2023-2014年-三角函数与解三角形解答题（解析版）

大数据之十年高考真题(2014-2023)与优质模拟题(北京卷)

专题06三角函数与解三角形(解答题)

真题汇总J

1.【2023年北京卷17】设函数/(x)=sinaxcos,+cos3xsin,(3>0,|租|<

(1)若/(0)=-］,求0的值.

(2)已知f(x)在区间卜点与］上单调递增，/(g)=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个

作为已知，使函数f(x)存在，求3,3的值.

条件①:f削僖

条件②：/(-=)=-1;

条件③：f(x)在区间上单调递减.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

【答案】(1)8=一今

(2)条件①不能使函数f(x)存在；条件②或条件③可解得3=1,年=/

(1)因为/'(%)=sincoxcos<p+coseoxsinc^,o)>0,\(p\<

-V3

所以f(0)=sin(a)•0)cos<p+cos(o)-0)sin(p=sin(p=~~f

因为lgl<3所以3=一g

(2)因为f(x)=sina)xcos(p+costoxsintp,o)>0,\(p\<p

所以f(x)=sin(3%+3),3>0,|@|V》所以f(x)的最大值为1,最小值为一1.

若选条件①：因为/(x)=sin(3x+0)的最大值为1,最小值为一1,所以/傅)=/无解，故条件①不能使

函数存在；

若选条件②：因为f(x)在卜,与］上单调递增，且(偿)=1,/(-=)=-1

所以;二等一(—g)=n,所以T=2IT,CO=y=1,

所以/(%)=sin(x+cp),

又因为f(-；)=-1，所以sin+0)=

所以一］+9=-1+2/nr,/c6Z,

所以中=一1+2/nr,kWZ,因为|?|<，所以9=一?

所以3=1,(P=-7O：

若选条件③：因为/(X)在卜,与］上单调递增，在卜,-手上单调递减，

所以/"(X)在x=-三处取得最小值—1,即/■(—;)=-1.

以下与条件②相同.

2.【2022年北京卷16】在△4BC中，sin2C=V3sinC.

⑴求H

(2)若b=6,且AABC的面积为6e，求△ABC的周长.

【答案】⑴？

(2)6+6V3

【解析】

(1)1?：因为C6(0,乃)，则sinC>0,由已知可得V5sinC=2sinCcosC,

可得cosC=立，因此，C=W

26

(2)解：由三角形的面积公式可得=\abs\nC=1a=673,解得a=4g.

由余弦定理可得M+炉—2abcosC=48+36—2x4V3X6X/=12,.•・c=2^3»

所以，△4BC的周长为a+8+c=6V3+6.

3.【2021年北京16】已知在△ABC中，c=2bcosB,C=y.

(1)求B的大小；

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度.

①c=缶;②周长为4+2次；③面积为S4ABe=学；

【答案】(1)3(2)答案不唯一，具体见解析.

O

(1)%,c=2bcosB,则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,

・•・sin2F=sinY=争vC=容：,B£(0,j),2BG(0,争,

:・2B=g解得

36

(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得£=丝£=与=百，

bsinB-

2

与C=V^b矛盾，故这样的△4BC不存在；

若选择②：由(1)可得4=£

设△ABC的外接圆半径为R,

则由正弦定理可得a=b=2Rsin£=R,

c=2/?sin—=V3/?,

3

则周长Q+b+c=2R+V3/?=4+2百，

解得R=2,则Q=2,c=2A/3,

由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：

J(26)2+l2-2x2V3xlxcos'=V7：

若选择③：由(1)可得4=士即。=4

则S-8C=-cibsinC=-a2x3=—,解得Q=W，

八八DJ2224

则由余弦定理可得8C边上的中线的长度为：

Jb24-(|)2—2x&xxcosy=^3+^+V3xy=导.

4.【2020年北京卷17］在△4BC中，a+h=ll,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知,

求：

(I)Q的值：

(II)sinC和△ABC的面积.

条件①：c=7,cosA=_1

条件②：cosA=-,cosB=—.

816

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】选择条件①(I)8(11)sinC=泉S=6V3；

选择条件②(1)6(0)sinC=-,S=—.

