重组卷2(理科)-冲刺2023年高考数学真题重组(解析版)

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冲刺2023年高考数学真题重组卷02

课标全国卷地区专用（解析版）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效•

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（2022•全国•统考高考真题）若z=-l+V^i,则一一=（）

ZZ-1

A.-1+V3iB.-1-V3iC.-i+―iD.-i--i

3333

【答案】c

【分析】由共扰复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】z=-1-V3i,zz=（-1+V3i）（-1-V3i）=1+3=4.

z-1+V3i1V3.

--------=-------------=-------1-----i

zz-1333

故选：C

2.（2021•全国•统考高考真题）已知集合S={s|s=2n+l,n€Z},7={t|t=4n+l,n€Z},

则SnT=（）

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【分析】分析可得7£S,由此可得出结论.

【详解】任取则t=4n+l=2・（2n）+l,其中n€Z,所以，t€S,故7US,

因此，SdT=T.

故选：C.

3.（2020•全国•统考高考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为

一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，

则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）

得1居-1■+1回

A.B.C.D.1

4242

【答案】C

【分析】设CD=a,PE=b,利用P02=lfD-PE得到关于a,b的方程，解方程即可得到答

案.

【详解】如图，设CO=a,PE=b,则P。=VPE2-3=Jb2-f,

由题意尸。2=24,即炉一贮=工时，化简得46)2一2/一1=0,

242aa

解得2=竽(负值舍去).

a4

故选：C.

【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容

易题.

4.(2022•全国•统考高考真题)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互

质的概率为()

A.11B.-1C.-2D.-

6323

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C羊=21种不同的取法，

若两数不互质,不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种，

故所求概率P=等=|・

故选：D.

03

5.(2021・天津•统考高考真题)=log20.3,6=logi0.4,c=O.4,则a,h,c的大小关

2

系为()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出Q,b,c的范围即可求解.

【详解】log20.3<log2l=0,Aa<0,

vlogi0.4=—log20.4=log2->log22=1,・,・b>1,

22

•・・0<O.403<0.4°=1,A0<c<l,

­­a<c<b,

故选：D.

+

6.(2020.全国,统考高考真题)数列｛%｝中，QI=2,对任意rnfneNfam+n=aman,若

%+i+以+2+…+/+10=215-2‘，贝ijk=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】取m=l,可得出数列｛Qn｝是等比数列，求得数列｛aj的通项公式，利用等比数列

求和公式可得出关于k的等式，由攵6N*可求得々的值.

【详解】在等式Qm+n=%1an中，令血=1，可得Q+i=aal=2册，工&扫=2,

n71an

所以，数列｛斯｝是以2为首项，以2为公比的等比数列，则册=2'2-1=2%

fc+110

以+i+纵+2+…+ak+10=Y3。)=竺詈*=2(2-1)=25(21°-1),

2fc+1=25,则k+1=5,解得k=4.

故选：C.

【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考

查计算能力，属于中等题.

7.(2020•全国•统考高考真题)已知向量a,筋瑞足同=5,\b\=6,d-b=-6,则cos<

a,a+b>=()

A.--B.--C.-D.—

35353535

【答案】D

【分析】计算出小(/+力、忻+力的值，利用平面向量数量积可计算出cos<24+3>的

值.

【详解】\a\=5»\b\=6,ab=—6,­-d•(a+b)=\a\2+a&=52—6=19.

|a+b|=(a+b)2=y/a2+2a-b+b2=V25-2X6+36=7,

因此，cos<a,a+b>==^=5

|a|*|a+b|5x735

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向

量模的计算，考查计算能力，属于中等题.

8.(2022•全国•统考高考真题)设厂为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0),

若［4F|=\BF\,则=()

A.2B.2V2C.3D.3A/2

【答案】B

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点4的横坐标，进而求得点

4坐标，即可得到答案.

【详解】由题意得,F(l,0),则|4尸|=\BF\=2,

即点4到准线x=-1的距离为2,所以点4的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代入得，4(1,2),

所以|4B|二J(3-+(0—2)2=2V2.

故选：B

9.(2022.全国.统考高考真题)记函数f(x)=sin(3x+?)+b(3>0)的最小正周期为T.若

与<7<兀,且y=f(x)的图象关于点《,2)中心对称，则/©)=()

A.1B.-C.-D.3

22

【答案】A

【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.

