湖南省株洲市先锋高级中学2022年高二数学理上学期摸底试题含解析

湖南省株洲市先锋高级中学2022年高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象大致是(

) A B C D参考答案：B2.命题“”的否定是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到答案。【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定是“”；故答案选C【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题。3.在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A.

B.

C.

D.参考答案：C略4.已知椭圆和点、，若椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直线的斜率为k，则k的取值范围为（

）A．[－4,－2]

B．[－2,－1]

C．[－4,－1]

D．参考答案：A设动弦端点，中点为，则有且有，则两式相减化为，即，，中点在AB上，，可得，解得，故选A.

5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．1参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是正方体挖去一个正四棱锥，判断三视图的数据所对应的几何量，并计算四棱锥的斜高与高，代入正方体与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是正方体挖去一个正四棱锥，其中正方体的边长为1，挖去的正四棱锥的斜高为，∴四棱锥的高为=，∴几何体的体积V=13﹣×12×=．故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．6.点A在直线l上，l在平面α外，用符号表示正确的是（）A．A∈l，l?α B．A∈l，l?α C．A?l，l?α D．A?l，l∈α参考答案：B【考点】平面的基本性质及推论；平面的概念、画法及表示．【分析】利用点线面的关系，用符号表示即可．【解答】解：∵点A在直线上l，直线l在平面α外，∴A∈l，l?α．故选B．7.下列函数是奇函数的是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据奇函数的定义验证得解.【详解】中函数定义域不对称是非奇非偶函数，中函数满足，都是偶函数，故选C．【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于基础题,8.已知点A（l，2）在函数f（x）=ax3的图象上，则过点A的曲线C：y=f（x）的切线方程是（）A．6x﹣y﹣4=0 B．x﹣4y+7=0C．6x﹣y﹣4=0或x﹣4y+7=0 D．6x﹣y﹣4=0或3x﹣2y+1=0参考答案：D【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由A在曲线上，求出a，再求导数，设出切点，求出切线的斜率，再由两点的斜率公式，得到方程，解出切点的横坐标，得到斜率，再由点斜式方程，即可得到切线方程．【解答】解：由于点A（l，2）在函数f（x）=ax3的图象上，则a=2，即y=2x3，y′=6x2，设切点为（m，2m3），则切线的斜率为k=6m2，由两点的斜率公式得，=6m2，即有2m2﹣m﹣1=0，解得m=1或﹣，则切线的斜率为k=6或k=6×=，则过点A的曲线C：y=f（x）的切线方程是：y﹣2=6（x﹣1）或y﹣2=（x﹣1），即6x﹣y﹣4=0或3x﹣2y+1=0．故选D．【点评】本题考查导数的应用：求切线的方程，注意考虑切点，同时考查直线方程的形式，考查运算能力，属于易错题．9.阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11参考答案：B【考点】程序框图．【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选B．10.等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（

）A.30

B.45

C.90

D.186参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是虚数单位，则

参考答案：0略12.有名同学在玩一个哈哈镜游戏,这些同学的编号依次为:1,2,…n,在游戏中,除规定第k位同学看到的像用数对(p,q)（p<q）(其中q-p=k)表示外,还规定:若编号为k的同学看到的像用数对（p,q）,则编号为k+1的同学看到的像为（q,r）,(p,q,r)，已知编号为1的同学看到的像为（4,5），则编号为5的同学看到的像是

。参考答案：（14，19）13.椭圆的离心率为，直线l：x﹣y+1=0交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若，则椭圆的方程是．参考答案：x2+4y2=1【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆的离心率为，故设椭圆方程为，λ＞0，联立，得5x2+8x+4﹣4λ2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），，…①，C（0，1），，可得5x2=3x1．…②，把②代入①得λ2【解答】解：∵椭圆的离心率为，∴，设a=2λ，（λ＞0），则c=，b=λ，∴椭圆方程为，λ＞0，联立，得5x2+8x+4﹣4λ2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），，…①，C（0，1），∵，∴5x2=3x1．…②，把②代入①得λ2=，可得x2+4y2=1．故答案为：x2+4y2=1．14.右图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为

