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文档简介
§6.4
高阶线性微分方程
CONTENT目录1高阶线性微分方程概念2二阶常系数齐次线性微分方程
n阶线性微分方程的一般形式为时，当
称式为n阶齐次线性微分方程.时,称式为n阶非齐次线性微分方程.当
一、高阶线性微分方程定理1.如果是齐次线性微分方程的两个解，则也是方程的解，其中为任意常数。为了解决齐次线性微分方程通解问题，我们需要引入一个新的概念，即所谓函数的线性相关和线性无关。定义:是定义在区间
I上的n个函数，则称这n个函数在I上线性相关；否则称为线性无关。
例如，
在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;使得若存在不全为0的常数设说明：对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数，如果比是常数，那么它们就是线性相关；否则线性无关。定理2.如果是微分方程的n个线性无关的特解，则齐次线性微分方程的通解为其中为任意常数。例18.例19.二、二阶常系数齐次线性微分方程形如的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p,q为常数和它的导数只差常数因子,其根称为特征根.因为r为常数时，函数所以令的解为
称为微分方程的特征方程,1.当则微分因此方程的通解为：时,有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:(r为待定常数)代入得2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根所以可以取u=x,则得因此原方程的通解为2.当3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:
利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为小结:特征方程:实根特征根
通解例20.的通解.
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