【详解】由函数的最小正周期T满足勺<7<兀，得学〈生<兀，解得2<3<3,

又因为函数图象关于点(手,2)对称，所以手川+昔"水―，且b=2,

所以3=—：+所以3=f(x)=sin+；)+2,

所以f(9=sinO+9+2=L

故选：A

10.(2020•全国•统考高考真题)已知4B,C为球。的球面上的三个点，(DO1为AABC的外接

圆，若。01的面积为4n,AB=BC=AC=00r,则球。的表面积为()

A.64nB.48nC.367rD.32n

【答案】A

【分析】由已知可得等边△ABC的外接圆半径，进而求出其边长，得出0。1的值，根据球的

截面性质，求出球的半径，即可得出结论.

【详解】设圆。1半径为r,球的半径为R,依题意，

得兀产=4兀,...r—2,•.△ABC为等边三角形，

由正弦定理可得4B=2rsin60°=2疗，

•••。。1=AB=2V3,根据球的截面性质。。1_L平面4BC,

0011。送,R=0A=(00、2+。遇2=Joo12+产=4,

・••球。的表面积S=4"R2=647T.

故选：A

【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于

基础题.

11.(2021.全国.统考高考真题)设aH0,若％=<1为函数/'(X)=a(x-a)2(x-b)的极大值

点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【分析】先考虑函数的零点情况,注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，

对"进行分类讨论，画出/(')图象，即可得到a,b所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若Q=b,则/(%)=Q(X-Q)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故QHb.

・•./(%)有x=a和％=8两个不同零点，且在％=Q左右附近是不变号，在％=b左右附近是变

号的.依题意，*为函数/(灯=。(》”「(一勾的极大值点，:在x=a左右附近都是

小于零的.

当QV0时，由％,b,/(%)<0,画出f(x)的图象如下图所示:

由图可知b<a,a<0,故ab>a?.

当a>0时，由x>b时，/(x)>0,画出/'(x)的图象如下图所示:

由图可知b>a,a>0,故ab>a?.

综上所述，ab>a2成立.

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解

答.

12.(2021・天津・统考高考真题)设aGR,函数/(x)=[2‘屋。

U-2(a+l)x+a"+5,x>a

若/(%)在区间(0,+8)内恰有6个零点，则〃的取值范围是()

A•(词/罚B.(”)U(|，9

C'(2,3M*3)D.©2)小3)

【答案】A

【分析】由％2-2(a+l)x+M+5=0最多有2个根，可得COS(2TT%-2nd)=0至少有4

个根，分别讨论当》<Q和mNQ时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.

【详解】•・,x2-2(Q+l)x+Q2+5=0最多有2个根，所以COS(2TTX—2nd)=0至少有4个

根，

由27rx-2na=-4-kn,kGZ可得％=-+-+a,kGZ,

224

由0<：+；+a<a可得-2a一条

(1)x<a时，当一54-2a—g<—4时，/(x)有4个零点，B[J^<a<|；

当—6S—2a—：<—5,f(x)有5个零点，即*<aV*

当一74-2a-1<—6,/(x)有6个零点,即甘<aW最

(2)当xAa时，/(x)=x2-2(a+l)x+a2+5,

A=4(a+l)2-4(a2+5)=8(a-2),

当a<2时，A<0,f(x)无零点;

当a=2时，Z1=0,f(x)有1个零点；

当a>2时，令/(a)=a2-2a(a+1)+a2+5=-2a+5>0,则2<a<|,此时/(x)有2

个零点；

所以若a>|时，/(x)有1个零点.

综上，要使/'(x)在区间(0,+8)内恰有6个零点，则应满足

(-<a<--<a<—fii<13

4:或]44§或1<Q«7，

[2<a<-a=2或Q>：Ia<2

I2I2

则可解得a的取值范围是卜弓U(I，子

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成久<a和x>a两种情况分别讨论两个函数的零点

个数情况.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2021•天津•统考高考真题)在(2/+£)6的展开式中，”的系数是.

【答案】160

【分析】求出二项式的展开式通项，令工的指数为6即可求出.

【详解】9/+以的展开式的通项为

67…]=Cr(2%3)6-r,=26-rcr.-8-4r,

令18-4r=6,解得r=3,

所以”的系数是23琮=160.

故答案为：160.

2%+y—2<0,

14.(2020•全国•统考高考真题)若x,y满足约束条件％-y-1之0,则zr+7y的最大值

y+1>0,

为.

【答案】1

【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.

【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

其中Z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

联立直线方程：可得点A的坐标为：71(1,0),

据此可知目标函数的最大值为：zmax=14-7x0=1.