44

【解析】

选择条件①(I)c=7,cos/1=一，a+b=11

va2=b2+c2—2bccosA:.a2=(11—a)24-72—2(11—a)•7•(—：)

-a=8

(II)vcos?l=一，AE(0,7i)AsinA=V1—cos27l=等

由正弦定理得：--=-T—磊=:，sinC=手

smAsinCsmC2

7

S=^bas\nC=1(11-8)x8xy=673

选择条件②(I),••cosA=-,cosB=2,A,BE(0,TT)

816

二sin4=V1-cos2A=—,s\nB=V1—cos2F=—

816

由正弦定理得：号=’*・・.森9・・・Q=6

sm4sinBM包

816

(II)sinC=sin(4+8)=sin4cos8+sinBcosA=—x--+■—x-=—

kJ8161684

1.•61C、/八，夕15V7

Sc=—bcis\Y\C=-(11-6)x6x—=---.

22''44

i

5.【2019年北京文科15】在△ABC中,a=3,b-c=2,cosB=

(I)求b,c•的值；

(II)求sin(8+C)的值.

【答案】解：⑴：a=3,b-c=2,cosB=

，由余弦定理，得Z?2=〃2+c2_2accos8

c1

=9+(b—2)2—2x3x(匕—2)x(―力,

:・b=7,：.c=b-2=5；

(2)在△ABC中,VcosB=1；・sinB=贤/?,

ab

由正弦定理有:

sinAsinB'

asinB3xf3百

.*.sinA=

~b~

/.sin(B+C)=sinCn—A)=sirb4=-T-T-.

6.【2019年北京理科15】在△4BC中，a=3,b-c=2,cosB=

(I)求b,c的值；

(II)求sin(B-C)的值.

【答案】解：(I);。=3,b-c=2,cosB=—

，由余弦定理，得。2=/+。2_2accosB

1

=9+(b-2乃o一2x3x(b—2)x(一办

:・b=7,:・c=b-2=5；

(II)在△ABC中,VcosB=一夕AsinB=贤,

由正弦定理有:

sinCsinB'

~~1A

Vb>c,：.B>C,・,・C为锐角，

・厂11

.・cosC=

/.sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC

7311k573

=TXT4-(z_2)XTT

_4V3

=~T，

1

7.【2018年北京理科15】在△ABC中，“=7,b=8,cosB=-最

(I)求/A；

(II)求AC边上的高.

【答案】解：(I)a〈b,即A是锐角，

VcosB——y,sinB=V1-cos2B—11—(―^)2=

由正弦定理得合asinB_7x

彳导siiVl=

则A=J.

(II)由余弦定理得b2=a2+c1-2accosB,

BP64=49+C2+2X7XCX

即C2+2C-15=0,

得(c-3)(c+5)=0,

得c=3或c--5(舍),

则AC边上的局h—c,sirL4=3x.

8.【2018年北京文科16］已知函数f(x)=sin2x+V3sinxcosx.

(I)求/(x)的最小正周期；

(H)若/(元)在区间［—*㈤上的最大值为|,求相的最小值.

【答案】解：(/)函数/(x)=sin2x4-V3siarcosx=--箸在+与sin2x

=sin(2v¥—?)+i,

62

f(X)的最小正周期为7=至=7T；

(H)若/(X)在区间［一不加］上的最大值为|,

可得2x一看6［-",2"?—1］,

即有2/77—^>5,解得m>5,

OZJ

71

则m的最小值为J

9.【2017年北京理科15】在△ABC中，/A=60°,c=

(1)求sinC的值；

(2)若a=7,求AABC的面积.

-2

【答案】解：(1)ZA=60°,c=*z,

由正弦定理可得sinC=^sirk4=方x苧=年楙，

(2)。=7,则c=3,

JCV4,

Vsin2C+cos2C=1,又由(1)可得cosC=和，

・.n./A-、..「../313135/34>/3

..sinn=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=~n-x3-74-□x-r-r-=—=-

L14-Z14/

I.14J3r-

S/\ABC=)acsin8=)x7X3x=6y13,

10.【2017年北京文科16］已知函数f(x)=V3cos(2x-J)-2sinxcosx.

