广西壮族自治区南宁市中和中学高二数学理上学期摸底试题含解析

广西壮族自治区南宁市中和中学高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形参考答案：B【考点】余弦定理；正弦定理．

【专题】解三角形．【分析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2=，转化为1+cosA=+1，整理即可判断△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵cos2=，∴==+∴1+cosA=+1，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，sinA≠0，∴cosC=0，∴C为直角．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．2.下列结论正确的是

()A.若,则

B.若,则C.若,则

D.若,则参考答案：D3.，若是双元素集，则

（

）A、

B、或

C、

D、或参考答案：D4.在A（ab,a+b）在第一象限内，则直线不经过的象限是

（

）

A．一

B．二

C．三

D．四参考答案：C5.如图，P是正四面体V-ABC的面VBC上一点，点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，则动点P的轨迹是(

)A.直线 B.抛物线C.离心率为的椭圆 D.离心率为3的双曲线参考答案：C分析：由题设条件将点P到平面ABC距离与到点V的距离相等转化成在面VBC中点P到V的距离与到定直线BC的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状．详解：∵正四面体V﹣ABC∴面VBC不垂直面ABC，过P作PD⊥面ABC于D，过D作DH⊥BC于H，连接PH，可得BC⊥面DPH，所以BC⊥PH，故∠PHD为二面角V﹣BC﹣A的平面角令其为θ则Rt△PGH中，|PD|：|PH|=sinθ（θ为V﹣BC﹣A的二面角的大小）．又点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，即|PV|=|PD|∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC中，点P到定点V的距离与定直线BC的距离之比是一个常数sinθ，又在正四面体V﹣ABC，V﹣BC﹣A的二面角的大小θ有：sinθ=＜1，由椭圆定义知P点轨迹为椭圆在面SBC内的一部分．故答案为：C．点睛：（1）本题主要考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．(2)解答本题的关键是联想到圆锥曲线的第二定义.6.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m?α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m?α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m?α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．7.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是

A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知直线上的点与曲线上的点，则的最小值是A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.数列中，若，则的值为（）A．－1 B． C．1 D．2参考答案：A略10.若过点(3,1)总可以作两条直线和圆相切，则的取值范围是(

)(0，2)

(1，2)

(2，+∞)

(0，1)∪(2，+∞)参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100），则f'（0）=．参考答案：100!【考点】导数的运算．【分析】根据题意，将f（x）的变形可得f（x）=x[（x+1）（x+2）…（x+100）]，对其求导可得f′（x）=1?[（x+1）（x+2）…（x+100）]+x[（x+1）（x+2）…（x+100）]′，将x=0代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100）=x[（x+1）（x+2）…（x+100）]，其导数f′（x）=（x）′[（x+1）（x+2）…（x+100）]+x[（x+1）（x+2）…（x+100）]′=1?[（x+1）（x+2）…（x+100）]+x[（x+1）（x+2）…（x+100）]′则f′（0）=1×2×3×4×…×100+0=100！；故答案为：100!．12.设f″（x）是函数y=f（x）的导函数f′（x）的导数，定义：若f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），且方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的对称中心．有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”，请你运用这一发现处理下列问题： 设，则=

． 参考答案：2015【考点】导数的运算；函数的值． 【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用． 【分析】求出g（x）的对称中心，根据函数的中心对称特点将2015的函数值两两组合求出． 【解答】解：g″（x）=2x﹣1，令g″（x）=0得x=，g（）=1． ∴g（x）的对称中心为（，1）． ∴g（）+g（）=g（）+g（）=g（）+g（）=…=g（）+g（）=2， ∴=1007×2+g（）=1007×2+g（）=2014+1=2015． 故答案为2015． 【点评】本题考查了导数的运算，函数求值，属于中档题． 13.某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有

种． 参考答案：75【考点】计数原理的应用． 【专题】应用题；排列组合． 【分析】由题意分两类，可以从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，根据分类计数加法得到结果． 【解答】解：由题意知本题需要分类来解， 第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C31C63=60， 第二类，若从其他六门中选4门有C64=15， ∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法． 故答案为：75． 【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏． 14.已知某圆锥体的底面半径r=3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是．参考答案：36π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】圆锥的底面周长为侧面展开图的弧长，利用弧长公式计算展开图的半径即圆锥的母线长，代入公式计算得出面积．【解答】解：圆锥的底面积S底=π×32=9π，圆锥侧面展开图的弧长为2π×3=6π，∴圆锥侧面展开图的扇形半径为=9．圆锥的侧面积S侧==27π．∴圆锥的表面积S=S底+S侧=36π．故答案为：36π．15.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_________；的小大为__________．

参考答案：略16.抛物线y=﹣x2+2x与x轴围成的封闭区域为M，向M内随机投掷一点P（x，y），则P（y＞x）=

．参考答案：【考点】CF：几何概型．【分析】根据积分的知识可得先求y=﹣x2+2x与x轴围成的封闭区域为M的面积，再求出S阴影，最后代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：令y=﹣x2+2x=0，解得x=0或x=2，∴由抛物线y=﹣x2+2x与x轴围成的封闭区域SM=（﹣x2+2x）dx=（﹣x3+x2）|=﹣+4=，由，解得x=0或x=1，∴由抛物线y=﹣x2+2x与y=x围成的封闭区域S阴影=（（﹣x2+2x﹣x）dx=（（﹣x2+x）dx=（﹣x3+x2）|=﹣+=，故则P（y＞x）===，故答案为：17.已知椭圆，为椭圆上的一点，为椭圆的左右两个焦点，且满足，则的值为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦，（1）当＝135０时，求;（2）当弦被点平分时，求出直线的方程;（3）设过点的弦的中点为，求点的坐标所满足的关系式.参考答案：（1）过点做于，连结，当=1350时，直线的斜率为-1，故直线的方程x+y-1=0，∴OG=d=，

又∵r=,∴，∴

，

19.求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过两点；（2）过点P（﹣3，2），且与椭圆有相同的焦点．参考答案：【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）设出椭圆的标准方程，代入点的坐标，即可求得椭圆的标准方程；（2）由椭圆，求得焦点坐标，设所求椭圆的方程为，（a2＞5），将A（﹣3，2）代入椭圆方程，求得a2的值，即可求得椭圆的标准方程．【解答】解：（1）设所求的椭圆方程为mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0，m≠n），∵椭圆经过点，∴，解得m=，n=，∴所求的椭圆方程为；（2）∵椭圆的焦点为F（±，0），∴设所求椭圆的方程为，（a2＞5），把点（﹣3，2）代入，得，整理，得a4﹣18a2+45=0，解得a2=15，或a2=3（舍）．∴所求的椭圆方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查计算能力，属于中档题．20.(本题满分12分)命题关于的不等式对一切恒成立；函数是增函数，若为真，为假，求实数的取值范围．参考答案：解：设，由于关于的不等式对一切恒成立，所以函数的图象开口向上且与轴没有交点，故…3分函数是增函数，则有即

………………6分又由于为真，为假，可知一真一假．

………………8分（1）若，则此不等式组无解；

………………10分（2）若，则．综上可知，所求实数的取值范围为．

………………12分21.

某商场为了促销，采用购物打折的优惠办法：每位顾客一次购物：①在1000元以上者按九五折优惠；②在2000元以上者按九折优惠；③在5000元以上者按八折优惠。(1）写出实际付款y（元）与购物原价款x（元）的函数关系式；(2）写出表示优惠付款的算法；参考答案：（1）设购物原价款数为元，实际付款为元，则实际付款方式可用分段函数表示为：(2）用条件语句表示表示为：22.（本小题