―〃]+〃3-=9=2・

同理，。9+〃11是。5+。7与。13+。15的等比中项，

所以(〃9+。11)2=(。5+〃7)313+。15)，故Λ∣3÷^15==^4=ɪ,

所以硒+白口+Q∣3+Q15=2+1=3.

方法二：设等比数列｛斯｝的公比为G

2

44

则45=αι√,aι-aiq,所以姬=今不詈=*=/又“9+01=048+a348=(0+43)48=8%^)—2,

“∣3+α15="42+α3q∣2=m]+α3)4∣2=8χθ∙)=1,所以49+01+03+α∣5=2+l=3.

4.已知等差数列｛“”｝的前N项和为S”,公差心0,〃6和a8是函数TW=争nx++-8x的极值点，则$8=()

A.-38B.38C.-17D.17

【答案】A

【解析】因为Xx)=号InX+%—8x,

*—8x+竽GTXLs

所以/(X)=,+χ-8=∙

XX

令/(x)=0,解得工=百或X=S

又。6和。8是函数Kr)的极值点，且公差冷0,所以〃6=；，15

48=5，

m+5d=g,0=-17,

所以解得,

α∣+7d=3",T∙

8x(8-1)

所以Sg=8。]+2Xd=-38»故选A.

2

5.已知数列｛斯｝是公比不等于1的正项等比数列，且Ig0+lg4202l=0,若函数兀0=7⅛,则已0)+夕。2)

+...+βa202ι)=()

A.2020B.4040C.2021D.4042

【答案】C

【解析】因为数列｛斯｝是公比不等于1的正项等比数列，且IgarHga2021=0,所以厄⑷生⑼)=0,即如色

2

因为函数击2,2+2r

021=1.TU)=ɪɪɪ=2,所以式0)十犬。2021)=2.令T=KlI)

l+x2

+/«2)+...+fi,a2O2l)-则T=Aa2021)+加2020)+…+加1).所以2T=Kal)+/«2021)+X«2)+X«2020)+...+犬42021)

+<0)=2x2021,所以7=202。故选C.

6.已知数列｛斯｝的前〃项和为S“点(〃，S,+3)("∈N*)在函数y=3x2'的图象上，等比数列｛与｝满足从+儿

+ι=α,,(∕2∈N*),其前"项和为力”则下列结论正确的是()

A.Sn=2TltB.Tn=2d+1C.Tn>a.D.Tn<blt+ι

【答案】D

【解析】因为点(〃，S,+3)在函数y=3x2，的图象上，所以S”+3=3x2",即S,=3x2"—3.

π,r1n1

当n>2时，an=S,,-S,,-1=3×2-3-(3×2-3)=3×2^,

又当"=1时，S=Sl=3适合上式，所以α,,=3x2"r.

设儿=Zηq"-∣,则从∕L∣+bι∕=3x2"-∣,可得∕η=l,q=2,

所以数列｛丛｝的通项公式为⅛≈2n^,.

由等比数列前〃项和公式可得7],=2n-l.

结合选项可知，只有D正确.

7.(多选)已知数列｛斯｝满足2a,Sa“-i+a“+i("GN*,n≥2),则()

A.a5>4a2~3aιB.α2+α793+46C.3(a7-aβ)≥aβ~«3D.42+α3N06+47

【答案】AC

【解析】由2α"≤α,L∣+α"+ι(，仑2),可得知一<⅛-ι≤<‰+ι-斯，所以有。2一α∣≤a3-β⅛≤…≤β,,+ι-⑨”所以的一44

+44—43+43—42≥3(α2-0ι),化简得“5≥4∙2—3αι,故选项A正确；由“7—α6≥G-S可得的+痣m疆+内，

故选项B错误；由3(。7—〃6巨46一的+⑥一出+如一”3=。6—η3，故可知选项C正确；若满足2如土”

-ι+m+ι(“≥2),但“2+"3=5<。6+。7=13,所以选项D错误.故选AC.