（/）求/（X）的最小正周期;

(//)求证：当咐-冬不时，/(X)>-i

【答案】解：(I)/(x)=V5cos(2T—q)-2sinxcosx,

L1J3

=V3(­c<?2r4--y-sin2x)-sin2x,

22

73CLI.个

=2"CosZr+2Sin2；G

=sin(2x+"

：.T=^=TC,

：.f（x）的最小正周期为IT,

TTT[

(ID'：xe[-l，-J

1t4

TTTT57r

2x+#飞，r

'・-2Wsin(〃+可)Wl,

1

：.f(x)>-

11.【2016年北京理科15】在△ABC中，£+2=?+近ac.

（I）求NB的大小;

(II)求V^cosA+cosC的最大值.

【答案】解：（I）;在△43C中，a2+c1=b1+y/2ac.

**.a2+c2-b2=y/2ac.

.a2+c2-b2J2ac42

••COSnO-Q——,

zaczac2

（n）由（/）得：C=^-A,

.—.-37r

V2cosA+cosC=V2cosA+cos(———A)

4

=&cosA-^^^cosA+^sinA

=圣。s4+冬iM

=sin(4+彳).

nn

.•・A+彳W(1,Tt),

44

故当A+E=狮，sin(A+9取最大值1,

即夜cosA+cosC的最大值为1.

12.【2016年北京文科16］已知函数=2sin3xcos3x+cos23x(3>0)的最小正周期为n.

(1)求3的值；

(2)求/(尤)的单调递增区间.

【答案】解：f(x)=2sina)xcosa)x+cos2u)^,

=sin2u)x+cos2a)x,

=y/2sin(2a)x+今)，

由于函数的最小正周期为m

则：7=需=兀，

解得：3=1.

(2)由⑴得：函数/(X)=V2sin(2x+^),

令一5+2kTtW2x+7W2/CTT+5(LeZ),

Z4/

解得:—4"fc?r<x<ku+(ZwZ),

所以函数的单调递增区间为：［一筹+加1+而］(依Z).

Xxf-X

13.【2015年北京理科15】已知函数/(x)=V2sin—cos——yZsin2

(I)求/(x)的最小正周期；

(II)求/(X)在区间［-11,0］上的最小值.

【答案】解：(I)/(x)=V2sin-cos——V2sin2—

8.42、

=1-smx-2-M(1-cosx)

nnV2

=sinxcos-+cosxsin———

442

=sin(x+/)一冬

则了(%)的最小正周期为2m

(II)由-TTWXWO,可得

37r,7T.7T

一彳乩+f

即有-lWsin(x+然孝,

则当x=-当时，sin(x+与)取得最小值-1,

则有了(X)在区间[F,0]上的最小值为-1一竽

14.【2015年北京文科15】已知函数f(x)-siiu-2V3sin2^.

(1)求/(x)的最小正周期；

27r

(2)求fG)在区间[0,万]上的最小值.

【答案】解：(1)V/(x)=sinx-2V3sin2-

2

=sinx-2>/3x1与2sl

=sinx+V3cosx—V3

=2sin(x+可)—V3

・・・/(%)的最小正周期丁=竿=2冗；

2n

(2)VAG[O,—],

|e[pn],

Asin(x+®G[0,1],即有：/(x)=2sin(x+电-V3G[-V3,2-㈣，

・・・可解得/(无)在区间[0,年]上的最小值为：T.

15.【2014年北京理科15】如图，在△ABC中，ZB=J,AB=8,点。在边3。上，且CD=2,cosZADC=

1

7,

(1)求sinNBA。；

(2)求BD,AC的长.

RD

【答案】解：⑴在△4BC中，VcosZADC=

/.sinZADC=vl—cos2Z-ADC=乒=旧=察

则sinN8A。=sin(ZADC-ZB)=sin/4OC・cos3-cosZADC#sinB=x*一}x5=

ABsin匕BAD8x贺.§

（2）在△ABO中，由正弦定理得80=-

sin乙ADBFT-3,

7

在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2-2y4B-BCcosB=82+52-2X8x5x1=49,

即AC=1.

n

16.【2014年北京理科18】已知函数/(x)=xcosx-sinx,xE[0,—]

(1)求证：f(x)WO；

(2)若OV型:。对xe(0,-)上恒成立，求。的最大值与b的最小值.

