2024年大学试题(理学)-数值分析笔试历年真题荟萃含答案

2024年大学试题(理学)-数值分析笔试历年真题荟萃含答案（图片大小可自由调整）第1卷一.参考题库(共30题)1.设方程组 （a）考察用雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性； （b）用雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法解此方程组，要求当时迭代终止。2.用改进的尤拉方法解初值问题 取步长h=0.1计算，并与准确解y=-x-z+2ex相比较。3.设x=（11，0，5，1）T，则=（），=（），=（）。4.用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为0.5×10-5。5.已知x=[0，-1，2]T，求∥x∥∞，∥x∥1，∥x∥2.6.用SOR方法解方程组（分别取松弛因子ω=1.03，ω=1，ω=1.1） 精确解要求当时迭代终止，并且对每一个ω值确定迭代次数。7.已知方程组Ax=b，其中， （1）试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。 （2）若有迭代公式，试确定a的取值范围，使该迭代公式收敛。8.设有函数值表： 9.假设f（x）在[a，b]上连续，求f（x）的零次最佳一致逼近多项式。10.用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）.A、B、C、D、11.将矩阵A分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵U，其中，然后求解该方程组。12.令║·║是Rn（或Cn）上的任意一种范数，而P是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范数，证明。13.数值积分公式是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精确度为多少？ 14.利用Gauss变换阵，求矩阵的LU分解。15.如有下列表函数： 则一次差商f[0.2，0.4]=（）16.迭代过程xk+1=φ（xk）（k=1，2，...）收敛的充要条件是（）。17.设 求∥A∥∞，∥A|1，∥A∥2及cond（A）∞，cond（A）2。18.画图说明牛顿迭代公式的几何意义。19.给出cosx，0°≦x≦90°的函数表，步长h=1′=（1/60）°，若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。20.已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式 （1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵； （2）证明当A是严格对角占优阵，时此迭代格式收敛。21.分析下列方程各存在几个根，并找出每个根的含根区间： 22.证明下列两种龙格－库塔方法是三阶的： 23.对方程可建立差分公式 试用这一公式求解初值问题 验证计算解恒等于准确解 24.利用初等反射阵将 正交相似约化为对称三对角阵。25.拉格朗日插值多项式的余项是（）A、f（x，x0，x1，x2，…，xn）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）B、C、f（x，x0，x1，x2，…，xn）（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）D、26.取步长h=0.1，求解初值问题用改进的欧拉法求y（0.1）的值。27.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： 28.Jacobi迭代法解方程组Ax=b的必要条件是（）A、A的各阶顺序主子式不为零B、ρ（A）<1C、aii≠0，i=1，2，...，nD、║A║≤129.用改进欧拉方法计算初值问题取步长h=0.1计算到y5.30.用牛顿（切线）法求的近似值。取x0=1.7，计算x1，x2，x3的值，保留五位小数。第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案: 2.参考答案: 如下所示： 3.参考答案: 17；11；4.参考答案: 如下： 5.参考答案:6.参考答案: 7.参考答案: 8.参考答案:9.参考答案: 设所求为g（x）=c， 由定理可知g（x）在[a，b]上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别为f（x）的最大值和最小值处，故由 可以解得 即为所求。10.参考答案:D11.参考答案: 如下： 12.参考答案: 13.参考答案: 14.参考答案: 15.参考答案:0.616.参考答案:|φ′（x）|<117.参考答案:18.参考答案: 牛顿迭代公式就是切线与 x 轴交点的横坐标，所以牛顿法是用切线与 x 轴的交点的横坐标来近 似代替曲线与x 轴交点的横坐标。 