8.(多选)已知各项均为正数的等比数列｛斯｝,0>1,0<⅛<l,其前〃项和为S”下列说法正确的是()

A.数列｛lnα,J为等差数列B.若S“=A矿+B,则4+8=0

C.SnS3n=Si,D.记…•斯，则数列｛入｝有最大值

【答案】ABD

nγ

【解析】由题意可知,an-aιq-',Sn-~——.对于A,Inαn-Ina∖(f~-∖nα∣+(∏-l)ln<7,In%+I=Ina∖cf'

=Inal+〃ln%所以Ina.+∣-In<⅛=lng,所以｛ln%｝为等差数列，所以A正确.对于B,)=

产/+酒」，又S,=Aq"+8,所以A+B=—UD-+-=0,所以B正确.对于C,由题意，得SS,,=

1-q11—qF1—q1—q

0：一如m(:产)M(LS)(I]产)，贸铝二芟，显然.#瑞，所以C错误.对于

D,因为在等比数列｛a,,｝中，α,>0,0<⅛<l,所以数列｛为｝为单调递减数列，所以存在从某一项开始使得

以=G^r∈(0,1),所以在数列｛〃｝中，Tiτ="∣ɑ2∙…•以-I为最大值，所以D正确，故选ABD.

9.若数列｛小｝满足二一一?=(),则称｛斯｝为“梦想数列:已知正项数列｛*｝为“梦想数列”，且从+历+必=1，

Cln+1%On

则¼+⅛7÷⅛=・

【答案】32

【解析】由一L—9=0可得知+∣=%,,故｛斯｝是公比为;的等比数列，故自是公比为;的等比数列，则｛娟

Cln+1乙ZDnN

是公比为2的等比数列，⅛6÷⅛7÷¼-(⅛ι÷⅛2÷¼)25=32.

10.数列｛”“｝的前n项和为S,,定义｛如｝的“优值"为为="'+2""j+2"",现已知｛斯｝的“优值”从=2",

则Sn=________

/(/+3)

【答案】

2

,4]+2G+...+2"

【解析】由"〃=------F---------=2〃,

得〃1+2改+…+2"∣αzj=∕r2",(T)

n2nl

当论2时,aι+2a2+...+2'an-i=(n-1)2~,②

w,nfl1,l

由①一②得2^an=n∙2-(n-∖)2~=(π+ɪ)2~ɪ,即al1=n+∖(n>2),

当〃=1时，αι=2也满足式子%=〃+1,

所以数列伍“｝的通项公式为an=n+I，

“(2+〃+1)〃(勿+3)

所以S-

n22-

11.等差数列｛斯｝的前〃项和为S,,该+。4=48,05=28,若S"+30>加对任意〃∈N*恒成立，则幺的取值

范围为.

【答案】(一8,30)

【解析】由题意得。2+〃4=〃5+。1=48,因为〃5=28,

r-t,n,。5—。128-20l,n(九一1),

所以m=20,则1=—^一=—4—=2,所以S〃=20〃+------5------×2=H(H+19),

...-n2+19n+30.30.

由〃(〃+19)+30>wλ得λ<---------------=n+-+19,

由函数<x)=x+^+19的单调性及式5)=A6)=30知，

当"=5或”=6时，”+斗+19取最小值30,故2<30.

12.数列｛处｝的前"项和记为S”αι=l,⅛÷∣=2Sn+l(π≥l).

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)等差数列｛儿｝的各项为正数，其前〃项和为。且73=15,又s+加，a2+b2,的+加成等比数列，求

Tn.

【解析】(1)由4"+1=2S"+1,可得4,1=2SnT+1(论2),

两式相减，得。”+1—。〃=2斯，斯+1=3α,G≥2).

又因为“2=251+1=3,

所以。2=3。1.

故｛斯｝是首项为1,公比为3的等比数列，

n

所以an=3~∖

(2)设｛仇｝的公差为d,

由7⅛=15,得—+历+4=15,可得由=5,

故可设"=5—d,b3=5+d.

又内=1,“2=3,¢/3=9,

由题意可得(5-4+1)(5+d+9)=(5+3)2.

解得dι=2,⅛=-10.

因为等差数列｛b｝的各项为正数，

所以d>O,所以d=2.

,n(〃一ɪ)ɔ,

7][=3〃+2X2=77~+2儿

13.给定一个数列｛斯｝,在这个数列中，任取加(加≥3,m∈N*)项，并且不改变它们在数列｛斯｝中的先后次序,

得到的数列称为数列｛%｝的一个，"阶子数列.已知数列｛α,,｝的通项公式为斯=4∙5eN*,α为常数)，等差

n-ra

数列“2,。3,疑是数列｛3｝的一个3阶子数列.

⑴求α的值；

(2)设等差数列∕η,bi，6,"是｛斯｝的一个〃?(吟3,z∏WN*)阶子数列，且"=9(左为常数，⅛∈N*,⅛>2),

求证：加女+1.

