三角形基础练习题(解析版)

专题17三角形基础

【专题目录】

技巧1:三角形三边关系的巧用

技巧2：三角形的三种重要线段

技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型

【题型】一、三角形的分类

【题型】二、构成三角形三边的条件

【题型】三、确定三角形第=边的取值范围

【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题

【题型】五、与三角形重心有关的计算

【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算

【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算

【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算

【考纲要求】

1、了解三角形和全等三角形有关的概念，掌握三旃形的三边关系.

2、理解三角形内角和定理及推论.

3、理解三衡形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质.

【考点总结】一、三角形的概念

由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形特性

(1)三角形有三条线段

(2)三条线段不在同一直线上］三角形是封闭图形

(3)首尾顺次相接J

三角形的概念

角三角形用符号“Δ”表示,顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”。

三角形按边分类：

形

等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，

的

另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

概等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。

念三角形三边的关(1)三角形的任意两边之和大于第三边。

系三角形的任意两边之差小于第三边。(这两个条件满足其中一个即可)

用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a,b,c,则a+b>c或c—b<a°

(2)已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围：∣a-b∣<c<a+b

【考点总结】二、三角形中的重要线段和有关的角

从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(笛

三角形的高概念

三角形的高)。

在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

角三角形的中线概

性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心三角形的中线可

形念

以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

中

三角形的角平分三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三

的

线概念形的角平分线。

重

三角形三个内角和等于180。。

要

推论：

线三角形的内角和

①直角三角形的两个锐角互余。

段定理

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

和

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

有

三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角

关三角形的外角和

性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.

的定理

2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

角

指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2

三线八角

对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。

【技巧归纳】

技巧1:三角形三边关系的巧用

【类型】一、判断三条线段能否组成三角形

1.下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是

()

A.4,4,8B.5,5,1C.3,1,9D.2,5,4

2.有四条线段，长度分别为48c∕n,∖0cm,12cm,选其中三条组成三角形，试问可

以组成多少个三角形？分别写出来.

【类型】二'求三角形第三边的长或取值范围

3.一个三角形的两边长分别为和3cm第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三

边的长是()

A.2CTM或4cmB.4cm或6cmC.4cmD.2cm或6cvn

4.如果三角形的两边长分别为3和5,则周长1的取值范围是()

A.6<1<15B.6<1<16C.11<1<13D.10<l<16

5.若三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10<m<22,则这样的三角形有

个.

【类型】三、三角形的三边关系在等腰三角形中的应用

6.等腰三角形的一条边长为6,另一条边长为13,则它的周长为()

A.25B.25或32C.32D.19

7.已知等腰三角形ABC的底边BC=8cm,IAC-BC∣=2cw,则AC=.

8.若等腰三角形的底边长为4,且周长小于20,则.它的腰长b的取值范围是.

【类型】四'三角形的三边关系在代数中的应用

9.已知三角形三边长分别为a,b,c,且∣a+b-c∣+∣a-b-c∣=10,求b的值.

10.已知a,b,C是AABC的三边长，b,c满足(b-2)2+∣c-3∣=0,且a为方程∣χ-4∣=2

的解，求AABC的周长.

【类型】五、利用三角形的三边关系说明边的不等关系

11.如图，已知D,E为AABC内两点，说明：AB+AOBD+DE+CE.

参考答案

1.A点拨：4+4=8,不能摆成三角形.

2.解：可以组成3个三角形，分别为：

(1)8cm,10cm,12cm；(2)4cm,10cm,12cm；(3)4cm,8cm,10cm.

3.B点拨：设三角形第三边的长为xcm,贝∣J5—3<x<5+3,即2<x<8.又在2到8之

间的整数有3,4,5,6,7,而三角形的周长x+3+5=x+8应为偶数，所以X也是偶数,

即X的值只能是4或6.所以三角形第三边的长是4cm或6cm.

4.D点拨：设第三边的长为X,则2<x<8,所以周长1的取值范围是3+5+2<l<3+5

+8,即10<l<16.

