2023年北京重点中学中考三模数学试卷试题（含答案详解）

人大附三模

1.下列图形中，不是中心对称图形的是（）

A.圆B.菱形C.矩形D.等边三角形

2.据国家环保总局通报，北京市是“十五”水污染防治计划完成最好的城市.预计今年

年底，北京市污水处理能力可以达到每日1684000吨.将1684000吨用科学记数法表示

为（）

A.1.684x1（）6吨B.1.684x1（）5吨co1684xl（）7吨D16.84x1（/吨

3.下列运算中，正确的是（）

A.〃=2B.2-3=-6C.（ab\=ab2D.3a+2a=5a2

4.如图，在平行四边形ABC。中，E是AO上一点，连接CE并延长交84的延长线于

C.FA:AB=FE:ECD.AB=DC

5.用一块等边三角形的硬纸片（如图1）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的

盒子（边缝忽略不计，如图2）,在,的每个顶点处各剪掉一个四边形，其中四边形

中，的度数为（）

图I

A.100°B.110°C.120°D.130°

6.一家游冰馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠:

会员年卡类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）

A类5025

8类20020

C类40015

例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25x20=550元，若一年内在该

游冰馆游泳的次数介于45~55次之间，则最省钱的方式为（）

A.购买A类会员年卡B.购买B类会员年卡

C.购买C类会员年卡D.不购买会员年卡

7.已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上.一只蜗牛从P点出发，

绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示.若沿OM将圆锥侧面

剪开并展开，所得侧面展开图是（）

8.如下图，在平行四边形A8CD中，ZZMB=60°,AB=5,8c=3,点尸从起点。出

发，沿。C、向终点8匀速运动.设点户所走过的路程为x,点p所经过的线段与线

段AD、AP所围成图形的面积为V,>'随x的变化而变化.在下列图像中，能正确反映

y与x的函数关系的是（）

试卷第2页，共8页

9.下图是对称中心为点。的正六边形.如果用一个含30。角的直角三角板的角，借助点

0（使角的顶点落在点。处），把这个正六边形的面积"等分，那么”的所有可能的值

是.

10.若关于x的一元二次方程d+2x-A=0无实数根，则左的取值范围是.

11.若把代数式f+2x-3化为（x-m）2+氏的形式,其中机,k为常数，则tn+k=

12.已知圆锥的底面半径是2的，母线长是3cm,则圆锥侧面积是.

13.分解因式：a-ax2=.

14.在表中，我们把第i行第/列的数记为4,（其中i,/都是不大于5的正整数），对

于表中的每个数规定如下:当iR'时，atj=1；当i</时，4j=0.例如：当表2,

，=1时，4j=a”=l.按此规定，4,3=;表中的25个数中，共有个1；

计算-«,.>+4,24,2+4,3♦«,­,3+«1.4-4.4+4,5-«/,5的值为.

4」q,24.3%&5

a

%2,2。2,3%4%

%%2%3%4%5

%。4.24.3。4.4气5

火』。5.2%4%5

15.如图，已知点《百,26）,AC_Lx轴，垂足为交直线>=一》于点N,若点P

是直线）'=-x上的一个动点，Z4PB=30°,则当点尸运动时，点B随之运动,

则线段OB的最小值为

4(x+l)<7x+10

17.解不等式组：=x-8，并写出它的所有非负整数解.

x-5<---

I3

18.己知?=:*(),求代数式孚之.(“-2〃)的值.

23d—4/7

19.如图，在ABC。中，F是的中点，延长BC到点E,使CE=^BC,连结QE,

(1)求证：四边形CE。尸是平行四边形；

(2)若48=4,AD=6,NB=60。，求DE的长.

nj

20.已知：在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,2)在函数y=—(x<0)的图象上.

x

5-4235x

试卷第4页，共8页

（1）求机的值;

（2）过点A作、轴的平行线/,直线y=-2x+b与直线/交于点8,与函数y='（x<0）

X

的图象交于点C,与）'轴交于点£>.

①当点C是线段80的中点时，求匕的值；

②当8c<8。时，直接写出人的取值范围.