【解析】(1)因为。2，。3,。6成等差数列,所以。2一的=。3一%.

又因为例=*‘俏=*'"6=汽'所以圭—士=±一解得"=0∙

(2)证明：设等差数列仇，b2,....M的公差为d.

因为"=S所以历从而d=⅛-gWτT=Z(缶).

.1m—1

所以h,n=b↑+(m-l')d≤^-k(/；+))•

又因为Z⅛>0,所以;一>0.即"U+1,所以m<Z+2.

KK，(；'攵；」十1)、

又因为机，⅛∈N*,所以〃z≤Z+l.

1.(2022.山东青岛.一模)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税

次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几

何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的第2关收税金为剩余金的g,第3关收税金

为剩余金的!，第4关收税金为剩余金的工，第5关收税金为剩余金的!，5关所收税金之和恰好重1斤.问

456

A一,AzXf10x+l,x>1/、

原来持金多少？记这个人原来持金为。斤，设f（x）=IU/,，则/（α）=（）

11—5xλ,U<X≤1

A.-5B.7C.13D.26

【答案】C

【解析】由题意知：这个人原来持金为。斤，

第1关收税金为：斤；第2关收税金为g（l-f∙”=白。斤；

第3关收税金为:∙（1一］一J），。=J√'"斤，

4263x4

以此类推可得的，第4关收税金为Jτ∙。斤，第5关收税金为J7∙α斤，

4×55×6

crtu11111

所以一〃+Q+-------a-∖------Q+--------a=1,

22×33×44×55×6

.Illll1111.“1、.√⅛∙π∕n6

α即rl（z1~^÷~~τ÷τ^^~÷~-7÷τ-=（1_二>〃=］，解得Q=~»

22334455665

“、［lθx+l,x>l-66

又由"x=∣<A一，所以∕g）=i0χw+ι=i3.

ll-5x,0<x≤l55

2.（2021・海南海口•模拟预测）随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及

融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建'’的众多工程之一，截至

2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设,

实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月

多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到（）

A.2022年12月B.2023年2月C.2023年4月D.2023年6月

【答案】B

【解析】每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，

设预计我国累计开通500万个5G基站需要八个月，则70+5"+妁FXI=500,

化简整理得，/+9"_860=0,解得”≈25.17或-34.17（舍负），

所以预计我国累计开通500万个5G基站需要25个月，也就是到2023年2月.

3.（2019•广东江门•一模（理））根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的"个月内累计的需求量S）I（单

位：万件）大约是5,=合（21〃-〃2一5）（n=l,2,?,?2）.据此预测，本年度内，需求量超过5：万件的月份

是

A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.8月、9月

【答案】C

【解析】日用品从年初开始的"个月内累计的需求量S,(单位：万件)大约是S,,=杯

(E2,72),则第〃(n≥2)个月的需求量为—色整0>5-5"+27x6<0,

n2—15/z+54<O=>6<M<9

4.(2022・四川凉山•二模(文))在“全面脱贫'’行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款

IOOoo元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月

获得的利润是该月月初投入资金的20%,每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用

于再进货，如此继续•设第〃月月底小王手中有现款为巴,则下列结论正确的是()(参考数据：1.2"≈7.5,

I.2'2≈9)

①4=12000

②〜=1.20,,T()00

③2020年小王的年利润约为40000元

④两年后，小王手中现款约达41万

A.②③④B.②④C.①②④D.②③

【答案】A

【解析】对于①选项，4=(l+20%)XlOoOO-Iooo=Ilooo元，故①错误；

对于②选项，第〃月月底小王手中有现款为生,，则第〃+1月月底小王手中有现款为。川，由题意

∕=1.2%-1()()(),故②正确；

对于③选项，由4+1=1.2%-1000,得4向—5000=1.2(。“—5000),

所以数列｛q,-5000｝是首项为6000,公比为1.2的等比数列，

所以q2-5000=6000χl.2",即%=6000x1.2”+5000=50000

所以2020年小王的年利润为50000-IOoOO=40000元，故③正确：

对于④选项，两年后，小王手中现款为外4=5000+6000x1.223=5000+6000χl22χl.2"=410000元，即

万，故④正确.