故答案为：1.

【点睛】求线性目标函数z=ax+by(ab知)的最值，当b>0时，直线过可行域且在y轴上截

距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当bVO时，直线过可行域且在y轴上

截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

15.(2022•全国•统考高考真题)若曲线y=Q+a)e*有两条过坐标原点的切线，则a的取值

范围是.

【答案】(-8,-4)U(0,+8)

【分析】设出切点横坐标Xo,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关

于狗的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.

【详解】'"y=(x+a)ex,.".y'=(x+1+a)ex,

x

设切点为(&,%),则以=(x0+a)e*。,切线斜率k=(x0+1+a)e°,

xx

切线方程为:y-(x0+a)e°=(x0+1+a)e°(x—x0),

xx

•切线过原点，二-(&+d)e°=(x0+1+a)e°(-x0),

整理得：XQ+ax0-a=0,

•切线有两条，=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,

，£1的取值范围是(一8,-4)U(0,+8),

故答案为：(-oo,-4)u(0,+oo)

16.(2021•天津•统考高考真题)若a>0,b>0,则工+^+b的最小值为____________

ab2

【答案】2V2

【分析】两次利用基本不等式即可求出.

【详解】•••a>0,b>0,

■--+^+b>2+b=1+b>2口=2vL

ab2yjab2by/b

当且仅当3=9且：=b,即a=b=VI时等号成立，

abzb

所以上+9+b的最小值为2JI

ab2

故答案为：2夜.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.(2022•全国•统考高考真题)记又为数列｛册｝的前"项和.已知等+n=20n+1.

(1)证明：｛斯｝是等差数列；

(2)若。4，<17,成等比数列，求Si的最小值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)-78.

n

【分析】⑴依题意可得2Sn+/=2nan+n,根据与=L3=：>„,作差即可得到

2几»n-l，几式乙

an-Qn_i=1,从而得证；

(2)法-：由(1)及等比中项的性质求出与,即可得到｛册｝的通项公式与前n项和，再根

据二次函数的性质计算可得.

2

【详解】(1)因为牛+九=2an+1,即2Sn4-n=2nan+九①，

2

当n>2时>2Sn_i+(九-I)=2(n-l)an_i+(九一1)②，

22

①一②得，2Sn+n-2Sn_j—(H—I)—271aH+九—2(n—l)an_i—(九—1),

即2即+2几-1=2nan-2(n—l)0n_i+1,

即2(九—l)an—2(n—l)Qn_i=2(n—1),所以册—Qn_〔=1,n>2且nGN*,

所以｛an｝是以1为公差的等差数列.

(2)［方法一］:二次函数的性质

由(1)可f导Q4=+3,(Z7=+6,(Z9—-Q］+8,

又。4，a7>。9成等比数列，所以。72=«4,a9)

即Q+6)2=Q+3)•(%+8),解得即=—12,

所以为="_13,所以的=_12n+n(：T)=［小一等，

所以，当n=12或n=13时，(Sn)min=-78.

［方法二］:【最优解】邻项变号法

由(1)可得&4=。1+3,a7=«1+6,。9=%+8,

2

又。4，。7，。9成等比数列，所以=O4-a9,

即(％+6)2=+3)•(a1+8),解得％=—12.

所以即=n-13,即有的<a2<…<a12<0,a13=0.

则当n=12或n=13时，(Sn)min=-78.

【整体点评】(2)法一：根据二次函数的性质求出土的最小值，适用于可以求出土的表达式;

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解.

18.(2021.全国.统考高考真题)如图，四棱锥P—ABC。的底面是矩形，P。！底面ABC。，

PD=DC=1,M为BC的中点，且PBJLAM.

(2)求二面角4-PM-B的正弦值.

【答案】(1)V2；(2)—

14

【分析】(1)以点。为坐标原点，DA.DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐

标系，设8C=2a,由已知条件得出丽•宿=0,求出a的值，即可得出BC的长；

(2)求出平面P4M、PBM的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得

结果.

【详解】(1)［方法一］：空间坐标系+空间向量法

：PDJ■平面4BCD,四边形ABCD为矩形，不妨以点。为坐标原点，DA.DC、CP所在直线

分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz,

设BC=2a,则。(0,0,0)、P(0,0,l)、B(2a,1,0),M(a,1,0)、X(2a,0,0),

则丽=(2a,1,-1),AM=(-a,1,0),

•••PBLAM,则丽•宿=-2a2+l=0,解得a=弓，故8C=2a=&；

［方法二］【最优解】：几何法+相似三角形法

如图，连结80.因为PDJ_底面ABC。，且AMu底面ABCO,所以PD_L4M.