7

5.4点拨：设三边长分别为a,a+l,a+2,则m=3a+3,所以10<3a+3<22,解得

a<号19.所以a的值为3,4”5或6,经验证，都可以组成三角形，即这样一的三角形有4个.

6.C

7.10C7τz或6cm点拨：求出AC的长后要验证是否满足三角形的三边关系.

fb+b>4,

8.2<b<8点拨：由题意得C一“解得2<b<8.

(2b+4<20,

9.解：根据三角形的三.边关系，可知

a+b>c,b+c>a,

所以∣a+b-c∣+∣a—b—c∣=a+b-c+b+c—a=2b=10,

所以b=5.

X(x>0)，

点拨：因为IXl=,、所以涉及绝对值化简的题目，我们需考虑X的符号问

-χ(x<0)，

题.本题中绝对值符号内的式子都是关于三角形三边的关系式，我们需先运用三角形的三边

关系判断每一个式子的正负，再利用绝对值的意义求解.

10.解：因为(b—2)2对，∣C-3∣>O,且(b-2)2+∣c-3∣=0,所以(b—2-=0,∣c-3∣=0,解得

b=2,C—3.

由a为方程∣χ-4∣=2的解，可知a—4=2或a—4=—2,即a=6或a=2.

当a=6时，有2+3V6,不能组成三角形，故舍去：.

当a=2时，有2+2>3,符合三角形的三边关系.

所以a=2,b=2,c=3

所以△ABC的周长为2+2+3=7.

11.解：如图，将DE向两边延长分别交AB,AC于点M,N,在AAMN中，AM+AN>

MD+DE+NE；①

在ABDM中，MB+MD>BD;②

在ACEN中，CN+NE>CE;③

①+②+③，得AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE,所以AB+AC

>BD+DE+CE.

技巧2：三角形的三种重要线段

【类型】一、三角形的高

题型1：找三角形的高

1.如图，已知AB_LBD于点B,AC_LCD于点C,AC与BD交于点EzADE的边DE上

的ι¾为，边AE上的r¾为.

A

题型2：作三角形的高

2.（动手操作题）画出图中△ABC的三条高.（要标明字母一，不写画法）

题型3：应用三角形的高

3.如图，在AABC中，BC=4,AC=5,若Be边上的高AD=4.

⑴求△ABC的面积及AC边上的高BE的长；

⑵求AD：BE的值.

4.如图，在AABC中，AB=AC,DElAB,DF±AC,BG±AC,垂足分别为.点E,F,

试说明：DE+DF=BG.

【类型】二、三角形的中线

题型1：利用中线求长度

5.如图，AE是AABC的中线，己知EC=4,DE=2,则BD的长为（）

A.2B.3C.4D.6

6.如图，已知BE=CE,ED为AEBC的中线，BD=8,一△AEC的周长为24,则△ABC的

周长为（）

A

E

BDC

A.40B.46C.50D.56

7.在等腰三角形ABC中，AB=AC,一腰上的中线BD,将这个三角形的周长分成15ɑn和

两部分，求这个等腰三角形的三边长.

题型2：利用中线求面积

8.图，△ABC的三边的中线AD,BE,CF的公共点为G,且AG：GD=2：1,若SAABC

=12,则图中阴影部分的面积是.

(1)如图①，延长AABC的边BC到点D,使CD=BC,连接DA,若ZkACD的面积为Si,

则Sl=(用含a的代数式表示)；

(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连接

DE,若ADEC的面积为S2,则S2=(用含a的代数式表示)，请说明理由；

(3)如图③，在图②的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得到△DEF,若

阴影部分的面积为S3,则S3=(用含a的代数式表示).

【类型】三、三角形的角平分线

题型1：三角形角平分线定,义的直接应用

10.(1)如图，在AABC中，D,E,F是边BC上的三点，且N1=N2=/3=N4,以AE

为角平分线的三角形有;

(2)如图，若已知AE平分/BAC,且N1=N2=N4.=15。，计算N3的度数，并说明AE是

△DAF的角平分线.