21.如图，在中，点。是线段A8的中点.

求作：线段OE,使得点E在线段AC上，且OE=；8C.

作法：①分别以点A,C为圆心，大于;AC长为半径作弧，两弧相交于点/，N两点；

②作直线MN,交AC于点E；

③连接DE.

所以线段OE即为所求的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：VAM=CM,AN=CN,

MN是AC的垂直平分线.（一）（填推理的依据）

，点E是AC的中点.

,:点。是A8的中点，

:.DE=；BC.（_）（填推理的依据）

22.为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组

织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环

节.为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随

机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述

和分析.下面给出了部分信息.

公甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40<x<50,50<x<60,

60Vx<70,70Vx<80,80Vx<90,90<x<100）：

6

2

0

7

3

2

甲学校学生成绩在80Vx<90这一组的是：

80808181.582838384858686.5878888.58989

乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率(85分及以上为优秀)如下:

平均数中位数众数优秀率

83.3847846%

根据以上信息，回答下列问题：

(1)甲学校学生4乙学校学生8的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生

中的综合素质展示排名更靠前的是(填"A”或"B”)；

(2)根据上述信息，推断学校综合素质展示的水平更高，理由为

(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)；

(3)若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分

数至少达到分的学生才可以入选.

23.己知：如图，AB是。O的直径，C是。O上一点，ODLBC于点D,过点C作

。。的切线，交OD的延长线于点E,连结BE.

(1)求证：BE与。O相切：

2

(2)连结AD并延长交BE于点F,若OB=9,sinZABC--,求BF的

24.广场修建了一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水

头，记喷出的水与池中心的水平距离为x米，距地面的高度为y米.测量得到如表数值：

x/米012344.4

试卷第6页，共8页

y/米2.53.33.32.50.90

小庆根据学习函数的经验，发现y是*的函数，并对)‘随x的变化而变化的规律进行了

探究.下面是小庆的探究过程，请补充完整：

(1)在平面直角坐标系xOv中，描出表中各组数值所对应的点(x,y),并画出函数的图像;

(2)结合函数图像，出水口距地面的高度为米，水达到最高点时与池中心的水平距

离约为米；

(3)若圆形喷水池半径为5米，为了使水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5

米，若只调整水管高度，其他条件不变，结合函数图像，估计出水口至少需要(填“升

高”或“降低”)米(结果保留小数点后一位).

25.已知抛物线y=/_2•+》+1过点(—1,加)和点(2,〃).

(1)抛物线的顶点坐标为(用含力的式子表示)；

(2)若抛物线过点(七,〃)(其中与工2),请用含。的式子表示受；

⑶在(2)的基础上，若，〃<〃，直接写出〃和％的取值范围.

26.等边.48C中，D、E、尸分别是AB、BC、C4上的点，若AD=CF=BE.

备用图

(1)求ND尸E的度数；

(2)若G是的中点，连接8G并延长交AC于点“，补全图形并探究8G与G”之间

的数量关系；

⑶若。E=6,过B作交£>£于点H交AC于点G,请直接写出BG的长.

27.在平面直角坐标系xOy中，对于线段A8和点产，给出如下定义：若在直线>=%上

存在点Q,使得四边形A8PQ为平行四边形，则称点尸为线段48的“关联点已知

A(5,2),8(1,4).

⑴在玳一3,3),6(-2,4),£(-1,5),舄(1,6)中，线段AB的“关联点”是.

(2)若点尸在第二象限且点尸是线段AB“关联点”，求线段0P长度d的取值范围;

(3)已知正方形CZJEF边长为1.以T&3)为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点M,N

在线段A8上(M在N的下方).若正方形CZJEF上的任意一点都存在线段MN,使得

该点为线段MN的“关联点”，直接写出，的取值范围.

试卷第8页，共8页

1.D

【分析】根据中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合来解题即可.

【详解】A、B、C中，既是轴对称图形，又是中心对称图形；

D、只是轴对称图形.

故选D.

【点睛】掌握中心对称的定义是解题的关键.

