2023届新高考数学解三角形提分练习 (附答案)

2023届新高考数学二轮复习：专题(解三角形)提分练习【总结】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： (1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置； (5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； (6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【典型例题】CABCaa+cC+Asin24cc(2)求+的取值范围．abC(1)若BA.BD=，4(2)若直线BD平分三ABC，求△ABD与△CBD内切圆半径之比的取值范围.sinA一sinBsinC已知=．(2)求的取值范围．aBD.BE1CD.CE3nC33(1)求角A的大小；(2)若UABC为锐角三角形，且其面积为，点G为UABC重心，点M为线段AC的中点，2--点N在线段AB上，且AN=2NB，线段BM与线段CN相交于点P，求GP的取值范围．注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．【过关测试】(1)求角C；43(2)CD是三ACB的角平分线，若CD433AB」BD.PABD，求PB+2PD的最大值.3．(2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习)如图，某城市有一条(MO)从正西方通过市中心O后转向东偏北60°方向(ON)的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并ABP(2)若B到市中心O的距离为10km，此时P设在三AOB的平分线与AB的交点位置，且满足OP2+BP2>11OP.OP2+BP2>11OP.BP，则求A到市中心O的距离最大时tan9的值.4．(2023秋ꞏ河北衡水ꞏ高三河北衡水中学校考阶段练习)已知UABC的外心为O，M,N为线段AB,AC上的两点，且O恰为MN中点.VABC(1)求C；"(1)若三APB=，CD=1，求UPCD面积的最大值；3\2)\2)(C_A)(2)若c_a等于边AC上的高h，求sin|\2)|的值．π2π2S=33且三ABC为锐角．△ABC△ABCa2a2+b2如图，在梯形ABCD中，AB//CD，3△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，c2(2)求平面ABD与平面BCD夹角的余弦值.B2三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题．(2)设UABC的面积为6，点D为边BC的中点，求AD2的最小值．C(2)若BC边上的高是AH，求BH的最大值.D(2)求AC的长.ac②求分别作答，按第一个解答计分.UABCcab2的取值范围.2【总结】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： (1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置； (5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； (6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【典型例题】例1．(2023秋ꞏ山西太原ꞏ高三统考期末)在UABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，【答案解析】(1)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，∴c2-2bccosA=bc∴sinB=sin(A-B)，B (2)由(1)得A=2B,c=b(1+2cosA)，BcosBcosB∴的取值范围为82,12)．C-Aa+bsin224aba+bsinA+sina+bsinA+sinBa+csinA+sinCC-AC-Aa+bsin2sinA+sinBsin2又a+c=sinC+A，所以sinA+sinC=sinC+A，22因为sinA+sinC=2sinC+AcosC-A，22A22C+A22cosCAcosCAsinC22C+A22sin22又0<C<π，所以C=2π，3AB=π-A-C=π．4122π (2)由(1)得C=，3因为a>0,b>0，所以b+a>2b.a=2，abababab(1)若BA.BD=，C.=0，求S；4UABC(2)若直线BD平分三ABC，求△ABD与△CBD内切圆半径之比的取值范围.22224故2=1，则=2，即BD=2，2222m2AB.BD2m2AB.BD2m22m因为BA.BD=BABDcos议=，4m3所以m人2人22m=4，解得m=2，则cos议=22人2=4，4所以S=S+S=1AB.BDsin议+1BD.BCUABCUABDUBCD22=人227=人2271224222=8. (2)如图2，不妨设△ABD与△CBD内切圆的半径分别为r与R，BDABC，ABAD1所以由角平分线性质定理得==，记AB=c，则BC=2c，BCCD2记三ABC=b，则cosb=AB2+BC2一AC2=c2+4c2一9=5c2一9，2AB.BC2〉c〉2c4c233339999994c21S因为US因为UABDSUBCD==(==(h为顶点B到AC的距离)，2222UBCD22UBCD22tt2ttt2tttt611(2)所以△ABD与△CBD内切圆半径之比的取值范围为|\2,1)||..sinA-sinBsinC3a-c3a-ca+bsinA-sin=3a-ca+ba2=3a-ca+ba2+c2-b23ac33a-ca+b由余弦定理得：cosB===，2ac2ac2因为B=(0,π)，6 62bc6sinAsinAsinAsinA则则sinAtanAtanAtanAtan2Aa22222222 (2)由(1)知：B=2A，A===，asinAsinAsinAnAb+c=2sinAcosA+2sinAcos2A+cos2AsinA=2cosA+2cos2A+cos2AasinAaBD.BE1且=.