【答案】解：(1)由/(x)=xcosx-siiu•得

f(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,

71

此在区间W(0,-)h/(x)=-xsinx<0,

71

所以/a)在区间qo,上单调递减，

从而/(x)(o)=o.

sinxsinx

(2)当%>0时，”——>atf等价于“sinx-or>0”,"——<bff等价于“sinx-版VO”

XX

令g(x)=sinx-ex,则g'(x)=cosx-c,

当c<0时，g(x)>0对大W(0,])上恒成立，

TC

当cel时，因为对任意xW(0,一),g'(x)=cosx-c<0,

2

所以g(x)在区间[0,卞上单调递减，

71

从而，g(x)Vg(0)=0对任意在(0,-)恒成立，

7T

当OVcVl时，存在唯一的xoW(0,-)使得g'(刈)=cosxo-c=0»

n

g(x)与g'(x)在区间(0,-)上的情况如下：

X(0,xo)X0(加,：

g，(X)+-

g(x)tI

因为g(x)在区间(0,xo)上是增函数，

71

所以g(xo)>g(0)=0进一步g(x)>0对任意(0,W)恒成立，

当且仅当g$)=1—k20卯0VcW(

综上所述当且仅当cW,时，g(x)>0对任意.诧(0,3)恒成立，

当且仅当c》l时.，g(x)<0对任意(0,])恒成立，

所以若誓y,对烧(0,上恒成立，则a的最大值为，匕的最小值为1

17.【2014年北京文科16]函数/(x)=3sin⑵+4的部分图象如图所示.

(I)写出/(x)的最小正周期及图中刈，巾的值；

(II)求/(x)在区间[-a-乡上的最大值和最小值.

【答案】解：(I)V/(x)=3sin⑵+，),

,V(%)的最小正周期7=竿=m

可知州为函数的最大值3,刈=著；

(II)，，--^],

•,*2A*+^6[—0],

，当2x+5=。，即x=-需时，f(x)取最大值0,

当2x+1=—掾，即x=—号时，f(%)取最小值-3

膜把好题

1.【北京市海淀区北京大学附属中学2023届高三三模】在△ABC中，乙4=60。儿=,a.

⑴求sinC的值；

(2)若c=5,求AABC的面积.

【答案】(1)逋

14

(2)1073

【详解】(1)在AABC中，因为乙4=60。，c=|a,

所以由正弦定理得sinC=咧丝=三x3=壁.

a7214

(2)因为c=5,所以a=(x5=7.

由余弦定理a?=b2+c2—2bccosA得72=b2+52-2hx5x

解得b=8或b=-3(舍).

所以△ABC的面积S=-bcsinA=-x8x5x—=IOA/3-

222

2.【北京市第四中学2023届高三数学保温测试】已知函数f(x)=2cos2皿》-sintd2x.

⑴求/(0)的值；

(2)从①%=1,32=2;②31=1,32=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在

卜(看上的最小值，并直接写出函数/(X)的一个周期.

【答案】(1)2

(2)详见解析

22

【详解】(1)/(%)=2cosa)1x—sindo2x,则/(0)=2cos0—sinO=2

(2)选①矶=l,co2=2时，

/(%)=2cos2%—sin2x=14-cos2x-sin2x=V2cos(2x+*)+1

由X十黑｝可得2x+：e卜:,胃

则一号Wcos(2x+；)W1,则0<V2cos(2%+J)+1<V2+1,

则当2x+?=-拳即x=一泓函数/⑺取得最小值0,

函数/"(X)的周期为:=n

选②3]=1,32=1时，

2

)7/1\17

/(%)=2coszx—sinx=­2sinzx—sinx4-2=—2(sin%+-I4--

由xe[—屋],可得sinxe卜1,斗则f(x)Nl

则当X=-]或X=，时函数f(x)取得最小值I,

函数/'(幻的周期为m

3.【2022届北京市房山区良乡中学高三模拟考试】在AABC中，已知b=5,cosB=白，再从条件①、条件

②这两个条件中选择一个作为已知.