5.(2022.湖南.一模)在流行病学中，基本传染数R。是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况

下，一个感染者平均传染的人数∙RO一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程

中传染的概率决定.对于R°>l,而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播

途径.假设某种传染病的基本传染数R。=3,平均感染周期为7天(初始感染者传染R。个人为第一轮传染,

经过一个周期后这RO个人每人再传染Ro个人为第二轮传染……)那么感染人数由1个初始感染者增加到

IOoO人大约需要的天数为(参考数据：36=729,45=1024)()

A.35B.42C.49D.56

【答案】B

【解析】感染人数由1个初始感染者增加到IoOO人大约需要"轮传染，

则每轮新增感染人数为《"，

经过〃轮传染，总共感染人数为：l+N>+7√+

1一舄

∙.∙R°=3,.∙.当感染人数增加到IoOO人时，Ul=IO(X),化简得3"=667,

1-3

由3$=243,36=729,故得〃a6,又3平均感染周期为7天,

所以感染人数由1个初始感染者增加到IOOO人大约需要6x7=42天，

6.(2019•浙江・二模)已知数列｛4｝满足％=4>0,α向=-d+%("wN*),若存在实数/,使｛/｝单调递增，

则〃的取值范围是

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】A

【解析】由｛«„)单调递增，可得=-⅛+tan>an,

由4=">0,可得4,>O,所以f>α,,+lSeN*).

〃=1时，可得f>a+1.①

〃=2时,可得r>-/+m+ι,即(a-l)r<(α+l)(α-1).②

若a=l,②式不成立，不合题意；

若。>1,②式等价为∕<a+l,与①式矛盾，不合题意.

排除B,C,D,故选A.

7.(2019•河南鹤壁•高考模拟(理))设数列｛q｝的前"项和为S“，¾t∣+¾=2n+3,且S,,=1450,若的<4,

则〃的最大值为

A.51B.52C.53D.54

【答案】A

[M⅜Frl'∙an+ι+an=2n+3,.∙.αn+1-(n+2)=-(¾-(n+l)),

｛4-5+1)｝是以T为公比的等比数列，

π

:.an-(∕j+l)=(α∣-2)∙(-l)∣,

〃)、κ

A(n+3J/l-(-l)

.∙∙s,,=T+O-

当n为偶数时，s,=网展ɪ=1450无解，当n为奇数时，S,,+-2=1450,

.∙.4=1452/("+3),又q+g=5,.∙."2=5-4<4,即4>1,

2

即"5+3)<2902,又n为奇数，故n的最大值为51.

8.(2022・辽宁・渤海大学附属高级中学模拟预测)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行

给小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月

还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的

次月当天开始首次还款(若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款).已知小张该笔贷款

年限为20年，月利率为0.004,则下列说法正确的是()(参考数据：1.()()4240a2.61,计算结果取整数)

A.选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该笔贷款的总利息为

289200元

B.选择方式②，小张每月还款额为3800元

C.选择方式②，小张总利息为333840元

D.从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①

【答案】ACD

【解析】对于A,由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为｛《J,S”表

示数列｛《,｝的前”项和，则4=4900,¾40=2510,

贝∣jS诩=240(4+⅞w)=12OX(4900+2510)=889200,

故小张该笔贷款的总利息为889200-600000=289200(元)，故A正确.

对于B,设小张每月还款额为X元，

则X+x(1+0.004)+x(l+0.004)2+∙∙∙+x(l+0.004)239=600000×(1+O.OO4)240,

1_1240

240

所以XX=60∞00×1.OO4,

1-1.004

600000Xl.OO424θ×0.004600000×2.61×0.004CC小..

即ππX=----------------示--------=----------------------------≈3891,故+Bn错il误ta.

1.004240-l2.61-1

对于C,小张采取等额本息贷款方式的总利息为3891x240-600000=933840-600000=333840(元)，故C

正确.对于D,因为333840>2892(X),所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①，故D正确.

9.(2020•江苏镇江•三模)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘

缠，次第每人多十七，要将第八数来言'’.意思是把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺

序依次排列分绵，每个弟弟都比前面的哥哥多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵的斤数为.

【答案】184

【解析】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成以第8个儿子分到的绵的斤数为首项，公差为d=-17

的等差数列，

其中n=8,S8=996,

所以84+8*(8-%(-17)=996,

12

解得«/=184,

故答案为：184

10.(2020∙黑龙江.哈尔滨三中三模(理))新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，

某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一

次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%,该药在

人体内含量超过Iooo毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药(填"会”或者“不

会“)对人体产生副作用.