题型2：三角形的角平分线与高线相结合求角的度数

11.如图，在AABC中，AD是高，AE是NBAC的平分线，NB=20。，ZC=60o,求NDAE

的度数∙

A

题型3：求三角形两内角平分线的交角度数

12.如图，在AABC中，BE,CD分别为其角平分线且交于点0.

(1)当∕A=60。时，求NBoC的度数；

(2)当NA=IOo。时，求NBOC的度数；

(3)当NA=α。时，求NBOC的度数.

参考答案

1.AB；DC.

2.解：如图.

3.解：⑴SAABC=DBC∙AD=y4x4=8.

因为SΔABC=∣AC∙BE=∣×5×BE=8,

所以BE=号

(2)AD:BE=4:^y=∣.

4.解：连接AD,因为SAABC=SAABD+SAADC,所以^AC∙BG=3AB∙DE+}AC∙DF.

又因为AB=AC,所,以BG=DE+DF.

点拨：”等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及垂宜的线段的关系时，常将线段的关系

转化为面积的关系来解决.

5.A

6.A点拨：因为△AEC的周长为24,所以AE+CE+AC=∙24.又因为BE=CE,所以AE

+BE+AC=AB+AC=24.又因为ED为4EBC的中线，所以BC=2BD=2x8=16.所以

ΔABC的周长为AB+AC+BC=24+16=40.

7.解：设AD=CD=XC巾，贝IJAB=2xcm,BC=(21—4x)cτn.∙

依题意，有八8+人口=15。加或人13+人口=6。"，则有2x+x=15或2x+x=6,

解得x=5或X—2.

当x=5时，三边长为IOcm,10cm,1cm；

当x=2时，三边长为4cn?,4cm,13cm,而4+4<13,故不成立.

所以这个等腰三角形的三边长为IOa“，IOa”，lew.

8.4点拨：：AG：GD=2：1,；.AG：AD=2：3,

•■S∆ABG-]SAABD-

又∙SAABD-^,SAABC，

,

∙∙SΔBGF=ISAABG=RAABC=4X12.=2.

同理SACGE=2,...图中阴影部分的面积为4.

9.解：(ɪ)a

⑵2a

理由：连接AD,因为SAABC=SAACD=SAAED=a,所以SADEC=2a.

⑶6a

10.解：⑴△ABC和^ADF

(2)因为AE平分NBAC,所以NBAE=NCAE.又因为Nl=N2=15。，所以NBAE=NI+

N2=15°+15°=30°.所以NCAE=NBAE=30°,即NCAE=/4+/3=30°.又因为/4=15°,

所以/3=15。.所以/2=/3=15。.所以AE是^DAF的角平分线.

11.解：在AABC中，ZB=20o,ZC=60°,所以/BAC=180。一/B-NC=I80。-20°

一60。=100。.又因为AE是NBAC的平分线，所以NBAE=；/BAC=；XlO0。=50。.在^ABD

中，NB+∕BAD+/BDA=I80°.又因为AD是高，所以/BDA=90。，所以NBAD=I80。

-ZB-NBDA=180°—20°—90°=70°.所以NDAE=/BAD—NBAE=70°-50°=20°.

点拨：灵活运用三角形内角和为180。，结合三角形的高及角平分线是求有关角的度数的常

用方法.

12.解：(D因为NA=60。,

所以NABC+/ACB=120°.

因为BE,CD为AABC的角平分线，

所以NEBC+NDCB=60。，

所以/BOC=180°—(NEBC+NDCB)=180°—60°=120°.

(2)因为NA=IO0。，

所以NABC+NACB=8(Γ.

因为BE,CD为△ABC的角平分线，

所以NEBC+∕DCB=40°,所以NBe)C=I80°一(NEBC+NDCB)=180°—40°=140

(3)因为NA=a。，

所以∕ABC+NACB=180°-a°.

因为BE,CD为△ABC的角平分线，

所以/EBC+NDCB=9(r-；a。，

所以NBoC=I80°—(NEBC+NDCB)=180°—(90°a°)=90o+∣ao.