2.A

【分析】科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中l^|a|<10,n为整数.确定n的值时，

要看把原数变成”时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数

绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数.

【详解】解：将1684000用科学记数法表示为：1.684x106.

故选：A.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为"X10"的形式，其中

〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

3.A

【分析】根据算术平方根的定义，负整数指数幕的意义，积的乘方法则，合并同类项法则计

算即可得出结论.

【详解】解：A.衣=2,原计算正确，符合题意；

B.2-3=：,故原选项错误，不符合题意；

O

c.加,故原选项错误，不符合题意；

D.3a+2a=5a,故原选项错误，不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了算术平方根的定义，负整数指数暴的意义，积的乘方法则，合并同类项

法则等知识，掌握相关知识是解题的关键.

4.B

【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得8BF,依据平行线成比例

的性质即可得到答案.

【详解】解：A、根据对顶角相等，此结论正确；

答案第1页，共22页

B、根据相似三角形的性质定理，得E4:EB=A£:8C,所以此结论错误；

C、根据平行线分线段成比例定理得，此项正确；

D、根据平行四边形的对边相等，所以此项正确.

故选：B.

【点睛】此题综合运用了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理，解决本题的关键

是熟练掌握平行线分线段成比例定理.

5.C

【分析】由题意可知NA=60°,ZW»=ZAA©=90。，对角又互补，则ZMDN的度数为120。.

【详解】解：•.二A8C为等边三角形，

.-.ZA=60°,

因为要做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子，

所以ZAMD=ZAND=90°,

又,/四边形ANDM角的度数之和为360°,

,ZWN=3600-60°-90°-900=120°.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质.

6.C

【分析】设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，分别求出），与x的解

析式，当454x455时，求出11754yA41425；1100<yB<1300；1075<yc<1225；1350<yD

<1650,比较可得答案.

【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，

，yA=50+25x,yB=200+20x,yc=400+15x,不办会员卡时yD=30x,

当454x455时，

11754yA41425；

1100<yB<1300；

1075<yc<1225；

1350<yD<1650,

由此可见，C类会员卡消费最低，

•••最省钱的方式为购买C类会员卡，

故选：C.

答案第2页，共22页

【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关

键.

7.D

【分析】此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆

锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理.

【详解】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，

又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的

圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线0M上的点P应该能够与母线0M，上的点（P，）重

合，而选项C还原后两个点不能够重合.

故选D.

点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力.

8.A

【分析】根据题意，分两种情况讨论：当点尸在CD上运动时，点尸所经过的线段与线段AD、

”所围成图形为三角形，得至=是一个正比例函数；当点P在CB上运动时，点P

所经过的线段与线段A。、的所围成图形为梯形，得至1」丫=孚工-半，是一个一次函数；

再根据函数图像与性质得到y="图像比丫=手、图像更陡，从而确定答案.

【详解】解：当点P在上运动时，点尸所经过的线段与线段AD、”所围成图形为三角

形，则>=」*3、3x=土叵x,这是一个正比例函数；

224

当点P在C8上运动时，点P所经过的线段与线段A。、AP所围成图形为梯形，则

>=1乂（》-5+3*述=述》-述，这是一个一次函数；

2'7242

3655/3

---<----,

44

.y=乎》一竽图像比>=¥了图像更陡，

故选：A.

【点睛】本题考查动点函数图像问题，根据动点位置分情况讨论得到y随x的变化的函数表

达式是解决问题的关键，需注意的是：一次函数一次项系数越大，图像越陡.

9.2,3,4,6,12

【详解】根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即让周

答案第3页，共22页

角除以30的倍数就可以解决问题.

解：360+30=12；

360+60=6；

360+90=4；

360+120=3；

360+180=2.

故么n的所有可能的值是2,3,4,6,12.

故答案是：2,3,4,6,12.

10.kv-l

【分析】方程无实数根，则△<(),建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围.

【详解】'：a=\,b=2,c=—k,

由题意知，A=E-4ac=22一4xlx(-A:)=4+4%<0,

解得：k<-\,

故答案为：k<-\.