又因为PB1AM,PBnPD=P,所以AM_L平面PBD.

又BDu平面PBD,所以4M1BD.

从而乙ADB+乙DAM=90°.

因为ZMAB+乙DAM=90°,所以4MAB=Z.ADB.

所以△408BAM,于是丝=%.

所以.2=1所以BC=V1

［方法三］:几何法+三角形面积法

如图，联结BD交4M于点N.

由［方法二］知4M1DB.

在矩形ABC。中，有ADAN*BMN,所以丝=丝=2,即

MNBM3

令BC=2t(t>0),因为M为BC的中点，则BM=3DB=V4t2+1,AM=

由SAD.=3。4dB=|。8dN,得t=、4t2+iqVF^TI,解得=g所以BC=2t=

V2.

(2)［方法一］【最优解】：空间坐标系+空间向量法

设平面PAM的法向量为沅=3，yi，zJ,则德=(-7,1,0),AP=(-V2,0,l),

f-.⑰

,m-AM=--2-%i+Vi=0血r--/日一/k4c、

由—_b,取％i=可得m=(鱼,1,2),

m-AP=—y/2xr+=0

设平面PBM的法向量为元=3,、2*2)，丽=(一¥，0,0)，~BP=(-V2,-l,l)，

=

n-BM=——x20卸y—rzn-/八一、

_2,取力=1，可得"=(O,L1)，

ri-BP=—V2X.y2+Z2=0

I2

/一一,inn33V14

所以，sin(rn,n)=^/l—cos2(m,n)=鬻，

因此，二面角4一PM-B的正弦值为运.

14

［方法二］:构造长方体法+等体积法

如图,构造长方体A8CD-418传也,联结4当,&B,交点记为H,由于1ArB,ABX1BC,

所以AH1平面4BCD1.过H作AM的垂线，垂足记为G.

联结4G,由三垂线定理可知AGIDiM,

故乙4GH为二面角A-PM-B的平面角.

易证四边形&BCD］是边长为四的正方形，联结5”,HM.

SAO/M='HG>SAD、HM=S正方形ABCDI-SA以41H—^AHBM~SAMCDJ

由等积法解得HG=粤.

10

在Rt△力HG中，AH=与,HG=噜,由勾股定理求得4G=等.

所以，sin/4GH="=返，即二面角4-PM—B的正弦值为回.

AG1414

【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的

判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明

的基础上，利用三角形等面积方法求得.

（2）方法-，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清

晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注

意进行严格的论证.

19.（2022.全国.统考高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为

估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积

（单位：m2）和材积量（单位：m3）,得到如下数据：

样本号i12345678910总和

根部横截面积七0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量外0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

并计算得=0.038,2：；］*=1.6158,£巴々M=0.2474.

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总

和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这

种树木的总材积量的估计值.

附：相关系数r=吐15——),1.896x1.377.

炉2乙5一9产

【答案】⑴0.06m2；0.39m3

(2)0.97

(3)1209m3

【分析】(1)计算出样本的•棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林

区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；

(3)依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的

总材积量的估计值.

【详解】(I)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值元=箸=0.06

样本中10棵这种树木的材积量的平均值9=詈=0.39

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.060?,

平均一棵的材积量为0.391/

(2)r_消W'i一夕)=EMXjyj-lQxy

脚(阳一君2工因刃2不2To产)(E-%2_1()歹)

0.2474-10x0.06x0.390.01340.0134

097

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392)-V0.00018960.01377

则r*0.97

(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Ym3,

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

可得鬻=手，解之得Y=1209m3.

则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3

20.(2022•全国•统考高考真题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点。(p,0),过尸

的直线交C于例，N两点.当直线MO垂直于x轴时，|MF|=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线MD,NO与C的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为a,/?.当

a-0取得最大值时，求直线AB的方程.

【答案】⑴y2=4x；

（2MB:x=yj2y+4.

【分析】（1）由抛物线的定义可得|MF|=p+］即可得解：

（2）法一：设点的坐标及直线MN:x=my+l,由韦达定理及斜率公式可得k“N=2心B，

再由差角的正切公式及基本不等式可得心B=当，设直线4&》=或丫+几，结合韦达定理可

解.