点拨：第(1)问很容易解决，第(2)问是对前一问的一个变式，第(3)问就是类比前面解决问题

的方法用含a的代数式表示.

技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型

【类型】一、直接计算角度

1.如图，在AABC中，ZA=60o,NB=40。，点D,E分别在BC,AC的延长线上，则NI

2.在AABC中，三个内角NA,ZB,NC满足NB—NA=NC—NB,则NB=.

【类型】二、三角尺或直尺中求角度

3.把一个直尺与一块三角尺按如图所示的方式放置，若/1=40。，则N2的度数为()

A.125oB.120oC.140oD.130°

4.一副三角尺ABC和DEF如图放置(其中NA=60。，ZF=45o),使点E落在AC边上,

且ED〃BC,则/CEF的度数为.

5.一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作NCAF=/DCE,边AF交DC

的延长线于点F,求NF的度数.

【类型】三'与平行线的性质综合求角度

6.如图，AB√CD,NABE=60。，ZD=50o,求NE的度数.

【类型】四、与截角和折叠综合求角度

7.如图，在AABC中，ZC=70°,若沿图中虚线截去NC,则/1+N2等于()

A.360oB.250oC.180oD.140°

8.AABC是一.个三角形的纸片，点D,E分别是AABC边AB,AC上的两点.

(1)如图①，如果沿直线DE折叠，则NBDA，与/A的关系是；

(2)如果折成图②的形状，猜想/BDAT/CEA，和/A的关系，并说明理由;

(3)如果折成图③的形状，猜想NBDATNCEA，和/A的关系，并说明理由.

参考答案

1.80o2.60o3.D4.15°

5.解：因为/BCA=90。，NDCE=30。，

所以/ACF=180o-ZBCA-ZDCE=180°-90°-30°=60°.

,因为NCAF=ZDCE=30°,

所以/F=180o-ZCAF-/ACF=180°—30°—60°=90°.

6.解：因为AB〃CD,

所以/CFE=NABE=60。.

因为ND=50。，

所以NE=NCFE-ND.=60°—50°=10°.

7.B

8.解：⑴∕BDA'=2NA

(2)ZBDAz+ZCEA,=2ZA,

理由：•；在西边形ADA，E中，

ZA.+ZAz+ZADA'+ZA,EA=360o,

，ZA+NA'=360°.一NA.DA'-ZA,EA.

；NBDA'.+NADA'=180°,NCEA'+NA'EA=180°,

二NBDA'+∕CEA'=360°-NADA'-ZA,EA,

.*.ZBDA1+ZCEA,=ZA+ZA,.

V∆A,DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，

ΛZA=ZA',ΛZBDA,+ZCEA,=2ZA.

(3)ZBDA,-ZCEA'=2ZA.

理由：设DA咬AC于点F,

,.∙ZBDA1=ZA+NDFA,ZDFA=ZA,+ZCEA',

.∙.ZBDA,=ZA+ZA,+ZCEA,,

.,.ZBDA,-ZCEA,=ZA+ZA,.

V∆A,DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，

.∙.NA=NAt

ZB∙DA,-ZCEA,=2ZA.

【题型讲解】

【题型】一、三角形的分类

例1、已知AABC中NA:N5:NC=3:4:7,则AABC一定是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

【答案】B

【分析】

根据三个内角的比，利用三角形内角和定理可求出最大的角的度数，即可得答案.

【详解】

VZA：ZB：∕C=3:4：7,

,△ABC中最大的角为NC,

VZA+ZB+ZC=180o,

7

ΛZC=180o×-=90°,

14

...△ABC一定是直角三角形，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和为180。是解题的关键.

【题型】二、构成三角形三边的条件

例2、三角形的两边长分别为女m和6cm,则第三边长可能为（）

A.2cmB.3cmC.6cmD.9cm

【答案】C

【提示】根据一角形的三边关系判断即可.

【详解】6-3=3＜第三边长＜6+3=9,只有6cm满足题意,故选C.

【题型】三、确定三角形第=边的取值范围

例3、如图，ABC。的对角线AC,BO交于点。，若4C=6,BD=8,则48的长

可能是（）

A.10B.8C.7D.6

【答案】D

【提示】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关

系得到AB的取值范围，即可求解.