【点睛】本题考查了一元二次方程以2+瓜+C=0(4H0,a,b,c为常数)的根的判别式

A=b2-4ac.当△>(),方程有两个不相等的实数根；当A=0,方程有两个相等的实数根；

当A<0,方程没有实数根.

11.—5

【分析】运用配方法即可解答此题.

【详解】解：将代数式N+2x—3加上1再减去1,其形式变为/+2%—3+1—1,将/+法

+1化为完全平方形式，则原式就变为(x+1)2—4.因此机=-1,左=-4.则加+%=-5.故答

案为：-5.

【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的变形，熟记公式结构，

完全平方公式：

12.67rcm2

【分析】圆锥的侧面积=底面周长x母线长+2=乃应.

【详解】根据圆锥的侧面积公式：加RL

底面半径是2cm,母线长是3cm的圆锥侧面积为TCX2X3=6兀

故答案是：6yrcm2

答案第4页，共22页

【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键是记住圆锥是侧面积公式.

13.<7(l+x)(l-x)

【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解即可.

【详解】解：=a(l-x2)=«(l+x)(l-x)；

故答案为a(l+x)(l-x).

【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

14.0151

【分析】根据当，</时，&j=0.当途/时，=1进行解答即可；由图表中可以很容易

知道等于1的数有15个.

【详解】解：由题意，很容易发现，从i与j之间大小分析：

当时，4-=。，

%3=。；

当72/时，%)=1,

由图表可知共有15个1；

a\,\'ai.\+a\.2ai.2+4.3-ai.3+ai,41+<7I,5,%5

=lxail4-0+0+0+0

=ai.\，

Ti是不大于5的正整数，

•*-ai.\='.

故答案为：0；15；1.

【点睛】本题考查数字的变化，理解当时，”,=0.当此，时，《n=1,是解题的关

键.

15.2&

【分析】作3H垂直OP，取尸8的中点F,连接的、FH、OA.AH,首先证明点8在射

线上运动，推出当08垂直3〃时，。8的值最小，最小为QH的长.

答案第5页，共22页

【详解】解：如图1所示，作垂直0P于点H,取尸8的中点F,连接AF、FH、、

PF=FB,

:.AF=PF=FB=EH,

.•.A、P、H、8四点共圆，

:.ZAHB=ZAPB=^)°,

3〃垂直OP于点H,

:.ZBHP=9CP,

：.ZAHP=60°,

点B在射线H8上运动，

.•.当时，OB的值最小，最小值为。”的长，

在RIZXAO”中，

OA=2R,ZAHP=60°,

,CH0A2瓜、p:

tan60°G

」.08的最小值为2亚.

故答案为：2G..

【点睛】此题考查了一次函数上点坐标的特征，利用转化思想找到点8的运动轨迹，从而推

出何时08长度最短为解题关键.

16.5+8

答案第6页，共22页

【分析】先根据一个数的负指数累等于正指数基的倒数，一个不等于零的数的零指数累为1,

一个数的绝对值是非负数，特殊角三角函数值sin6(T=走，求出各项的值即可.

2

【详解】解：原式=4-1+2-百+4x且=5-6+2宕=5+6

2

【点睛】本题考查实数的混合运算；特殊角三角函数值.

17.不等式组的所有非负整数解为：0,1,2,3.

【分析】先解不等式组求出x的取值范围，然后找出符合范围的非负整数解.

4(x+l)<7x+10@

【详解】解：〈ux-8^

x-5<------②

3

由不等式①得：应一2,

由不等式②得：，x<g,

7

...不等式组的解集为：-2<x<-,

.♦.X的非负整数解为：0,1,2,3.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的非负整数解，求不等式

的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

5a-2bi

]IOO•i'T"

a+2b2

【详解】试题分析：将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最

简结果，然后由己知的等式用b表示出a,将表示出的a代入化简后的式子中计算，即可得

到所求式子的值.

试题解析：苧器-2与

cr-4Z?-

5a-2b

=~---T7----TTY*(a-2b)

(a+2b)(a-2b)

_5a-2b

a+2b'

..ab.2

•-=..a=-b,

10

...原式=总-----=黑姜=；.