⑴求sinA；

(2)求△ABC的面积.

条件①：cosC=：；条件②：a=4.

O

【答案】(1)条件选择见解析，shvl=±

4

(2陷

4

【详解】(1)选①：因为cosB=工cosC=J,B,CG(0,ir),

168

所以sinB=亚，sinC=—.

168

所以sin(B+C)=sinBcosC+cosFsinC=—x-4-—x—=—.

,1681684

所以sinZ=sin(B+C)=%

选②：由cosB=白，8€(0,T[),可得sinB=—.

1616

由正弦定理得sirtA=-sinB=—.

b4

(2)选①：由正弦定理得。=竺”=4.

所以S—BC=^absinC=jx4x5x筝=

选②：由余弦定理/=a2+c2—2accosB,得25=16+c2-2x4xcx^.

即2c2-九-18=0,解得c=6(负值舍)，

所以S0BC="acsinB=-x4x6x亚^=竺".

△A-22164

4.【北京航空航天大学实验学校中学部2023届高三三模】已知函数/。)=得急.

(1)如果/(a)=g,试求sin2a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间.

【答案】(%；

(2)递增区间是(2kn—日,2kir—：)(k6Z),递减区间是(2/CTT—12kn+乎)(kGZ).

【详解】(1)函数f(x)=「施中，X七丰kn,k£Z,即xw/nr-jkez,

/(乃=詈生2_=鱼(cosx-sinx)=2cos(x+»由/'(a)=得cos(a+工)=3

Y(sinx+cosx)勺3、4Z3

所以sin2a=-cos(2a+])=-cos2(a+：)=-2cos2(a+：)+1=—2x(1)2+1=[.

(2)由(1)知，函数/(x)的定义域为{久€R|xW/nrEZ},即有cos(x+：)H±1,

由2/TTT-n<%+7<2kn,k6Z,得2kli--<x<2kn-EZ,

由2/nr<x4-7<2kn+n,kWZ,得2lcn--<x<2kn+—,k6Z,

444

所以函数f(x)的递增区间是(2k7T2kn—》(k€Z),递减区间是(2kn-%2kn+9(k€Z).

5.【北京市丰台区第二中学2023届高三三模】设函数f(x)=AsinQtcoscox+cos2a)xG4>0,3>0),从条

件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为己知，使得"%)存在.

⑴求函数/(%)的解析式；

(2)当％若函数g(%)=/(%)-M恰有两个零点，求m的取值范围.

条件①：/(x)=/(-%)；

条件②：f(x)的最小值为一也

条件③：/(X)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为今

【答案】(1)选择条件②③，/(x)=sin(2x+=)+i

⑵M)

【详解】(i)若选择条件①，

因为/(x)=^sin2(ox+cos2o)x,所以/(—x)=^sin(-2(z)x)+cos2(—wx)=-^sin2a>x+cos2wx,

由f(x)=f(—x)可得4sin23%=0对xGR恒成立,与A>0,co>0矛盾,

所以选择条件②③.

由题意可得/'(x)=^sin2a)x4-|cos2wx+1=^^sin(2o>x+</>)+1>

其中cos@=扁，sinw=^，

因为/(*)的最小值为一；，所以—旦+［=—匕解得4=百，

2222

所以sin*=点设一］<0<5，则0=也

由f(x)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为可得T=p

所以7=誓=71,解得3=1,

23

所以/(x)=sin(2x+1)+：.

⑵当xe［词时，2x+襄玲署

<2x+=<p解得所以/(x)在［。用上单调递增，

R.|<sin(2x+<1,则lWf(x)w|,

令上2x+三零，解得花》号，所以f(x)在［精］上单调递减，

旦-gWsin(2x+5W1,则0W/(x)<|,

因为函数g(x)=/(x)-m恰有两个零点，所以y=/(x)与y=m在［o,］］上有两个交点，

所以14m<I，即实数m的取值范围为

6.【北京市第八十中学2023届高三热身考试】已知函数九⑴=sin(%+习，g(x)=cos(x+习，再从条件

①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得/(x)的最小正周期为TT.求：

(l»(x)的单调递增区间；

(2)/(x)在区间［0,1上的取值范围及零点.