【详解】解：；四边形ABCD是平行四边形,

・・・OA」AC=3,BO」BD=4,

22

⅛ΔAOB中,

4-3<AB<4+3

Λl<AB<7,

结合选项可得，AB的长度可能是6,

故答案为：D.

【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题

例4、如图,在ΔA8C中，NACB=90°，过点C作CD,AB于点D,已知AC=I2,AB=I3,

则Co的长是（）

6065

A.5B.—C.6D.——

1312

【答案】B

【提示】先根据勾股定理求出BC的长度，然后利用等面积法即可求出CD的长度.

【详解】解：在ΔABC中，NAc6=90°，AC=I2，AB=I3，

*'•BC=JAB2-3=5,

∙∙∙SBC=-ACBC=-ABCD,

AABC22

.c、ACBC60

AB13

故选:B.

【题型】五、与三角形重心有关的计算

例5、如图，在AABC中，AD,BE分别是BC,AC边上的中线，且ADJ_BE,垂足为点F,

设BC=a,AC=b,AB=c,则下列关系式中成立的是（）

A.a2+b2=5c2B.a2+b2=4c2C.a2+b2=3c2D.a2+b2=2c2

【答案】A

【详解】设EF=x,DF=y,根据三角形重心的性质得AF=2y,BF=2EF=2x,利用勾股

定理得至IJ4χ2+4y2=c2,4χ2+y2=Jb2,χ2+4y2=Ja2,然后利用加减消元法消去x、y得至l]a、

44

b、C的关系.

【解答】解：设EF=x,DF=y,

VAD,BE分别是BC,AC边上的中线，

・•・点F为AABC的重心，AF=*AC=*b,BD=*a,

.∙.AF=2DF=2y,BF=2EF=2x,

VAD±BE,ΛZAFB=ZAFE=ZBFD=90o,

在Rt∆AFB中，4x2+4y2=c2,①

在RSAEF中，4x2+y2=^b2,②

4

在RtABFD中，χ2+4y2=2a2,③

4

②+③得5χ2+5y2=工(a2+b2),Λ4x2+4y2=^(a2+b2),④

45

①-④得C?-工(a2+b2)=0,即a?+b2=5c2.

5

故选：A.

【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算

例6、如图所示，直线EFIlGH,射线AC分别交直线EEG”于点2和点C,ADLEF于

点。，如果NA=20。，贝IJNACG=()

【答案】B

【提示】利用三角形的内角和定理，由AOLEF,∕A=20。可得NABQ=70。，由平行线的

性质定理可得NAC”，易得/4CG.

【详解】解：∙.∙AQLEF,ZA=20o,

ZABD=180o-ZA-ZABD=180°-20°-90°=70°,

,JEF//GH,

：.AACH=ΛABD=IQa,

：.NACG=I80°-ZACW=180°-70°=110°,

故选：B.

【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算

例7、如图，在四边形ABCD中，CDZ/AB,AClBC,若NB=50。，则/DCA等于()

【答案】C

【详解】由AC,BC可得NACB=90。，又/B=50。，根据直角三角形两个锐角互余可得

/CAB=40。，再根据平行线的性质可得NDCA=/CAB=40。.

【解答】解：VAC±BC,ΛZACB=90o,

又∙.∙∕B=50°,ΛZCAB=90°-ZB=40o,

VCD/7AB,ΛZDCA=ZCAB=40o.

故选：C.

【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算

例8、如图，己知AB//CQ,直线AC和8。相交于点瓦若/ABE=70。,NACD=40。,

则NAEB等于（）

A.50oB.60oC.70oD.80°

【答案】C

【提示】

先根据A5∕/CD得到NCz）E=NABE=70。，再运用三角形内角和定理求出NA£8的度

数即可.

【详解】

：AB//CD,

.∙∙NCDE=ZABE,

ZABE=70°,

：.ZCDE=脩

,.∙NCD+/CDE+NDEC=180°,且ZACD=40°,

；•ZDEC=180o-AECD-ΛCDE=180°-70°-40°=70°，

故选：C.