且CDCE3【答案解析】(1)由面积公式可得：SBD2〉AD〉AB〉sin三BADAB〉sin三BADSCD1AC〉sin三SCD1AC〉sin三CADUADC〉AD〉AC〉sin三CAD2SBE2〉AE〉AB〉sin三BAEAB〉sin三BAESCE1AC〉sin三SCE1AC〉sin三CAEUAEC〉AE〉AC〉sin三CAE2〉=即=，BD.BE1AB〉sin三〉=即=，CD.CE3AC〉sin三CADAC〉sin三CAE3AC3(33](93]故UABC的BC边上的高的范围为|\0,2」|，故其面积的取值范围为：||\0,4」| (2)故PB=1〉cosa=cosa，而3=CP，故CP=23sina，sin三APCsina整理得到：3=8tan2a+23tana，解得tana=-3或tana=3，24但a为锐角，故tana=3，故sina=3=5741919tanB+tanC+3=3tanBtanC这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解33(1)求角A的大小；(2)若UABC为锐角三角形，且其面积为，点G为UABC重心，点M为线段AC的中点，2--点N在线段AB上，且AN=2NB，线段BM与线段CN相交于点P，求GP的取值范围．注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．即2sinAcosA=sinA，又sinA>0，所以2cosA=1，即cosA=，2因为A=(0,")，所以A="；3所以tanB+tanC=-3，即tan(B+C)=-3，所以tan("-A)=-3，即因为A=(0,")，所以A="；3---一2-----1---一 (2)依题意AN=AB，AM=AC，3232所以=A+所以=A+AC，2413因为SbcsinA，所以bc2，UABC22即20，即b2bc0，即2bc，所以b1，即20，即c2bc0，即2cb，即2b，所以0b2，综上可得1b2，又12，则1442224242124AB24AB4AB24AB4c22bcb2b2bx因为1b2，所以1b24，而fx164x在1,4上单调递减，所以fx4,13，x即164b24,13，即14424,13，所以122,13，则1,13b2612.【过关测试】足sinA(1)求角C；43433【答案解析】(1)由正弦定理得a+化简得a2+b2_c2=ab，由余弦定理得cosC=a2+b2_c2=1，又Ce(0,几)，则C=几；2ab23 (2)113113222几SCACD.sin6CAADS1几CBBD，US1几CBBD，UBCD.CB.CD.sin26即AD=b，则=+=+b16a2b22ab1a2b216a2b22ab1a2b2由(1)知c2=a2+b2_ab=20_8=12，则c=23.AB」BD.(2)若点P为△ABD外接圆上任意一点，求PB+2PD的最大值.在△ABD与△CBD中，由余弦定理知：AB」BD，y" (2)由(1)知：△ABD中，三ABD=，AD=2，AD为△ABD外接圆的直径.2PABD外接圆上任意一点，"当P在优弧AD上时，三BPD=三BAD=，"3PB+2PD的最大值为27.22"当P在劣弧D上时，三BPD="-三BAD=，2"3n62623．(2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习)如图，某城市有一条(MO)从正西方通过市中心O后转向东偏北60°方向(ON)的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并ABP(2)若B到市中心O的距离为10km，此时P设在三AOB的平分线与AB的交点位置，且满足OP2+BP2>11OP.BP，则求A到市中心O的距离最大时tan2"【答案解析】(1)由题意可知三AON=,三OAB=9，2"3若P在O的正北方向，则OP」OA，32OB所以OB=2sin+9))|=2cos9=4，sin-9))|23cos9-sin93-tan94tan93-tan9-tan29+3tan922=6当且仅当tan9+36当且仅当tan9+3+，即tan9=6-3时，取等号，AB到市中心O的距离和最小时tan9=6-3； (2)因为2+2>几3------------3S所以OAOBsin=OAOPsin+OBOPsin，-2几所以OAOBsin=OAOPsin+OBOPsin，232323--------即10OA=OAOP+10OP，-----OA=---OA==----3--20--所以当OP=时，OA有最大值20，320203此时在UAOP中，(2几)=sin9，11=cos9+sin9即31cos9+sin9223131sin9311，311，2tan9253所以当A到市中心O的距离最大时tan9=35.4．