条件①：/(%)=h(x)+遮g(%);条件②：/(%)=九(%)•g(件;条件③：/(x)=/i(x)—g(件.

注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴［而一患,kn+/，fcGZ

⑵［-巴斗=

L42」3

［详解】(1)选①：/(x)=九(%)+Wg(x)=sin(x+7)+A/3COS(X+7)=2sin(x+7+7)

6663

=2sin(x+；)=2cosx,不满足/(x)的最小正周期为it.

选③:f(x)=h(x)-g(x)=sin(x+>-cos(x+》=V2sin(x+合》=V2sin(x--),不满足f(x)的最

小正周期为IT.

选②：/(X)=/i(x)•g(x)=sin(x+£)•cos(x+：)=|sin(2x+^),满足/'(x)的最小正周期为n.

令2/CTT-<2x+^<2/cn+keZ,解得/CTT——<x<kit+—^,kGZ,

23Z1212

所以/(x)的单调递增区间为阿一工,+/，kEZ

(2)当xe［0,；］时，<2x+^<y,

所以一日Wsin(2x+$<1.

所以/(x)=/in(2x+9G［一个,外

2x+==n+2kmkeZ且xe［0,J所以零点是今

7.【北京市人大附中2023届高三三模】在△ABC中，a,乩c分别为内角A,B,C所对的边，且满足sim4cos

(n

(1)求角A的大小；

(2)试从条件①②③中选出两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，写出你的选择,并以此为依

据求△力BC的面积.(注：只需写出一个选定方案即可)

条件①：a=2；条件②：B=彳；条件③：c=百人

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

【答案】(1)4=?

O

⑵选②③不合题意；选①②，面积为百+1;选①③，面积为8

【详解】(1)sinAcos(A+=i,sin/1gcosA—|sin4)=

x/3.441-2A1V3..11—cos2>41

-sinAcosA——sin'/=一，一smn2/——x------=一，

2244224

Ysin2/l+1cos2i4=1,sin(2A+5)=1,

由于0<A<IT4V24+2<至，所以=

6660Z0

(2)若选②③，三个已知条件是4=%8=：,0=百比没有一个是具体的边长，无法确定△ABC.

64

若选①②，三个已知条件是4=}B=5a=2,

64

由正弦定理得益=2=b=2V2,此时△ABC存在且唯一，

64

sinC=sinU+B)=2x^+^x^=鹏,

'722224

所以S—BC=|absinC=jx2X2或x0：虫=V3+1;

若选①③，三个已知条件是4=±c=V5瓦Q=2,

由余弦定理得M=b2+c2—2bccosA,

即4=炉+3/72—2bxx亨，解得b=2,c=2百，此时△ABC存在且唯一,,

所以SAABC=^besinA=|x2x2>/3xj=V3.

8.【北京市中关村中学2023届高三三模】已知函数/'(X)=2sin(we+J)+巾—次(3>0).在下列条件①、

条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定3和m值的两个条件作为已知.

(1)求/6)的值；

(2)若函数/(x)在区间［0,a］上是增函数，求实数a的最大值.

条件①：/(0)=2；条件②：f(x)最大值与最小值之和为0；条件③：f(x)最小正周期为优

【答案】⑴选条件①③时，/Q)=2；选条件②③，/Q)=V3.

(2谤

【详解】(I)由题意，

在f(幻=2sin(3%++m—V3(co>0)中，

选条件①②：

由①知，/(0)=2sin(；)—+m=2,所以m=2：

由②知，(2-M+m)+(-2-V5+m)=0,所以m=遮；矛盾.

函数f(x)不能同时满足条件①和②，

.••不能选①和②.

选条件①③：

由条件③得，7=含=m又因为3>0,所以3=2.

由①知，/(0)=2sin-V3+m=2,所以?n=2.

贝=2sin^2x++2—V3.