三角形基础（达标训练）

一、单选题

1.如图，在aABC中，。为BC的延长线上一点，若N8=70。，Zl=IIOo,则NA=（）

A.35°B.40°C.55°D.70°

【答案】B

【分析】直接利用三角形的外角性质进行求解即可.

【详解】解：；/8=70。，Zl=IlOo,Nl是AABC的外角,

ZΛ=Zl-ZB=40o,

故选：B.

【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质并灵活运用.

2.如图，已知直线AE〃B。，且/C=15。，Zl=IlOo,则/2的度数是（）

A.45oB.55°C.65oD.75°

【答案】B

【分析】根据“两直线平行，内错角相等“、"三角形内角和“求解：

【详解】

解：AE//BD,

；.N2=ZAEC（两直线平行，内错角相等），

在△月EC中，ZAEC=I80°-NC-Nl=55°,

,Z2=55o,

故选：B.

【点睛】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，结合图形应用相关性质和定理是解题

关键.

3.数学课上，同学们在作ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是

（）.

B.B

【答案】A

【分析】满足两个条件：①经过点8；②垂直AC,由此即可判断.

【详解】解：根据垂线段的定义可知，A选项中线段8E,是点B作线段AC所在直线的垂

线段，

故选：A.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，

属于中考常考题型.

4.某班级计划在耕读园里搭三角形围栏，可以选择三种长度的木条组合是（）

A.3、4、8B.4、4、8C.3、5、6D.5、6、11

【答案】C

【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，针对每一个选项进行计

算，可选出答案.

【详解】解：A、3+4<7,不能组成三角形，故此选项不符合题意：

B、4+4=8,不能组成三角形，故此选项不符合题意；

C、3+5>6,能组成三角形，故此选项符合题意；

D、5+6=11,不能组成三角形，故此选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成

三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度

即可判定这三条线段能构成一个三角形.

5.如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性.这样做蕴含

的数学道理是（）

A.三角形具有稳定性B.两点之间线段最短

C.经过两点有且只有一条直线D.垂线段最短

【答案】A

【分析】人字梯中间设计一“拉杆”后变成一个三角形，稳定性提高.

【详解】三角形的稳定性如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了,

三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性.

故选A

【点睛】本题考查三角形的稳定性，理解这一点是本题的关键.

二、填空题

6.如图，点8、C、。在同一直线上，AB//CE,若/A=55。，ZACB=65o,则/1为一°.

【答案】60

【分析】首先根据三角形内角和定理求得/8的度数，然后根据平行线的性质解答.

【详解】解：ZA=55o,ZACB=65°,

.∙.Z5=180°-55°-65°=60°,

AB//CE,

：.NI=N8=60。.

故答案为：60.

【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等''是解题的关键.

7.如图,在RlABC中，NC=90。，点E、尸分别是边AB、AC上,且AF=EA若NCFE'=72。,

则NB=°.

【答案】540

【分析】根据等腰三角形的性质以及外角知识求出NA的度数，根据直角三角形中两锐角互

补可求答案.

【详解】解：AF=EF

.-.ZA=ZAEF

NCFE是AAFE的一个外角

.∙.ZCFE=ZA+ZAEF=72°

,-.ZA=36°

在RJABC中，ZC=90°

.-.ZB=54°

故答案为：54°.

【点睛】本题主要考查了度数的求解，涉及到等腰三角形性质、外角知识以及直角三角形两

锐角互补，熟知相关知识是解决本题的关键.

三、解答题

8.如图，在四边形ABCo中，AB//CD,ZfiCO=130o,BE平分/ABC交AD干点E,

⑴求NABE的大小：

(2)若NArQ=48。，求/DE尸的大小.

【答案】⑴25。

(2)23°

【分析】(1)先由平行线的性质求出乙4BC=180。-NBC£>=180。-130。=50。，再根据解平分线

的定义求解即可；N8A/)=180。-NAoC=I80。-48。=132。，再根据三角形内角和定理求出

(2)先由平行线的性质求出NAEB=180。-NBAD-NA8E=23。，最后由对顶角性质得解.

