七年级数学上册-专题强化：平行的判定和性质题型归纳 解析版

专题强化：平行的判定和性质题型归纳【题型归纳】题型一：平行公理及其推论1．（2024下·全国·七年级专题练习）平面内有三条直线，下列说法：①若，，则；②若，，则，其中正确的是（）A．只有① B．只有②C．①②都正确 D．①②都不正确【答案】A【分析】此题主要考查了平行公理和垂线，解题关键是注意同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行可得①正确；根据应为同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行可得②错误．【详解】解：①若，，则，该说法正确；②若，，则，说法错误，应为同一平面内，若，，则．故选：A．2．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级校考期中）已知在同一平面内三条直线a、b、c，若，，则a与b的位置关系是（

）A． B．或 C． D．无法确定【答案】C【分析】根据平行公理的推论即可得出．【详解】解：∵，，∴．故选C．【点睛】本题考查平行公理的推论．掌握平行于同一直线的两条直线平行是解题关键．3．（2023下·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知直线，，，且比大，那么的大小是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后计算出，结合比大，即可得解．【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，即，，∴，，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵比大，即，∴，∴，故选：D．

【点睛】本题考查平行公理的推论，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．掌握平行线的性质并作辅助线是解题的关键．题型二：平行线的判定4．（2024上·福建福州·七年级校联考期末）如图，点E在的延长线上，下列条件中，能判断的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定是解题的关键．分别对各选项进行判断，然后作答即可．【详解】解：由，可得，不能判断，故A不符合要求；由，可得，故B符合要求；由，可得，不能判断，故C不符合要求；由，可得，不能判断，故D不符合要求；故选：B．5．（2023下·七年级课时练习）如图，下列能判定的条件有（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题目中的条件，可以写出各个小题中的条件可以得到哪两条线平行，从而可以解答本题．【详解】解：①∵，∴，故①符合题意；②∵，∴，故②不符合题意；③∵，∴，故③符合题意；④∵，∴，故④符合题意；⑤，不能证明，故⑤符合题意；⑥∵．∴，故⑥不符合题意；故选：C．6．（2023下·广东梅州·七年级校考期中）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，则下列条件中，能判定的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是平行线的判定，由结合内错角相等，两直线平行可得，由结合同旁内角互补，两直线平行可得，由而且两个角不是内错角，不是同位角，不能判定两直线平行，由同理可得，熟记平行线的判定方法是解本题的关键．【详解】解：∵，∴，故A不符合题意；∵，∴，故B不符合题意；由，不能判定，故C不符合题意；∵，∴，故D符合题意；故选：D．题型三；平行线的性质定理7．（2024上·海南海口·七年级统考期末）如图，于点D，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟知直角三角形两锐角互余，两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出的度数，再次根据直角三角形两锐角互余求出的度数即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故选：D．8．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，在中，，，点是边上任意一点，过点作交于点，则的度数是(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，再由三角形的外角性质即可得出答案．【详解】解：，，，，，．故选：B．9．（2023下·重庆江津·七年级校考期中）如图，已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间．点B在点A的左侧，若，求的度数（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作，可得，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出，进而可求的度数．【详解】解：如图，过点作，∵，∴，，平分平分，，，故选：C．题型四：平行线性质的应用10．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，直线，含有角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线的性质，过B作，推出，由平行线的性质得到，，求出，即可得到．【详解】解：过B作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．故选：B．11．（2023下·山东青岛·七年级统考期中）按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，是折痕，若，则以下结论正确的是（

）①；②；③；④

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根据平行线的性质及翻折变换的性质对各结论进行逐一分析，即可解答．【详解】解：，，，①结论正确；由折叠可知，，，②结论错误；，，③结论正确；，且，，④结论正确；所以，以上结论正确的是①③④，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，解题关键是平行线的性质．12．（2024上·四川巴中·七年级统考期末）如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有（

）A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟记“一般地，从一个角的顶点出发，在角的内部把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线”，“当两直线所组成的角为直角时，称它们互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线”的相关概念，利用表示各个角度．根据角平分线的性质，角平分线和垂线的定义逐个分析计算即可．【详解】解：，，，，平分，，故①正确；，，，即平分，故②正确；，，，，，，，故③正确；，，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，故选：C．题型五：平行线之间的距离问题13．（2024下·新疆乌鲁木齐·七年级乌市八中校考期末）如图，，的角平分线与的角平分线AP相交于点P，作于点E，若两平行线与间的距离为4，则（

