2022年河南省商丘市博文中学高二数学理联考试题含解析

2022年河南省商丘市博文中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14参考答案：B【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．2.是方程表示椭圆或双曲线的

（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件

D．不充分不必要条件参考答案：B略3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B4.设P为椭圆上一点，F1、F2为焦点，如果，，则椭圆的离心率为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D5.已知直线与曲线相切，则的值为（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：C略6.若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（

）··

A．相交

B．异面

C．平行

D．异面或相交参考答案：D7.如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+，则=（）月份x1234用水量y4.5432.5A．10.5 B．5.15 C．5.25 D．5.2参考答案：C【考点】线性回归方程．【分析】计算样本中心，代入回归方程得出．【解答】解：=，=3.5．∴3.5=﹣0.7×2.5+，解得=5.25．故选C．【点评】本题考查了线性回归方程经过样本中心的性质，属于基础题．8.从字母a、b、c、d、e中任取两个不同的字母，则取到字母a的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】集合思想；综合法；概率与统计．【分析】由题意列举出总的基本事件数，从中找出含字母a的数目，由古典概型概率公式可得．【解答】解：从字母a、b、c、d、e中任取两个不同的字母有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10种取法，其中取到字母a的有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e）共4种取法，∴所求概率P==故选：B．【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属基础题．9.对于任意实数a、b、c、d，命题①；②③；④；⑤．其中真命题的个数是(

)

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A略10.在等差数列{an}中，若，则的值为（

）A.24 B.36 C.48 D.60参考答案：C【分析】先设等差数列的公差为，根据题中条件求出，进而可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，因为，由等差数列的性质得，所以.故选C【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的通项公式与性质即可，属于基础题型.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若A={1,4,x},B={1,x2}且A∩B=B，则x=____________.参考答案：0，2或-212.在△ABC中，若||=1，||=，|+|=||，=

．参考答案：1考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用|+|=||=|﹣|可知∠A=90°，进而计算可得结论．解答： 解：∵|+|=||，∴+2?+===﹣2?+，∴?=0，即∠A=90°，又∵||=1，||=，∴==2，∴cos∠B==，∴==2||=1，故答案为：1．点评：本题考查平面向量数量积的运算，找出∠A=90°是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．13.圆关于直线对称，则ab的取值范围是______________

参考答案：（-∞，1/4]略14.如图1，圆O上的一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的直径为

．

参考答案：10略15.已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上，则实数m的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，5）考点： 函数恒成立问题．专题： 函数的性质及应用．分析： 函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．解答： 解：f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5，∴m的取值范围是（﹣∞，5）．故答案为：（﹣∞，5）．点评： 本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，是中档题．16.命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为

．参考答案：17.已知函数为奇函数,且当时,,则

▲

．参考答案：-2.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数，且椭圆与y轴的一个交点坐标为（0，）．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若直线y=（x﹣m）交椭圆与A，B两点，椭圆上一点C（，1），求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，求得a，b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线的离心率为，由题意可得椭圆的离心率e==，由b=，b2=a2﹣c2，得a=2，c=，故椭圆M的方程为+=1；（Ⅱ）联立方程，得2x2﹣2mx+m2﹣4=0，由△=4m2﹣8（m2﹣4）＞0，得﹣2＜m＜2．且x1+x2=m，x1x2=，所以|AB|=?=?=?．又C到直线AB的距离为d==，所以S△ABC=|AB|d=≤?=，当且仅当m=±2∈（﹣2，2）时取等号，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．19.（本题满分16分）已知函数f(x)=lnx（1）设h(x)为偶函数，当x＜0时，h(x)=f(﹣x)+2x，求曲线y=h(x)在点(1，﹣2)处的切线方程；（2）设g(x)=f(x)﹣mx，求函数g(x)的极值；（3）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求实数k的取值范围.

参考答案：（1）当时，=.令，又为偶函数，所以，

…………2分当时，，

由点斜式方程得切线方程为.

………………4分（2）由已知.

所以，当所以上单调递增，无极值.

………………7分若，则当，当，所以，当时，,无极小值.………10分（3）由已知，令,当时恒成立.,,即，不合题意.……13分解得，.当从而当即，综上述，k的取值范围是(－∞，1).

………………16分20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P在第一象限，且?≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆经过点M（1，），|F1F2|=2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设P（x，y），则=（3x2﹣8），由此能求出点P的横坐标的取值范围．（Ⅲ）设直线l的方程为y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）∵c=，F1（﹣，0），F2（），设P（x，y），则=（﹣）?（）=x2+y2﹣3，∵，∴=x2+y2﹣3==（3x2﹣8），解得﹣，∵点P在第一象限，∴x＞0，∴0＜x＜，∴点P的横坐标的取值范围是（0，]．（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，直线l即为y轴，A、B、O三点共线，不符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由△=（16k）2﹣48（1+4k2）＞0，解得，，，∵∠AOB=90°，∴=0，∵=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）==0，解得k2=4，满足k2＞，解得k=2或k=﹣2，∴直线l的斜率k的值为﹣2或2．21.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）证明：平面BDE⊥平面PBC．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO，易证EO为△PAC的中位线，从而OE∥PA，再利用线面平行的判断定理即可证得PA∥平面BDE；（2）依题意，易证DE⊥底面PBC，再利用面面垂直的判断定理即可证得平面BDE⊥平面PBC．【解答】证明：（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO．∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点，又E为PC的中点，∴OE∥PA，∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE．…（2）∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．又由