所以fg)=2sin(y)+2-V3=2

选条件②③：

由于/'(x)最小正周期为m所以3=2,所以/'(x)=2sin卜工+§+6一百；

由f(x)最大值与最小值之和为0,aW巳

/(x)min=-2-V3+m,/(x)max=2-V3+m,

故—2—%+?n+2—V5+ni=0，解得m=V3.

所以/(x)=2sin(2x+().故/1传)=2siny=V3.

(2)由题意及(1)得，

选条件①③：

在/'(x)=2sin(2x+三)+2—6中,

令—1+2kli<2x+^<^+2kn(k6Z),

—整+kti<x<-^+kit(k6Z),

函数/Xx)的单调增区间为卜工+Mr*+MT](keZ).

••・函数在区间[0,a]上单调递增，且06[-,哥，此时k=0,

所以

.♦.a的最大值为

选条件②③：

令一T+2kH<2x+^<^+2kMkeZ),所以一空+/at4xW—+fcn(fcGZ)，

2321212

所以函数/(X)的单调增区间为卜工+kn*+同(keZ).

因为函数在区间［0,a］上单调递增，且0€卜.此时％=0,

•••a的最大值为".

9.【北京市2023届高三高考模拟预测】在△4BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c.已知4=%bsin《+C)-

csing+B)=a.

(1)求证：sinB=cosC；

(2)若Q=VL求△ABC的面积.

【答案】(1)证明见解析

【详解】(1)证明：由bsin《+G-csin《+B)=a,

由正弦定理可得sinBsin(W+C)-sinCsin(^+B)=sin4.

sinB(ysinC4-ycosC)—sinC(jsinB+ycosF)=y.

整理得sinBcosC—cosBsinC=1,即sin(8—C)=1,

由于0<B<亚,0<C(当从而B-C=¥,sinB=sin(C+-)=cosC.

4422

(2)解：B+C=n-A=—,因此B=里，C=g

48o

由。=&,4=9,得b="萼=2sin/c=智=2sing,

4s\nA8s\nA8

所以三角形的面枳S=-bcsinA=V2sin—sin-=V2cos-sin-=-sin-=

28888242

10.【北京市房山区2023届高三二模】在UBC中，cos2F=-|,c=8,6=7.

⑴求sinC；

(2)若角。为钝角，求/MBC的周长.

【答案】(1)迪

7

(2)18

A

在A4BC中，因为cos2B=-/所以1-2siMB=-3

因为0<8<TT,sinB>0,所以sinB=立，

2

hr78

由=7得忑-sinC，

sinBsinC—

解得sinC=手

(2)因为sin2c+cos2C=1,C为钝角，所以cosC=_Jl—（手）2_1，

7

由/=Q?+炉—2abcosC,得8?=a24-72-2a•7-

整理得Q2+2Q—15=0,解得Q=3或a=—5（舍），所以。=3.

所以△48c的周长为a+b+c=3+7+8=18.

11.12023届北京市海淀区教师进修学校附属实验学校高考三模】在△ABC中，V3a=2bsinA.

⑴求出

（2）若b=y/7,c=3，求44BC的面积.

【答案】（呜或g

【详解】（1）因为百a=2bsin4由正弦定理可得,

V3sin?l=2sinBsin4

因为sin4>0,所以sinB=—»

2

且所以或

（2）由（1）可知8=孑或拳且匕=々,。=3,b<c,所以BVC

即8=三，由余弦定理可得，b2=a2-Fc2—2accosB,

即7=a?+9-2Qx3x%解得Q=1或Q=2,

当a=1时;SXABC=jacsinB=|xlx3xy=^,

当a=2时，ShABC=jacsinB=|x2x3xy=^!,

所以△ABC的面积为这或延.

24

12.【北京市东城区2023届高三二模】在△4BC中,bsin4-acos：=0.

⑴求㈤

(2)若b=3,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求(1及4

4BC的面积.

条件①:sin4+sinC=2sinB;

条件②:c=V3；

条件③:ac=10.

【答案】(1)B=W

(2)答案见解析

【详解】(1)由正弦定理得bsinA=asinB,

B

得asinB—acos-=0,

、,BBB

2asin-cos——acos-=n0,

222

因为0<^<~,

所以QCOS：H0.