）

A．4 B．2 C．8 D．6【答案】B【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质，过点P作于M，交于N，如图，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出，，即可得出答案．【详解】解:过点P作于M，交于N，如图，

∴，∵的角平分线与的角平分线相交于点P，于点E，∴，，∴，∵，，∴，∴．故选：B．14．（2023下·广西桂林·七年级校联考期末）如图，，，点在上，，的面积为6，则的面积为（

）

A．6 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】的边上的高和的边上的高长度相同，设高为，可求得和之间的数量关系．【详解】∵，，∴．∵，∴的边上的高和的边上的高长度相同．设的边上的高和的边上的高为．根据题意，得，．∴．故选：C．【点睛】本题主要考查两条平行线之间的距离（如果两条直线平行，那么其中一条直线上每个点到另一条直线的距离都相等，这个距离，叫做这两条平行线之间的距离），牢记两条平行线之间的距离的定义是解题的关键．15．（2022下·河北石家庄·七年级校考期末）如图，点、为平面内两个定点，定直线，是直线上一动点，对下列各值：①的周长；②的面积；③点到的距离；④的大小.其中会随点的移动而变化的是（

）

A．②③ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【分析】根据平行线间的距离不变即可判断③；根据三角形的周长和点M的运动变化可判断①④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断②；进而可得答案．【详解】解：∵直线，∴点M到直线的距离不会随点M的移动而变化，故③正确；∵，的长随点M的移动而变化，∴的周长会随点M的移动而变化，的大小会随点M的移动而变化，故①④错误；∵点M到直线的距离不变，的长度不变，∴的面积不会随点M的移动而变化，故②正确；综上，不会随点M的移动而变化的是①④．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键．题型六：平行线的判定和性质的综合问题16．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，．(1)请说明：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义∶（1）根据同位角相等两直线平行，可证，进而利用平行线的性质和判定证明；（2）根据对顶角相等可求，根据三角形外角的性质可求，根据平行线的性质可得，再根据平角的定义可求的度数．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴．17．（2024上·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）如图，平分，，连接，使，且．