【详解】（1）抛物线的准线为x=-|,当MC与x轴垂直时，点M的横坐标为p,

此时|MF|=p+1=3,所以p=2,

所以抛物线C的方程为y2=4x；

（2）［方法1：【最优解】直线方程横截式

设M件,yJ,N信”）,4（4,、3），8停,yj，直线MN:x=my+1,

x=my+1—/口

_可得y2o-4my-4=0,△>0,yy=-4,

{y2—4%r2

由斜率公式可得〜=招=就？唠=言=就；，

4444

直线MD:x=要•y+2,代入抛物线方程可得y2-喙0-y-8=0,

△>。，为丫3=-8,所以丫3=2丫2，同理可得、4=2丫1，

4=-MN

8=

所以以2(yi+y)-2

，3十九z

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为a,0,所以心B=tan/?=竽=等,

若要使a—0最大，则0e(0,5，设k“N=2k=2/c>0,则tan(a—/?)=::;二黑=

AB

k1,1\［2

1+2R炉2k一义府4

当且仅当?=2k即k=4时，等号成立，

所以当a-3最大时，kAB=y,设直线AB:x=奁）/+n,

代入抛物线方程可得y2-4V2y-4n=0,

△>°，y3y4=-4n=4yly2=-16,所以n=4,

所以直线AB:x=V2y+4.

［方法二］:直线方程点斜式

由题可知，直线MN的斜率存在.

设网（％1，、1）,可（％2，、2），4（%3，乃），804，）/4），直线用/7：丫=k（x-1）

由得：-（21+4）x+1=o,与亚=1,同理，%，2=-4.

直线MD:y=含5—2）,代入抛物线方程可得：X1x3=4,同理，x2x4=4.

代入抛物线方程可得:y03=-&所以丫3=2y2，同理可得丫4=2为，

由斜率公式可得：也=悬=凝=寻=沏'.

（下同方法一）若要使a-夕最大，则口€（0（），

设1（MN=2k4B=2/c>0,则tan（a-£）=四。二6叱=-r=r-W—f===—,

MNAK八，\〃i+tanatan0l+2k2器+2k2l--2k4

当且仅当q=2k即k=9时，等号成立，

所以当a-0最大时，kAB=y,设直线AB:x=+n,

代入抛物线方程可得y2—4&y—4n=0,A>0,y3y4=-4n=4yly2=—16,所以n=4,

所以直线AB:x=VIy+4.

［方法三］:三点共线

设M信％）,N信、2），4停,力）8件yj，

设P（t,0）,若P、M、N三点共线，由丽=（苧一t,yj,~PN=（y-t,y2）

所以（3_t）_t）乃，化简得y，2=-4t,

反之，若y/2=-4t,可得MN过定点（。0）

因此，由M、N、F三点共线，得力丫2=-4，

由M、D、A三点共线，得%丫3=-8，

由N、D、B三点共线，得y2y4=-8，

则y3y4=4yly2=-16，AB过定点（4,0）

（下同方法一）若要使a一夕最大，则夕€（0卷），

设KMN=2/CAB=2fc>0,则tan（a一夕）=可映士咚=-<—?===3，

MNAB」\-1+tanatan/?l+2k2汪2k2（^2k4

当且仅无=2k即仁当时，等号成立，

所以当a-夕最大时，kAB=y,所以直线AB:x=衣）/+4.

【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线MN,4B

的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该

题的最优解，也是通性通法；

法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一：

法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线4B过定点，省去联立过程，也

不失为一种简化运算的好方法.

21.(2021.全国.统考高考真题)已知a>0且"1,函数f(x)=氏(尤>0).

(1)当a=2时，求/■(>)的单调区间；

(2)若曲线y=/(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.

【答案】⑴(0,哥上单调递增；信,+8)上单调递减；(2)(l,e)u(e,+oo).

【分析】(1)求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的

单调性；

(2)方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交

点等价转化为方程?=?有两个不同的实数根，即曲线y=g(x)与直线y=等有两个交点，

利用导函数研究g(x)的单调性，并结合g(x)的正负，零点和极限值分析g(x)的图象，进而

得到0〈等<%发现这正好是0<g(a)<g(e),然后根据g(x)的图象和单调性得到a的取

值范围.