则sin；*

所以**

No

所以8=1

(2)选条件①:sin4+sinC=2sinB.

因为力=3,F=psin/l+sinC=2sinB.

由正弦定理得a+c=2b=6,

由余弦定理得9=a2+c2-ac=(a4-c)2一3ac,

解得ac=9,

则新建

解得｛、;，

所以4人夕。存在且唯确定，

则SA.BC=|acsinF=*

选条件②:c=V3,

已知8==3,c=V5,

由正弦定理得sinC=：sinB="

因为c<b,

所以C=初=2,a=迎2+c2=2>/3.

所以△48c存在且唯一确定，

则S-BC=：bc=雷.

选条件③:ac=10,

由余弦定理得9=a2+c2—ac=（a+c）2—3ac,

即a+c=V39.

所以a（闻-a）=10,即a?-V39a+10=0.

因为（回:一4x10=-1<0，

所以不存在a使得△力BC存在.

13.【北京市朝阳区2023届高三二模】在△ABC中，a=4,b=5,cosC=：.

o

（1）求△ABC的面积；

⑵求c及sin"的值.

【答案】（1）改

4

（2）c=6,sinA=—

4

【详解】（1）由cosC=J且0VC<TG则sinC=江，

88

所以S.BC=|absinC=

(2)由c?=Q2+82-2abcosC=16+25-5=36,则c=6,

而.=白，贝人比4=竺型=亚・

sinesm/1c4

14.【北京市第一。一中学2023届高三三模】在“BC中，每in(B+弓)=-cos(B+*

(1)求B的值；

(2)给出以下三个条件：①a?-/+c2+3c=0；②a=V5,b=l；③SA^C=竽，若这三个条件中仅有

两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：

(i)求sin力的值；

(ii)求NA3c的角平分线5。的长.

【答案】⑴B=与

(2)正确条件为①③，(i)sim4=这，(ii)BD=^

【详解】(1)由题设bsin((+,)+cos(B+,)=2sin(B+,)=0,

而*1T&<,BDITT<J三4n，

所以B+g=n,故8=§；

(2)若①②正确，则c2+3c+2=(c+l)(c+2)=0,得c=-1或c=-2,

所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，

若②③正确，则SA4Bc=[absinC=竽，可得sinC=£>l,即②为错误条件,

综上，正确条件为①③，

(i)由2QCCOSB=@2+—力2,则c(3-Q)=0,即Q=3,

又S^ABC=jacsinB=号士可得c=5,

所以9—炉+25+15=0,可得b=7,则4三—-AT—3，

Sin4sinBV3

故sin4=—;

14

(ii)因为sinA=^^且46得cos4=Vl-sin2i4=挤

14\3/14

由8。平分4ABe得=p

在^ABD中，sinZ.ADB=sin(UBC+/l)=^x-+ix—=—

'72142147

_373

在△48。中，由胃=-^林，得8。=奈=9.

sm4sm£ADB处8

7

B

15.【北京市东城区2023届局三综合练习】已知函数/'(x)=2V3sina)xcosajx—2sin2a)x+1(0<o)<2).在

下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：

条件①：在"X)图象上相邻的两个对称中心的距离为今

条件②：f(x)的一条对称轴为％=也

(1)求你

(2)将"%)的图象向右平移三个单位(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在上的值域.

【答案】(1)3=1

⑵[-2,1]

【详解】(1)/(%)=2V3sincoxcoscox—2sin2cox+1

=V3sin2cox+cos2cox

n

=2sin(2a)x+—)

选①：/(%)图象上相邻两个对称中心的距离为今

则7=TT=/，则CO=1,

2a)

选②：f(%)的一条对称轴为％=也

贝l]2co--+-=/cn4--,k6Z,

662

:3=3k+1,乂0<co<2,则3=1,

于是/(%)=2sin(2x4-匀

(2)将/(%)=2$也(2工+?)的图象向右移三个单位长度(纵坐标不变)，

OD

得到函数g(x)=2sin[2(x—三)+勺=2sin(2x-g)=-2cos2x的图象

ooZ

V%G

•••2一号