(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键．（1）根据内错角相等，两直线平行得出，进而利用同旁内角互补，两直线平行得出，进而解答即可；（2）根据平行线的性质得出，进而利用三角形的内角和定理解答即可．【详解】（1）证明：平分，，，，，，，，，，；（2）解：，，，，，，平分，．18．（2024上·湖南长沙·七年级校考期末）如图1，已知，，点F在上，射线交于点G，点E为射线上一点．(1)当点E在线段上时，若，，则_________；(2)如图2，当点E在延长线上时，此时与交于点H，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论：(3)如图3，平分，交于点K，交于点I，且，，，求的度数．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角计算求解．（1）过点E作，则，即可得到，，然后解题即可；（2）过点E作，则，即可得到，，然后解题即可；（3）设，则，，则，，根据列方程求出的值，即可得出的度数．【详解】（1）如图，过点E作，∵，∴，∴，，∴，故答案为：．（2）解：，理由为：如图，过点E作，∵，∴，∴，，∴，（3）∵，∴设，则，，∵，，∴由（2）结论知，，，∵平分，∴，即，解得：，∴，在中，．【专题强化】一、单选题19．（2024下·全国·七年级专题练习）下列说法错误的个数是（）①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了平行线、点到直线的距离等知识，注意平行公理是在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据平行公理、点到直线的距离，对选项逐一进行分析，即可得出答案．【详解】解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该说法错误；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故该说法错误；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故该说法错误；④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，该说法正确．综上所述，说法错误的是①②③，合计3个．故选：C．20．（2024下·江苏·七年级周测）如图，在下列条件中，能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断、是否平行即可．【详解】解：A、，（内错角相等，两直线平行），故A正确，符合题意；B、根据只能判定，故B错误，不符合题意；C、根据只能判定，故C错误，不符合题意；D、根据只能判定，故D错误，不符合题意；故选：A．21．（2024下·七年级课时练习）下列命题；①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则；其中真命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用平行线的性质及判定，即可判断①③④，根据锐角和钝角的特点即可判断②，分别判断后确定正确的选项，即可解题．【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；②两个锐角的和不一定是钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；正确，是真命题，符合题意；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则，正确，是真命题，符合题意；综上所述，真命题有2个，故选：B．22．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，将长方形纸片沿折叠，得到，与交于点E．若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查折叠性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，掌握折叠性质是解答的关键．根据折叠性质和平行线的性质得到，再利用三角形的内角和是求解即可．【详解】解：由题意可知：，，∴，由折叠的性质可知：，∴．故选：B．23．（2024下·全国·七年级专题练习）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于点，先利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：延长交于点，∵，∴，∵是的一个外角，∴，故选：A．24．（2024上·河南鹤壁·七年级统考期末）小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图所示，已知，，是边上一点（不与，重合）．小方说：“如果还知道，则能得到”；小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到”；小明说：“一定大于”；小杰说：“如果连接，则一定平行于”．他们四人中，有几个人的说法是正确的？（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，准确分析判断是解题的关键．由，，知，得到，然后根据平行线的性质和判定即可得出答案．【详解】已知，，∴，∴，小方：若，∴，∴，∴，故小方的说法是正确的；小辉：若，∴，∴，∵，∴，故小辉的说法是正确的；小明：不一定大于，故小明的说法是不正确的；小杰：如果连接，则不一定平行于，故小杰的说法是不正确的；综上所述，正确的说法有2个．故选B．25．（2024下·全国·七年级专题练习）如图所示，，，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质以及三角形外角的性质．假设与的交点为，由平行的性质可求出，再根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，即可求解．【详解】解：假设与的交点为，，；，．故选:C．26．（2024上·四川眉山·七年级统考期末）如图，在中，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论个数是（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的性质、垂线的定义、角平分线的定义，由平行线的性质结合可得，即可判断①；由垂线的定义可得，从而得出，，结合，即可判断③；由平行线的性质可得，从而得出，即可判断②；由已知条件无法证出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：，，，故①正确，符合题意；，，，，，，故③正确，符合题意；，，，平分，故②正确，符合题意；由已知条件无法证出，故④错误，不符合题意；综上所述，正确的有①②③，共个，故选：C．27．（2024上·四川宜宾·七年级统考期末）如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，平行线间的距离处处相等等相关内容，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．利用，平分，平分，可以判断出①②正确；再证明，再利用，可判断出③正确；根据，推出与是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确．【详解】解：∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，，∴，故①②正确；∵，∴，∵，，∴，故③正确；∵，∴与是等底等高的三角形，∴，∴，故④正确，∴①②③④正确．故选：D．28．（2024·全国·七年级竞赛）如图，直线，交于点，连接，则、与之间的数量关系是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质；熟练掌握平行于同一直线的两直线互相平行、两直线平行，内错角相等、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．根据平行线的判定和性质可得，；结合题意可得；根据三角形的外角性质可得，即可求解．【详解】解：过点作，延长交于点，则，如图：∵，，∴，，∵，∴，在中，，即，∴．故选：C．二、填空题29．（2024上·湖南长沙·七年级校考期末）如图，在下列给出的条件中，不可以判定的是（填序号）①；②；③；④．【答案】③【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．【详解】①∵，∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意；②∵，∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意；③∵，∴（同旁内角互补，两直线平行），符合题意；④∵，∴（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；故答案为：③．30．（2024上·山西临汾·七年级统考期末）如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是．（只填序号）【答案】①②③④【分析】本题考查了平行线的判定和平行线有关的辅助线，根据各选项逐项判定即可．【详解】解：若，根据内错角相等两直线平行可得，故①符合题意；若，根据同旁内角互补两直线平行可得，故②符合题意；若，∵∴，根据同位角相等两直线平行可得，故③符合题意；若，过点C作直线b，则，由已知，，∴，∴直线a，∴，故④符合题意；故答案为：①②③④31．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中说法正确的有个．【答案】1【解析】略32．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，E是BA延长线上一点，有下列条件：①；②；③且；④．其中能判定的是（填序号）．【答案】③④【详解】解:①中，因为，所以（内错角相等，两直线平行），不符合题意；②中，因为，所以（同位角相等，两直线平行），不符合题意；③中，因为且，所以，所以（内错角相等，两直线平行），符合题意；④中，因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），符合题意，33．（2024上·河南新乡·七年级统考期末）已知直线，为两直线间一定点，，若点为平面内一动点，且满足，连接，，则的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为．【答案】或【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义，根据题意可分两种情况进行讨论，一种是点F在下方，一种是点F在上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质，理解角平分线的定义是解决问题的关键．【详解】解：当点F在下方时，过点F作，过点E作，如图1所示：设，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；②当点F在上方时，过点E作，如图2所示：设，∵，，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，综上所示：的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为或，故答案为：14°或37°．34．（2024上·福建福州·七年级校考期末）如图，，点是边上一点，连接交的延长线于点．点是边上一点．使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为．