-b+2b2b+6b2

3

考点：分式的化简求值

答案第7页，共22页

19.（1）见解析（2）V13

【分析】⑴由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知且AD=BC；然后根

据中点的定义、结合已知条件推知四边形CED尸的对边平行且相等（。尸=CE,且。/〃CE）,

即四边形CECF是平行四边形：

（2）如图，过点。作于点，，构造含30度角的直角△£＞（»和直角△£＞“£.通过

解直角△0cH和在直角4OHE中运用勾股定理来求线段ED的长度.

【详解】（1）证明：在oABCD中，ADBC,且AD=BC

是A£＞的中点

：.DF=^-AD

2

又•:CE=^BC

：.DF=CE,且QFCE

二四边形CM尸是平行四边形；

（2）如图，过点。作于点H.

在。A8CD中，VZB=60°,

ZDCE=60°.

"：AB=4,

：.CD=AB=4,

：.CH=^CD=2,DH=243.

在。CEO尸中，CE=DF="D=3,则EH=1.

在/?/△DHE中，根据勾股定理知DE=7（2^）2+1=V13.

20.（1）m=-2；（2）①匕=3；②历＞-3.

【分析】（1）把A（-1,2）代入解析式即可求解；

（2）①根据题意知点8的横坐标为-1,点。的横坐标为0,由于点C是8。的中点，利用

答案第8页，共22页

2

中点坐标公式即可求得点C的横坐标，代入y=-*中可求得点C的坐标，代入函数

x

y=-2x+6中，即可求解；

②先利用①的方法求得8C=B£＞即点8是CD的中点时b的值，观察图象，即可求得〃的取

值范围.

【详解】(1)把A(-1,2)代入函数y="(x＜0)中，

X

/.机=一2；

(2)①如图，

根据题意知：点B的横坐标为-1,点。的横坐标为0,

,・•点C是8。的中点，

二点C的横坐标为二1芝=-：,

22

1?

把工=-7代入函数＞=-一中，得y=4,

.•.点C的坐标为(-g,4),

把点C的坐标为(-；，4)代入函数y=-2x+b中,

得：4=-2x(一；)+g

解得:6=3；

②当点8是CD的中点时，BC=BD,

答案第9页，共22页

设点C的横坐标为X,

.x+0

・・----=-1,

2

解得：x=-2,

2

把x=-2代入函数y=--中，得y=l,

x

二点C的坐标为（一2,1）,

把点C的坐标为（-2,1）代入函数y=-2x+。中，

得：1=-2x（-2）+。，

解得：b=-3；

观察图象，当6>-3时，BC<BD,

故答案为：b>—3.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数

图象交点情况，中点坐标公式的应用，解题关键是正确读图、识图、观察图象，利用数形结

合思想解决问题.

21.（1）见解析；（2）到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；三角形中位线等

于第三边的一半

【分析】（1）根据题干的提示作线段AC的中垂线，再连接DE即可；

（2）由线段的垂直平分线的判定与三角形的中位线的性质可得答案.

【详解】解：（1）补全图形如图：

答案第10页，共22页

A

(2)证明："：AM=CM,AN=CN,

，MV是AC的垂直平分线.(到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)

二点E是4c的中点.

♦.•点。是A8的中点，

：.DE=^BC.(三角形中位线等于第三边的一半.)

故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；三角形中位线等于第三边的

一半.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形的中位线的性质，掌握线段的垂直

平分线的判定是解题的关键.

22.(1)4；(2)乙；理由；乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；(3)88.5

【分析】(1)先算出甲校的中位数，发现A的成绩在中位数前，而读表得出B的成绩在中

位线以下，以此判断排名；

(2)计算出甲校的中位数，优秀率，比较回答即可；

(3)先计算90-100分的人数为96人，不够120人，要从80-90分之间补充，设需要补充x

个人，根据题意，得三FX400=120,解得x即可.