19.参考答案: 如下： 20.参考答案: 21.参考答案:22.参考答案: 如下： 23.参考答案: h=1，xn=n，初值条件等于准确解，由数学归纳法代入差分公式中可得 即差分法求出的解恒等于准确解。24.参考答案: 由豪斯荷尔德方法得 25.参考答案:B26.参考答案: 改进的欧拉法： 所以y（0.1）=y1=127.参考答案: 如下： 28.参考答案:C29.参考答案: 如下： 30.参考答案: 如下： 第2卷一.参考题库(共30题)1.设A∈Rn*n，证明当ρ（A）<1时，矩阵序列Sk=I+A+L+Ak（k=0，1，2，L）收敛，并求其极限。2.由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（） A、5B、4C、3D、23.用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量： 当特征值有3位小数稳定时迭代终止。4.令Tn（x）=Tn（2x-1），x∈[0，1]，求T*0（x），T*1（x），T*2（x），T*3（x）。5.试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？6.对一元2次方程具有5位有效数字，求其具有5位有效数字的根。7.3.141580是π的有（）位有效数字的近似值。A、6B、5C、4D、78.如何选取r，使p（x）=x2+r在[-1，1]上与零偏差最小？r是否唯一？9.L为阶的上三角阵，试计算用回代算法解上三角方程组所需的乘除法运算次数。10.设x=（1，9，-5，2）T，则=（），=（），=（）。11.已知： 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f（x）的三次插值多项式P3（x），并求f（2）的近似值（保留四位小数）。12.设方程组 证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散。13.导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。 14.试用最小二乘法，求解下列超定方程组： 15.设A为n阶矩阵，如果称A为对角优势阵。证明：若A是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A具有形式 16.对于一阶微分方程初值问题，取步长h=0.2，用Euler预报－校正法求y（0.2）的近似值。17.设 计算A的条件数。cound（A）v（v=2，∞）18.插值型求积公式的求积系数之和=（）。其中x2为权函数，19.设求A的LU分解。20.如果方阵A有aij=0（|i-j|>t），则称A为带宽2t+1的带状矩阵，设A满足三角分解条件，试推导A=LU的计算公式，对r=1，2，...，n。 21.用二分法求方程x2-x-1=0的正根，要求误差<0.05。22.应用牛顿法于方程f（x）=xn-a=0和，分别导出求的迭代公式，并求 23.若f（x）=a0+a1x+...+an-1xn-1+anxn有n个不同实根x1，x2，...，xn，证明： 24.已知方程x3-2x-5=0在x=2附近有根，下列迭代格式中在x0=2不收敛的是（）。A、B、C、D、25.求证：当m≤f（x）≤M时，当m≤Bn（f，x）≤M；当f（x）=x时，Bn（f，x）=x。26.设f（0）=0，f（1）=16，f（2）=46，则f[0，1]=（），f[0，1，2]=（），f（x）的二次牛顿插值多项式为（）。27.利用区间变换推出区间为[a，b]的伯恩斯坦多项式。28.对于初值问题，证明当h29.用二分法求方程x2-x-1=0的正根，使误差小于0.05。30.给定f（x）=ex。设x=0是4重插值节点，x=1是单重插值节点，试求相应的Hermite插值公式，并估计误差（x∈[0，1]）。第2卷参考答案一.参考题库1.参考答案:2.参考答案:D3.参考答案: 4.参考答案: T*0（x）=T0（2x-1）=1， T*1（x）=T1（2x-1）=2z-1， T*2（x）=T2（2x-1）=8x2-8x+1， T*3（x）=T3（2x-1）=32x3-48x2+18x-1， 其中x∈[0，1]。5.参考答案: 6.参考答案:7.参考答案:B8.参考答案: 切比雪夫多项式在[-1，1]上对零偏差最小，所求函数必为切比雪夫多项式的常数倍， 9.参考答案:10.参考答案: 17；9；11.参考答案: 如下： 12.参考答案: Jacobi迭代为 其迭代矩阵 13.参考答案:14.参考答案:15.参考答案: 则A2是对角优势阵，故高斯消去法与部分选主元高斯消去法对于对称的对角优势阵每一步均选取同样的主元，得出的是同样的结果。16.参考答案: Euler预报－校正法 17.参考答案: 18.参考答案: 19.参考答案: 20.参考答案: 高斯消去法公式中去掉aij=0（|i-j|>t）即可推出该公式。21.参考答案: 如下： 22.参考答案: 如下： 23.参考答案: 由于x1，x2，...，xn是f（x）的n个互异的零点，所以 24.参考答案:C25.参考答案: M≤f（x）≤M，故 当