【答案】不会

【解析】由题意第一次服药后，经过12小时后，体内药物含量700χ(l-70%)=700χ30%,经过24小时后,

体内药物含量700χ(30%)2,以此类推，一次服药后体内药物含量构成以4=700应=30%为公比的等比数列,

即=700X(30%产，

所以第"次服药后，体内药物的含量为:

700+700X0.3+700X0.3?+…+7OoX0.3"T

7OO×Γ∣-（O.3）"1r-1

=--------ɪ-J=1OOO×[1-（O.3）,,J>

当“→”时，药在体内的含量无限接近IOO0,该药在人体内含量不超过IOoo毫克，不会产生副作用.

IL（2021∙全国•模拟预测）在流行病学中，基本传染数R。是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力

的情况下，一个感染者平均传染的人数.&一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触

过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数0=3（注：对于0>1的传染病，要隔离感染者，

以控制传染源，切断传播途径），那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染者）的总人数

为（注：初始感染者传染《个人为第一轮传染，这《个人每人再传染凡个人为第二轮传染……）

【答案】1092

【解析】由题意：4=1,4=%=3所以4=。4-=3"-∣第六轮的传染人数为由

所以前六轮被传染的人数为=上W-I=Io92.故答案为：1092

1-3

12.（2021•河南郑州•三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着

几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为

对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索

自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1,线段AB的长度

为1,在线段AB上取两个点C,。，使得AC=OB=以CO为一边在线段AB的上方做一个正三角形,

然后去掉线段C。，得到图2中的图形：对图2中的线段EC、ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此

类推，我们就得到了以下一系列图形：

________________J\___A_

ACDBACDB

图1图2图3图4

记第"个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为S“，对任意的正整数〃，都有S,<α,则”的最

小值为.

【答案】2.

【解析】设第〃个图形中新出现的等边三角形的边长为明,则当〃≥2时，q=H二=']',

2

设第〃个图形中新增加的等边三角形的个数为4，则当〃≥2时，bn=2"-,

故S.一S,ι=gJX2*2,其中〃≥2,

2

由累加法可得s.=ι+幅+(I)++(I)]=ι÷r⅛×[ι-(∣)

”=1时，H=I也符合该式，故S,,=2-目，

故S,,<2对任意的〃≥1恒成立,故“≥2即”的最小值为2.

13.(2022・上海•模拟预测)流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感,

据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市

医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从H月A+l(9≤么≤29,&eN*)日起每天的新感染者比前

一天的新感染者减少20人.

(1)若&=9,求11月1日至11月10日新感染者总人数；

(2)若到II月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人

数最多？并求这一天的新感染者人数.

【答案】(1)2480人；(2)11月13日新感染者人数最多为630人.

【解析】(1)记11月〃日新感染者人数为为(l≤"≤30),

则数列{ɑ“}(l≤〃≤9)是等差数列，q=30,公差为50,

Xa10=30+50×8-20=410,

则11月1日至11月10日新感染者总人数为：

(9x8、

(α∣+ci-t+,.•+%)+即)=[9X30H———X50I+410=2480人；

(2)记11月"日新感染者人数为4(14"≤30),

11月k日新感染者人数最多，当1≤“≤A:时，⅛=50/7-20.

当左+l≤"≤30时，an=(5()Λ-20)-20(n-⅛)=-20M+70⅛-20,

因为这30天内的新感染者总人数为11940人，

,,(30+50⅛-20)Λ[50⅛-40+(70⅛-620)](30-k)“八

所cr以u-------------+---------------------------=11940,

22

得-35λ2+21354-99(X)=11940.BPk1-6∖k+624=0

解得&=13或Z=48(舍)，

此时43=50x13-20=630

所以Il月13日新感染者人数最多为630人.

14.（2021.上海杨浦.二模）已知无穷数列｛4“｝与无穷数列｛2｝满足下列条件：①”,,∈｛0,l,2｝,“eN*;

②筌=（T）"∙∣g4"-I"+ι∣,"wN*.记数列｛么｝的前”项积为，.

（1）若α∣=4=1,%=O，4=2=1,求4;

（2）是否存在4,出,4，火，使得4也也也成等差数列?若存在，请写出一组4,%，%，4；若不存在,请说明

理由；

（3）若a=1,求岂⑼的最大值.

ɔZ1'1020100

【答案】（1）7；=—;（2）不存在，理由见解析；（3）（4必）2=（£|.