【详解】解：(1)甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩

由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和81.5

81+81-5

二中位数为：2-81.25

:A成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分

成绩为83分，低于乙校中位数84,则B排名在乙校为后半部分

故A的排名更靠前；

故答案为：A；

(2)乙校，理由如下：甲校的优秀率为：々占xl00%=40%,由(1)甲校的中位数是81.25

分，乙校的中位数是84,优秀率为46%,从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高

答案第II页，共22页

于甲校，故乙校高，

故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；

12

(3)根据题意，90-100分的人数为为：=x400=96人，不够120人，要从80-90分之

50

间补充，设需要补充x个人，

根据题意，得1三2+一xx400=120,解得43,

50

而这个3个数依次为89,89,88.5,至少要88.5分，

故答案为:88.5.

【点睛】本题考查了中位数，数据的集中趋势，直方图，样本估计总体，熟练掌握中位数的

定义，直方图的意义，用样本估计总体的思想是解题的关键.

23.(1)见解析(2)FB=^5

13

【分析】(1)连接OC,先证明△OCEgZXOBE,得出EBJ_OB,从而可证得结论.

(2)过点D作DH_LAB,根据解直角三角形的知识可求出OD=6,OH=4,HB=5,然后由

△ADH^AAFB,利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长.

【详解】证明：(1)连接OC,

VOD±BC,AOC^B,CD=BD(垂径定理).

.,.△CDO^ABDO(HL).AZCOD=ZBOD.

在AOCE和^OBE中，

VOC=OB,NCOE=/BOE,OE=OE,

.,•△OCE^AOBE(SAS).AZOBE=ZOCE=90°,即OB_LBE.；.BE与。O相切.

(2)过点D作DH_LAB,

答案第12页，共22页

cE

：ODJ_BC,...△ODHs^OBD,...曲第里〜海.

硒1，OD：豆办

2

XVsinZABC=-,0B=9,.\0D=6.

3

AOHM,HB=5,DH=2J，

又...△ADHs/^AFB,随:.，即生A=解得FBL.

热3釉18FB

垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角

三角函数定义.

24.⑴见解析

(2)2.5,1.5

⑶降低，1.8

【分析】(1)根据对应点描点、连线，即可画出图象即可；

(2)由图象可知：出水口距地面的高度为2.5米，设y与x的关系式为"52+瓜+。(“70),

根据对应点求出y与x的关系式，可得顶点坐标，据此即可得到答案；

(3)把x=3.5代入关系式得到y的值，可得出水口要降低的高度.

【详解】(D解：描点、连线，作图如下：

(2)解：由图象可知：出水口距地面的高度为2.5米,

设y与x的关系式为^=奴2+乐+。(4/0),

答案第13页，共22页

把点(0,2.5)、(1,3.3)、(2,3.3)代入解析式，得

c=2.5

<a+b+c=3.3

4〃+2/?+c=3.3

a=-0.4

解得b=1.2

c=2.5

故y与X的关系式为y=-0.4X2+1.2X+2.5=-0.4(1.5『+3.4,

故顶点坐标为(153.4),

故水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.5米；

故答案为：2.5,1.5；

(3)解：圆形喷水池半径为5米，水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，

•・.X的最大值为5-1.5=3.5(米),

当43.5时，y=-0.4x(3.5-1.5)2+34=1.8,

所以，为了使水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，估计出水口至少需要降

低1.8米.

故答案为：降低，1.8.

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象及求出关系式是解题

关键.

25.(1)(11)

⑵/=2/7-2

(3)/i<g,与〈-1

【分析】(1)根据解析式化为顶点式即可求解；

(2)根据抛物线的对称性，即可求得点小,

(3)根据对称性以及机<〃，可知(-1,%)在(％,〃)右侧,即可得与<-1,结合(2)的结论

即可求解.