(1)

解：VAB//CD,

：.ZABC+ZBCD=∖S0o,

：.NABC=180o-ZBCD=180o-130°=50°,

,.∙5E平分/ABC

ZABE=ɪ/ABC=L50°=25。；

22

(2)

解：VAB//CDf

.'.ZBAD+ZADC=180o,

ZBAD=180o-ZADC=180o-48°=132o,

,.βZBAD+ZΛβE+ZAEB=180o,

又由（1）知：NABE=25。，

ZAEB=180o-ZBAD-ZABE=180o-132o-25o=23o,

/.NDEF=NAEB=23。.

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，对顶角性质，熟练掌

握平行线的性质是解题的关键.

三角形基础（提升测评）

一、单选题

1.如图，点C,。在直线AB上，OClOD,若NACO=I20,则NB。。的大小为（）

A.120B.140C.150D.160°

【答案】C

【分析】根据垂直的定义及三角形外角的性质求解即可得出结果

【详解】解：；OC_LO。，

.∙.NO=90°,

∙.'ZACO=ZO+ZODC=UOo,

：.NOOC=30。，

ΛZBDO=150o,

故选：C.

【点睛】题目主要考查垂直的定义及三角形外角的性质、邻补角的计算等，结合图形，找出

各角之间的数量关系是解题关键.

2.一把直尺和一块三角板ABC（含45。角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边

分别交于点。和点E,另一边与三角板的两直角边分别交于点尸和点A,NCEZ）=25。,则NBal

的大小为（）

IlO0C.1150D.1250

【答案】C

【分析】先利用三角形外角性质得到NFDE=∕C+NCED=115。，然后根据平行线的性质得

到/8布的度数.

【详解】解：ZFDE=ZC+ZCED=90°+25°=115%

'：DE//AF,

：.ZBFA=ZFDE=W5°.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形外角性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键.

3.如图，BE是ABC的中线，ADJ.BC交BE于点F,且BD=AE,ZEAD50o,P∣∣JZEBC

的度数为（）

C.20°D.15°

【答案】C

【分析】连接DE，利用直角三角形中线性质，可得AE=DE=CE=BD,再利用等边对等角

性质即可求得答案.

【详解】解：连接。E,如图所示，

BE是OABC的中线，

，点E是AC的中点，

；.DE是ADC的中线，

又ADJ.BC,

.∙..ADC是直角三角形，ZADC=ZADB=90°,

AE=CE=DE，

又BD=AE,,

AE=DE=BD»

.∙.NEBC=NBED,力EAD=乙EDA,

ZEW=50°,

.∙.ZEAD=ZEDA=50°,

.∙.ZBDE=ZADB+ZEDA=140°,

.∙.NEBC=180°二/'"E=20°,

2

故选C.

【点睛】本题考查了直角三角形中线性质、等边对等角性质，灵活运用辅助线，根据直角三

角形中线性质构造等腰三角形，利用等边对等角性质是解题的关键.

4.如图，在；AfiC中，8。为AC边上的中线，已知BC=8,AB=5,ABCO的周长为20,

则AABO的周长为()

C.25D.28

【答案】A

【分析】根据三角形中线的性质可得ΛD=8,进而根据三角形周长可得%>+AD=12,

进而即可求解.

【详解】解：；在二ABC中，8。为AC边上的中线，

.,.AD^CD,

BC=8,AB=5,ABCD的周长为20,

.∙.8f>+AD=20-8=12,

ZXABD的周长为AB+8r>+AT>=5+12=17.

故选A

【点睛】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键.

5.如图，RAABC中，ZC=90o,8。平分/ABC交AC于点。，点E为AB的中点，若A8

=12,CQ=3,则ACBE的面积为()

D

AN------------ʌ------------------AB

E毋

A.10B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】如图：过。作力F∙1A8于尺然后根据角平分线的性质可得OF=办3,然后再根据

中点的定义求得B