【答案】/35度【分析】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平分线、外角定理，本题关键是掌握有关定理、定义，题目难度较大．，，则，则，在中，，故，即可等量代换求解．【详解】解：，，，的角平分线为，，，，而，，，，，，，，．故答案为：35．（2024上·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）如图①，，分别在上，且．如图②，将绕点以的速度逆时针转动，将绕点以的速度逆时针转动，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当旋转至所在射线后，二者同时停止转动，则在旋转过程中，当与互相平行或互相垂直时，的值为．【答案】2或6.5【分析】本题考查了一元一次方程的应用、平行线的性质等知识，分与互相平行及与互相垂直两种情况，找出关于的一元一次方程是解题的关键．利用“旋转时间的度数射线的旋转速度”，可求出转至所在射线所需时间，当运动时间为秒时，，，当与互相平行时，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；当与互相垂直时，由，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．综上即可得出答案．【详解】解：（秒），当运动时间为秒时，，，当与互相平行时，，即，解得；当与互相垂直时，，即，解得．∴当与互相平行或垂直时，的值为2或6.5．故答案为：2或6.5．三、解答题36．（2024下·黑龙江绥化·七年级校考开学考试）如图，已知．

(1)求证：；(2)若平分，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键．（1）由证得，得到，结合可得，由此可证得；（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，由平分求出，根据两直线平行，内错角相等，得出．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．37．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，已知：中，D、E、F、G分别在、和上，连接、和，，．(1)判断与的位置关系，并证明；(2)若，，求的度数．【答案】(1)，理由见详解(2)【分析】本题考查了平行线的性质和判定，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．（1）先证明，可得，等量代换后可得，继而得到；（2）由平行线同旁内角互补，可得，根据平行线内错角相等可得，依据，可计算出．【详解】（1）解：，理由如下：∵，∴，∴，又∵．∴，∴．（2）由（1）可知，，．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．38．（2024下·江苏·七年级周测）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，．

(1)若点在图（）位置时，求证：；(2)若点在图（）位置时，请直接写出、、之间的关系；(3)若点在图（）位置时，写出、、之间的关系并给予证明；(4)若点在、两点外侧运动时，请直接写出、、之间的关系．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)当在点上方时，，当在点下方时，．【分析】（）根据两直线平行，内错角相等，结合图形的位置，可以得到、、之间的关系；（）根据两直线平行，内错角相等，结合图形的位置，可以得到、、之间的关系；（）根据的位置，结合两直线平行，同旁内角互补，可以得到、、之间的关系；（）根据图形，可以确定分为当P在点上方，当在点下方两种情况，结合前面的证明，可以确定（）的答案；本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和正确添加辅助线．【详解】（1）证明：如图，

过作，

∵，∴，∴，，∵，∴；（2），理由：如图，

过作，

∵，∴，∴，，∵，∴；（3），如图，

过作，∵，∴，同（）可证得：，∵，，∴，即；（4）当在上方时，不妨将点设为，如图，

过作，

∵，∴，同（）可证：，∵，，∴，即；当在下方时，不妨将点设为，如图，过作，∵，∴，解法同上，，综上可知：当在点上方时，，当在点下方时，．39．（2024上·河南南阳·七年级统考期末）【课题学习】平行线的“等角转化”．如图，已知点是外一点，连接，求的度数．解：过点作，，，又．．【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．【方法运用】（2）如图所示，已知，、交于点，，在图的情况下求的度数．（3）如图，若，点在，外部，请直接写出，，之间的关系．【答案】（1）；；；（2）；（3），理由见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定：（1）过点作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答；（2）过点作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直