答案第14页，共22页

【详解】（1）解：y=x2-2hx+lr+1=（x-/?）2+1,

顶点坐标为仅，1）,

故答案为：①，1）,

（2）,/抛物线y=/-2/zx+*+1=（x-犷+1过点（-l,w）和点（2,"）,

对称轴为》=〃，

抛物线过点（为,〃）（其中x°w2）,

.・・马也二力，

2

/.x0=2/z-2,

（3）如图，

•.•抛物线过点A（%,〃），（其中与*2）,抛物线过点C（T,，〃）和点B（2,〃），

对称轴为x=〃,

XVm<n,

二C点在A（为,〃）的右侧,B（2,〃）点左侧，

/.x0<—1,

・.・/=2〃-2,

・•・2〃一2<-1,

...1

•h<一.

2

【点睛】本题考查了二次函数综合，化为顶点式，二次函数图象的对称性，掌握二次函数的

性质是解题的关键.

26.(1)60°

答案第15页，共22页

（2）补全图形见解析，BG=GH

(3)6x/3

【分析】（1）证明，AOF，8ED（SAS）,得。尸=E£>,同理&AO尸区CFE（SAS）,DF=FE,

得到。所是等边三角形，即可得到/。自£的度数;

（2）补全图形，过点E作ME〃AC交BH于点M,过点。作£>N〃AC交于点N,根据

十，一心八山5311kI8。BNBEBM.BDBEBNBM、十”

平行线分线段成比例定理得到二6=弁7，—=—.n+—=—+—>证明

ABBH£>CBHADDCBHBH

“EMG四£WG(AAS),则MN=2MG=2NG,nT^—+—=1,—+—=,则

ABBCBHBHBH

竺£=1,由8〃=2BG=3G+G”即可得到结论;

BH

（3）过8作W/LDE交于点H交AC于点G,取OE的中点N,连接FN,连接BN并延

长交AC于点M,由1）所是等边三角形，DE=6,则RV_LOE,DN=NE=；DE=3,

DE=EF=DF=6,由勾股定理可得FN=3百，可证JFN〃8G,由（2）可知,

1NFMN1

BN=MN-BM,由平行线分线段成比例定理得到*7=二7=二，即可得到8G的长.

2BGBM2

【详解】（1）解：・・・/wc是等边三角形，

AZA=ZB=ZC=90°,AB=BC=AC,

,:AD=CF=BE,

：.AC-CF=AB-ADf

BPAF=BD,

在△ADF和..BED中,

AD=BE

<NA=N8,

AF=BD

；・ADF且一BED(SAS),

:.DF=ED,

同理可证，一4小空CFE(SAS),

JDF=FE,

:.DF=ED=FE,

答案第16页，共22页

，一。£尸是等边三角形，

，ZDFE=60°,

即N£>EE的度数为60。；

(2)BG=GH,理由如下：

连接8G并延长交AC于点H,过点E作ME〃AC交8”于点M,过前D作DN〃AC交BH

于点M如图，

.BDBNBEBM

,‘瓦一丽‘而一而‘

.BDBEBNBM

••+=+,

ABBCBHBH

•・•点G为。E的中点，

:.DG=EG,

,?ME//AC,DN//AC,

:.ME"DN、

:./MEG=Z.NDG,4EMG=/DNG,

・・・.£MG-DVG(AAS),

:・MG=NG=、MN,即阴V=2MG=2NG,

2

■:AB=BC=AC9AD=CF=BE,

:.BD+BE=BD+AD=AB=BC9

,BDBEBDBEBD+AD1

.・——+——=——+——=----------=1,

ABBCABABAB

BNBM_BM+MN+BM2BM+2MG2(BM+MG)_2BG

UH而-BH-丽-BH-BH

.2BG

,•--------=1,

BH

:.BH=2BG=BG+GH,

：.BG=GH；

答案第17页，共22页

(3)解：过8作交OE于点H交AC于点G,取OE的中点N,连接尸N,连接BN

并延长交4c于点M,如图，

.。底厂是等边二角形，DE=6,

：.FN1DE,DN=NE=~DE=3,DE=EF=DF=6,

2

：.AFNE=90°,

•*-FN=yjEF2-NE2=>/62-3Z=3y/3>

BHIDE,

FN//BG,

二MNFMBG,

由(2)可知，BN=MN=-BM,

2

.NFMN1

♦♦记一丽一5'

/.BG=2FN=673,

即8G