初中数学九年级下册《反比例函数》教学设计9

PAGEPAGE8《反比例函数》教学设计本章内容是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，让学生进一步理解函数所蕴涵的“变化和对应”思想，体会数形结合、转化、类比、归纳等数学思想方法，并用反比例函数模型解释现实世界中具有反比变化规律的一些现象．新版旧版（实验版）位置九年级下册第26章（位于一次函数与二次函数之后）八年级下册第17章（位于一次函数与二次函数之间）较大差异在讲反比例函数的图象和性质的时候，首先从和入手，先得到k>0时的图象和性质，再推广到k<0的情况，充分的体现了从一般到特殊的研究函数的思路．从和入手，先得到了它们的图象关于x、y轴对称，然后再结合和的图象得到了的图象和性质．在全章小结的回顾和思考部分，编者给出了一段比较详细的复习指导语和思考的问题，再次强调了本章的主要内容和研究的思路方法．4个思考题．一、本章概述1．知识结构框图现实世界中的反比例关系现实世界中的反比例关系反比例函数反比例函数的图象和性质实际应用2．课程学习目标认识反比例函数是描述具有反比变化规律的数学模型．结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．能画出反比例函数的图象，根据图象和解析式探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况．能用反比例函数解决简单的实际问题．3．课时安排本章共安排了2小节以及阅读材料和数学活动，教学时间约需8课时，大体分配如下：（仅供参考）17.1

反比例函数

3课时17.2

实际问题与反比例函数

2课时复习与小结3课时4．教学重点与难点教学重点：反比例函数的概念、图象和性质及反比例函数的应用．教学难点：对反比例函数及其图象性质的理解和掌握，以及反比例函数的应用．5．对教学的几点建议（1）类比正比例函数、一次函数的研究方法，研究反比例函数．（2）强调反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型．（3）加强与物理等学科之间的横向联系．（4）从变量角度进一步加深对函数的认识．（5）合理安排反比例函数的增减性、渐进性和对称性等性质的教学．二、知识详解（一）反比例函数的概念1．引入概念（1）在引进反比例函数概念时，应先复习前面所学的函数概念，及相关的知识为基础，为反比例函数的学习作好铺垫．（2）利用学生已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境，引导学生关注问题中的两个变量的相互关系和变化规律，结合具体实例引导学生用自己的语言说明两个变量之间的关系为什么可以看成是一个函数，并讨论出函数的表达式，形成反比例函数的概念的具体形象．2．掌握概念通过教学使学生掌握反比例函数概念的不同表达形式：（1）（k≠0的常数）（2）（k≠0的常数）（3）（k≠0的常数）注意:自变量的取值范围（从数和形两方面理解），以及在解决有关比例系数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件．（二）反比例函数的图象及性质1．描点画图学生初次遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，因此，在作图象过程中，教师要引领学生从列表、描点、连线．师生互动议论，画出反比例函数图象，在描点时，应注意自变量的取值范围．2．反比例函数的性质（与正比例函数对比）解析式正比例函数y=kx（k≠0）反比例函数（k≠0）自变量的取值范围全体实数x≠0图象直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点图象位置（性质）当k＞0时，图象经过一、三象限；当k＜0时，图象经过二、四象限．当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限．性质⑴当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．⑵越大，图象越靠近y轴．⑴当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大．⑵越大，双曲线越远离原点．AB注意：双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论AB正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．直线和双曲线的位置关系．（4）反比例函数图象的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交．（5）反比例函数的图象是对称图形：反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形；①是轴对称图形，其对称轴为两条直线；②是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）．③在同一坐标系中的图像关于x轴、y轴成轴对称．3．反比例函数中比例系数k的几何意义⑴过双曲线（k≠0）上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为．⑵过双曲线（k≠0）上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为．注意：下列变式图中，哪些可以直接应用结论？（三）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：①待定系数法；②根据实际意义列函数解析式．2．利用反比例函数解决实际问题，关键是数学建模．其实利用反比例函数解决实际问题的过程与利用方程、不等式，以及一次函数解决实际问题的过程没有本质的区别，教学中要关注对问题的分析过程．一般地建立函数模型有两种思路：（1）通过问题提供的信息，知道变量之间有什么函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式，再由已知条件求出表达式中的字母系数即可．（2）从问题本身的条件中不知道变量间是什么函数关系，在这种情况下，和列方程解应用题的思路一样，找出等量关系，把变量联系起来就得到函数表达式．实际问题中的反比例函数，往往自变量的取值受到实际意义的限制，这时对应着的函数图象可能是双曲线的一支或是双曲线的一段，教学中要重视．这点是学生在学习中最易错的，最易忽略的．三、典型例题1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（C）A．y=3xB．C．3xy=1D．2．若y与成反比例，x与成正比例，则y是z的（B）A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定3．平面直角坐标系中有六个点，，，，，，其中有五个点在同一反比例函数图象上，不在这个反比例函数图象上的点是（B）A．点 B．点 C．点 D．点4．已知：y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x＝1时，y＝3；x＝-1时，y＝1．求x＝-时，y的值．解：解：y1与x2成正比例，y2与x成反比例设y1＝k1x2，y2＝，y＝k1x2＋把x＝1，y＝3，x＝-1，y＝1分别代入上式得∴当x＝,y＝2×（）2＋＝2＝5．k=0时，函数是反比例函数．6．如果函数的图象是双曲线，那么k=0．注：此类问题要同时考虑两个条件：①比例系数；②自变量的指数．7．若函数是反比例函数，且它的图象在第二、四象限内，则k=-2．8．若函数是反比例函数，且在每一象限内y随x的增大而减小，则k=1．9．已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第二、四象限．10．已知反比例函数，当时，随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（B）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限11．已知a·b0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（C）A．第一象限B