【详解】(1)当。=2时，/(X)=、，/(x)==X2*(j：ln2),

令r(x)=0得x=备当。<X<专时，f'(x)>0,当X>意时，/'(%)<0,

函数/(x)在(0,同上单调递增；岛+8)上单调递减；

(2)［方法一］【最优解】：分离参数

/(X)=^=l<=>ax=xa<=>xlna=alnx=等=号，设函数g(x)=笥，

则g'(x)=令g'(x)=0,得％=e,

在(0,e)内g'(x)>0,g(x)单调递增；

在(e,+8)上g，(x)<0,g(x)单调递减；

•••gMmax=g(e)=I，

又g(l)=0,当x趋近于+8时，g(x)趋近于0,

所以曲线y=/(x)与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线y=詈有两个交

点的充分必要条件是0<等<这即是0<g(a)<g(e),

所以a的取值范围是(l,e)U(e,+8).

［方法二］:构造差函数

由y=/(%)与直线y=1有且仅有两个交点知/(%)=1,即/=Q#在区间(0,+8)内有两个解,

取对数得方程alnx=xlna在区间(0,+8)内有两个解.

构造函数g(x)=alnx—x\na,xG(0,4-oo),求导数得g'(%)=^—Ina=

当0<a<1时，Ina<0,xE(0,4-oo),a-xlna>00(%)>0,g(x)在区间(0,+8)内单调递

增，所以，g(x)在(0,+8)内最多只有一个零点，不符合题意；

当a>l时，lna>0,令g'(x)=0得％=全，当46(0,荒)时，g'(x)>0；当％6(言,+8)

时，g'(x)<0；所以，函数g(x)的递增区间为(0,常递减区间为(荒,+8).

由于0<e-a<1<高,g卜=-1—e-alna<0,

当XT+8时，有alnx<xlna,即g(x)<0,由函数g(x)=alnx-xlna在(0,+8)内有两个

零点知=a(ln^-1)>0,所以］^>e，即a-elna>0.

构造函数九(a)=a—elna,则九'(a)=1—：=詈，所以九(a)的递减区间为(l,e),递增区间

为(e,+8),所以/i(a)>h(e)=0,当且仅当a=e时取等号，故/i(a)>0的解为a>1且a丰e.

所以，实数a的取值范围为(l,e)U(e,+8).

［方法三］分离法：一曲一直

曲线y=/(乃与、=1有且仅有两个交点等价为盘=1在区间(0,+8)内有两个不相同的解.

因为X。=ax,所以两边取对数得alnx=xlna,即Inx=弓吧，问题等价为g(x)=Inx与p(x)=

皿有且仅有两个交点.

a

①当Ovavl时，等v0,p(%)与g(%)只有一个交点，不符合题意.

②当a>1时，取g(x)=In%上一点(&』n&),g'(X)=-=工在点(出,ln%o)的切

xXQ

x

线方程为y-lnx0=—(%-x0)»即y=--1+lnx0-

XQXQ

Ina_J_<lna_1

当y=2％-1+ln%0与p(x)=三吧为同一直线时有a%o'得|~^"一J

x°a(ln&-1=0,—e-

直线p(x)=等的斜率满足：0〈詈。时，g(%)=lnx与2(%)=等有且仅有两个交点.

记九(a)=等，八'(。)=与詈，令"(a)=0,有。=«.aW(a)>0,九(a)在区间(l,e)内

单调递增；Q€(e,+8),〃(a)vO,h(a)在区间®+8)内单调递减；Q=e时，九(a)最大值为

g(e)=%所当a>1且aHe时有0<等V1

综上所述，实数a的取值范围为(l,e)U(e,+8).

［方法四］:直接法

a1xxQa1

/(%)=3%>0)/(%)=ax~a-a\nax_x(a-x\na)

(返)2

因为工>0,由((x)=o得％=白.

当0<a<l时，f(x)在区间(0,+8)内单调递减，不满足题意;

当a>l时，湛>0,由/''(X)>0得0<x<需,/(x)在区间(0,言)内单调递增，由r(x)<0

得x>己,f(x)在区间层,+8)内单调递减.

因为期衰。)=。，且勰/(为=°，所以/(马>1，即喈=襦>1，鼠。』

(lna)a,a1-Ina>Ina,两边取对数，得(1—高)Ina>In(lna),即Ina—1>In(lna).

令Ina=3则t—1>Int,令h(x)=Inx—x+1,则/i'(x)=：—1,所以h(x)在区间(0,1)内

单调递增，在区间(1,+8)内单调递减，所以</i(l)=0,所以t-12Int,则t-1>Int

的解为t¥l，所以Ina#1,即aWe.

故实数a的范围为(l,e)U(e,+8).］

【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取

值范围问题，属较难试题，

方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，

图象，利用数形结合思想求解.

方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.

方法三：将问题取对，分成g(x)