(2023秋ꞏ河北衡水ꞏ高三河北衡水中学校考阶段练习)已知UABC的外心为O，M,N为线段AB,AC上的两点，且O恰为MN中点.SVABC【答案解析】(1)证明：设AM=x,BM=y,AN=x,CN=y，1222x1.OM2y1.OM+1=0，+1=0，2x1.OM2y1.OM11111122xyxy1122 (2)由(1)知xy=xy=2，11222AO.OM2AO.ON12yy22yy222SAM.BM山入114UAMN===共=因此SUABCAB.AC(山+1)(入+1)1+51+59，S4因此VAMN的最大值为.S9VABC(1)求C；几几23ABACACBUABC是等边三角形，设AC=x，三D=9，3UABCUADC，：，：max4max4【答案解析】(1)在△ABC中，【答案解析】(1)在△ABC中，2AB.BC2AB.BC2，S=1AB.BCsin120。=1〉3〉1〉3=33．△ABC2224 在△ABC中，由ACsin(30o+9)sin120o联立上式，并由CD=3BC得3sin30o=sin(60o_9)，整理得sin(30o+9)sin(60o_9)=1，所以sin(60o+29)=1，42PBPA冗(1)若三APB=，CD=1，求UPCD面积的最大值；3冗【答案解析】(1)由已知三DPC=三APB=，3结合基本不等式有1>2PC.PD_2PC.PDcos冗=PC.PD，31冗33S=PC.PDsin=PC.PD共UPCD23444 ABBC12当且仅当sin2x=sin29-sin2x，即sin2x=sin2922ac2ac2因为B=(0,π)，所以B2ac2ac23)22222222大值为2； (2)由(1)知：B=π，3222222222222222222222242222242故sin=一sin2，解得：sin=或一，2422222所以sin=.22π9．(2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习)如图，四边形ABCD中，三DAB=三DCB=，AB=3，BC=2，π2△ABC2(2)求ACD的面积．【答案解析】(1)由已知S=1AB.BC.sin三ABC=33，：sin三ABC=3∵三ABC是△ABC222622π3π3ACAC=7．∵三DAB=三DCB=，∴BD是四边形ABCD外接圆的直径，∴BD是UABC外2AC2221接圆的直径，利用正弦定理知BD==7=三ABC333432343221CD=,又 233323π2π34333π2π34333=，33231S=AD.CD.sin三ADC=△ACD2△ACD22310．(2023秋ꞏ湖南长沙ꞏ高三长郡中学校考阶段练习)如图，在梯形ABCD中，AB//CD，2几32几28=22+x2一2.2.x.cos，即x2+2x一24=0，而x>0，解得x=4，3△ABC22225S所以△ADC的面积S=△ABC=53，5S△ADC2则梯形ABCD的面积S=S+S=73；△ABC△ADC2362BCABBC=5BCCDBC===233233356233ABC的内角A，B，C的对边分别为a，c2ac2【答案解析】(1)由=sinAsinC,【答案解析】(1)由=sinAsinC,所以sinAcosC=2cosAsinC,56 (2)由已知条件得=sinBsinC， (2)由已知条件得=sinBsinC，B(2)求平面ABD与平面BCD夹角的余弦值.【答案解析】(1)取BC中点O，连接OA，OD，因为UABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，所以OA」BC.因为△BCD是等边三角形，所以OD」BC.所以BC」平面AOD.因为AD仁平面AOD，故BC」AD. 2如图，以及过O点垂直于平面ABC的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角2yzABD111322x.22231〉1231393故平面ABD与平面BCD39331.2三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题．(2)设UABC的面积为6，点D为边BC的中点，求AD2的最小值．2cosBcosB所以2cosBcosC一1=2sinCsinB，即cos(B+C)=1，222因为A=(0,π)，所以A=2π222因为A0,π，所以A2π；3由正弦定理和切化弦得sinCsinAsinC2sinBsinC，cosAcosC所以cosA1，得A2π；231 (2)由S6bcsinA，得bc83，△ABC2由ADABBC，有ADABAC，由ADABBC，有ADABAC，2222211c21b21bc121b2c242444221644当且仅当b2c283时，等号成立，所以AD2的最小值为23．(1)求APB；(2)若AB23，BP2，PC3，记APC，求线段AP的长和UABC面积的最大值.【答案解析】(1)已知2mnsin3ncos，由正弦定理可得2sinsinsin3sincos，由sin0，22333 (2)在△APB中，由余弦定理得知：因为三APB+三BPC+三APC=2π，所以三BPC=2π-2π-9=4π-9.33S=S+S+S△ABC△APB△APC△BPC222\3)2322因为，-π<9-π<5π，666ππ2πππ2π(2)若BC边上的高是AH，求BH的最大值.【答案解析】(1)由cos2A-cos2B=2sinC(sinB-sinC)可得：nBsinCsinAsinBsinCca2bc2即cosA=1，又A=(0,π)，∴A=π，2333a4a48(2)求AC的长.【答案解析】(1)如图，在圆O中，连接BD，在△ABD中，由余弦定理得：BD7143设圆О半径为R，由正弦定理得：∴2R=sin120o=3=3，所以半径R=73；32 (2)由余弦定理得cos三ADB===， (2)由余弦定理得cos三ADB==