安徽省阜阳市颍东区衡水实验中学2020-2021学年高二上学期第四次调研考试数学（文）试题

衡水实验中学2020—2021学年高二年级第一学期第四次调研考试文数试卷考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.已知双曲线：，则其焦点坐标为（）A. B. C. D.3.一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参加方队进行军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（）A.9人、7人 B.15人、1人 C.8人、8人 D.12人、4人4.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. B. C. D.25.已知：或，：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A. B.C. D.6.若直线是曲线的一条切线，则实数的值是（）A. B.0 C.1 D.27.若圆的半径为5，圆心在轴的负半轴上，且被直线截得的弦长为6，则圆的方程为（）A. B.C. D.8.已知双曲线与抛物线有共同的焦点，且点到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.9.已知圆：，圆：，、分别是圆和圆上的动点，则的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.810.如图，点是抛物线：的焦点，点、分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是（）A. B. C. D.11.已知曲线在处的切线为，曲线在处的切线为，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，实轴的两个端点分别为、，虚轴的两个端点分别为、.以坐标原点为圆心，为直径的圆与双曲线交于点（位于第二象限），若过点作圆的切线恰过左焦点，则双曲线的离心率是（）A. B.2 C. D.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若命题“，”为假命题，则实数的最小值为.14.已知函数的导函数为，且满足，则.15.在区间上任取一个实数，使得方程表示双曲线的概率为.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交直线于，若在以线段为直径的圆上，则椭圆的离心率为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知集合，集合，.（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.18.（本小题满分12分）已知圆：外有一点，过点作直线.（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；（2）当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长.19.（本小题满分12分）已知直线与抛物线：相交于，两点，且（为坐标原点）是等腰直角三角形..（1）求抛物线的方程；（2）若直线过定点，斜率为，当为何值时，直线与抛物线只有一个公共点？20.（本小题满分12分）从某校高二年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩（分）分成六段（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中实数的值；（2）若该校高二年级共有学生600名，试根据以上数据，估计该校高二年级数学检测成绩不低于80分的人数.21.（本小题满分12分）已知离心率为的椭圆：的短轴的两个端点分别为、，为椭圆上异于、的动点，且的面积最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）射线与椭圆交于点，过点作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点和点，求证：直线的斜率为定值.22.（本小题满分12分）设函数.（1）当，时，恒成立，求的取值范围；（2）若在处的切线为，求、的值；并证明：当时，.参考答案及解析月考卷一、选择题1.A【解析】由直线，得，设直线的倾斜角为，所以，所以.故选A.2.B【解析】∵，∴，，∴，∴.由题得，双曲线的焦点在轴上，因此焦点坐标为.故选B.3.A【解析】利用分层抽样的方法，得一班应抽出人，二班应抽出人，则一班与二班分别被抽取的人数是9，7.故选A.4.D【解析】由题得，，；，；，；，；，，可以发现此程序周期为4，故，，，此时输出.故选D.5.D【解析】设表示的集合为，表示的集合为，由是的充分不必要条件，可得是的真子集，利用数轴作图如下：所以.故选D.6.C【解析】∵，∴，设切点为，则过点的切线方程为，整理得，∵直线是曲线的一条切线，∴，，∴.故选C.7.B【解析】设圆心为，圆的半径为5，弦长为6，∴圆心到直线的距离为.又圆心到直线的距离为，∴，解得，∴圆的方程为，即.故选B.8.A【解析】由抛物线的焦点坐标为，可得双曲线的焦点坐标为.又为，故，，∴双曲线的一条渐近线方程为.由点到双曲线渐近线的距离等于1，得，即，①又，即，②联立①②，解得，，∴双曲线的方程为.故选A.9.D【解析】两圆上两点间最大距离是圆心距加上两圆的半径之和，两圆圆心是，，两圆半径分别是，，所以的最大值为.故选D.10.B【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，圆的圆心为，与抛物线的焦点重合，且半径，∴，，，∴的周长.∵，∴的周长的取值范围是.故选B.11.B【解析】令，，则，，所以，，因为，故，所以.因为，故.又，令，，则，当时，为减函数，故，所以在上恒成立，故在上为减函数，所以，又当时，，所以即的取值范围为.故选B.12.A【解析】由题意作出草图，如下：∵与圆切于，∴，且，，故.由双曲线的定义知.在中，，在中，由余弦定理，得，即，故离心率.故选A.二、填空题13.2【解析】已知命题为假命题，等价于，恒成立，所以对，恒成立，故，所以实数的最小值为2.14.【解析】对函数进行求导，得.把代入得，，解得.15.【解析】若方程表示双曲线，则满足，解得，则所求的概率.16.【解析】设直线的方程为，联立，解得即点的坐标为.因为在以线段为直径的圆上，所以，有，则，解得，则椭圆的离心率为.三、解答题17.解：（1）若“”是真命题，则，解得，即实数的取值范围为.（2）由题得，，若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，即即得，即实数的取值范围是.18.解：（1）由题意可得，直线与圆相切.当斜率不存在时，直线的方程为，满足题意.当斜率存在时，设直线的方程为，即，∴，解得，∴直线的方程为，∴直线的方程为或.（2）当直线的倾斜角为时，则直线的方程为.圆心到直线的距离为，∴弦长为.19.解：（1）由直线与抛物线：相交于，两点，可设，，又是等腰直角三角形，可得，则，解得，即抛物线的方程为.（2）直线过定点，斜率为，可设直线的方程为，当直线平行于抛物线的对称轴轴时，可得直线与抛物线只有一个公共点，即；当直线与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点，由可得，，由，解得或，综上可得，或或，直线与抛物线只有一个公共点.20.解：（1）因为图中所有小矩形的面积之和等于1，所以，解得.（2）根据频率分布直方图，得成绩不低于80分的频率为.由于该校高二年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高二年级数学检测成绩不低于80分的人数为.21，解：（1）椭圆的离心率为，可得，由题意可得，的面积的最大值为，可得，，因此，椭圆的方程为.（2）联立解得所以点的坐标为.设点，，设直线的方程为，即，联立消去并整理得，由韦