▲

．S←9i←1While

S≥0

S←Sii←i1End

WhilePrint

i

参考答案：515.若双曲线上一点P到其左焦点的距离为5，则点P到右焦点的距离为．参考答案：9考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义，求得|PF2|=1或9，讨论P在左支和右支上，求出最小值，即可判断P的位置，进而得到所求距离．解答：解：双曲线=1的a=2，b=2，c==4，设左右焦点为F1，F2．则有双曲线的定义，得||PF1|﹣|PF2||=2a=4，由于|PF1|=5，则有|PF2|=1或9，若P在右支上，则有|PF2|≥c﹣a=2，若P在左支上，则|PF2|≥c+a=6，故|PF2|=1舍去；由于|PF1|=5＜c+a=6，则有P在左支上，则|PF2|=9．故答案为：9点评：本题考查双曲线的方程和定义，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题和易错题．16.直线y=a与函数f（x）=x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是

．参考答案：（﹣2，2）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先求出其导函数，利用其导函数求出其极值以及图象的变化，进而画出函数f（x）=x3﹣3x对应的大致图象，平移直线y=a即可得出结论．【解答】解：令f′（x）=3x2﹣3=0，得x=±1，可求得f（x）的极大值为f（﹣1）=2，极小值为f（1）=﹣2，如图所示，当满足﹣2＜a＜2时，恰有三个不同公共点．故答案为：（﹣2，2）17.的展开式中，常数项为（用数字作答）参考答案：672略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由两点式，可得直线l的方程；（Ⅱ）利用圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，确定圆心坐标与半径，即可求圆C的方程．【解答】解：（Ⅰ）由两点式，可得，即x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，∴圆心的纵坐标为3，∴横坐标为﹣2，半径为2∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2=4．19.已知命题p：方程的图象是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；又p∨q为真，￢q为真，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】分别求出命题p，q为真时的m的范围，然后结合复合命题p∨q为真，￢q为真判断出命题p，q的真假即可求解m的范围【解答】解：∵方程是焦点在y轴上的双曲线，∴，即m＞2．故命题p：m＞2；

…（3分）∵方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，∴△=[4（m﹣2）]2﹣4×4×1＜0，即m2﹣4m+3＜0，∴1＜m＜3．故命题q：1＜m＜3．…（6分）∵又p∨q为真，?q为真，∴p真q假．…（8分）即，此时m≥3；…（11分）

综上所述：{m|m≥3}．…（12分）【点评】本题以复合命题的真假关系判断为载体，主要考查了双曲线的简单性质及方程的根的分布问题的应用20.（本小题满分12分）数列的前项和，先计算数列的前4项，后猜想并用数学归纳法证明之．参考答案：解：由，；由，得．由，得．由，得．猜想．

下面用数学归纳法证明猜想正确：（1）时，左边，右边，左边=右边，猜想成立．（2）假设当时，猜想成立，就是，此时．则当时，由，得，．这就是说，当时，等式也成立．由（1）（2）可知，对均成立．略21.（本小题满分14分）如图，四棱锥，平面，且，底面为直角梯形，，，，，分别为的中点，平面与交点为．（Ⅰ）求的长度；（Ⅱ）求截面与底面所成二面角的正弦值；（Ⅲ）求点到平面的距离．参考答案：由题，可以为坐标原点，为正半轴建立空间直角坐标系，则有：、、、、、、．（Ⅰ）设，由于平面，所以存在实数，使得，即．由，得：．于是，． ……………5分（Ⅱ）设平面的法向量，由，得．由题，为平面的法向量．于是，．所以求截面与底面所成二面角的正弦值为．……………10分（Ⅲ）设点到平面的距离为，则． ……………14分几何解法简要思路：（Ⅰ）设的中点为，易证，面，故点满足；（Ⅱ）即求面与面所成的角，即二面角；（Ⅲ）点到平面的距离等于点到平面的距离的倍．22.（16分）已知集合A={x|log5（ax+1）＜1}（a≠0），B={x|2x2﹣3x﹣2＜0}．（1）求集合B；（2）求证：A=B的充要条件为a=2；（3）若命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】集合思想；综合法；简易逻辑．【分析】（1）解不等式求出集合B即可；（2）分别判断充分性和必要性即可；（3）问题转化为A?B，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）2x2﹣3x﹣2＜0，（2x+1）（x﹣2）＜0，所以，所以…（2）证明：充分性：当a