学考专题07 三角函数与三角恒等变换（解析版）

学考专题07三角函数与三角恒等变换考点归纳考点归纳角的定义平面内一条射线绕着端点从一位置旋转到另一个位置所形成的的图形叫做角；射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边角的分类按照角终边的位置可分为（象限角和轴线角）按照选择方向可分为（正角（逆时针选择）、负角（顺时针选择）和零角（不旋转））象限角第Ⅰ象限角：，或，第Ⅱ象限角：，第Ⅲ象限角：，第Ⅳ象限角：，或，轴线角终边落在轴正半轴上：，终边落在轴负半轴上：，终边落在轴正半轴上：，终边落在轴负半轴上：，终边落在轴上：，，终边落在轴上：，终边落在坐标轴上：，，终边落在上：，终边落在上：，或：，终边相同的角与终边相同的角的集合为：，角度与弧度的关系，扇形的弧长、周长及面积公式角度制弧度制弧长公式面积公式周长公式是扇形的半径，是圆心角的度数是扇形的半径，是圆心角弧度数，是弧长三角函数的定义，正弦线：，余弦线：，正切线：三角函数在各象限内的符号特殊角的三角函数值度弧度00100100101不存在0不存在0 两角互余的三角函数关系互余，，已知，则：两角互补的三角函数关系互补，，，已知，则：，三角混合不等式，同角三角函数的基本关系平方关系：商数关系：推导公式：考点：弦切互化已知求解：同时除以得：已知求解：同时除以得：诱导公式诱导类型或，，或，，或，，诱导方法：奇变偶不变，符号看象限奇偶指的是或中的奇偶，若为奇数，变函数名；，若为偶数，不变函数名；，，象限指的是原函数名的象限，再判断符号规定：无论角多大，看作第一象限角（锐角）诱导公式，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，三角函数的图象与性质函函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴三角函数型函数的图象和性质正弦型函数、余弦型函数性质，振幅，决定函数的值域，值域为决定函数的周期，叫做相位，其中叫做初相正切型函数性质的周期公式为：三角函数的伸缩平移变换伸缩变换（，是伸缩量）振幅，决定函数的值域，值域为；若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比决定函数的周期，若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比平移变换（，是平移量）平移法则：左右，上下正弦的和差公式余弦的和差公式正切的和差公式正弦的倍角公式 余弦的倍角公式升幂公式：，降幂公式：，正切的倍角公式推导公式辅助角公式，，其中，，，其中，真题训练真题训练一、单选题1．（2023秋·广东佛山·高三统考学业考试）下列各角中与终边相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.【详解】，，，，因此，只有A选项中的角与终边相同.故选：A.2．（2023秋·广东·高三统考学业考试）下列各角中与角的终边相同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】写出与角的终边相同的角为，选出正确答案.【详解】与角的终边相同的角为，当时，，B正确；经验证，其他三个选项均不合要求.故选：B3．（2023·广东·高三统考学业考试）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用诱导公式化简求值即可．【详解】故选：B4．（2023秋·广东·高三统考学业考试）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解.【详解】；；原式.故选：C5．（2023秋·广东·高三统考学业考试）＝（

）A．0 B． C． D．1【答案】D【分析】直接利用两角和的正弦公式即可计算.【详解】.故选：D6．（2023·广东·高三统考学业考试）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正切函数的定义计算．【详解】由题意．故选：D．7．（2023·广东·高三统考学业考试）要获得，只需要将正弦图像（

）A．向左移动个单位 B．向右移动个单位C．向左移动个单位 D．向右移动个单位【答案】A【分析】根据三角函数图象变换的概念判断.【详解】把的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式为．故选：A．8．（2023·广东·高三学业考试）为了得到函数的图象，只要把函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】A【分析】根据三角函数的平移变换规则计算可得.【详解】因为，所以只需把函数的图象向左平移个单位长度，就可以得到函数的图象.故选：A9．（2023·广东·高三学业考试）已知角的始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据任意角的三角函数的定义求解.【详解】由已知得，.故选：D.10．（2023·广东·高三统考学业考试）已知，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知角的余弦值及所在象限求其正弦值，进而可求【详解】由，，知：∴故选：A【点睛】本题考查了利用同角三角函数关系求正切值，根据角的余弦值及所在象限求正弦值，由同角正切与正余弦关系求正切值11．（2023·广东·高三学业考试）已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为（

）A． B． C． D．60【答案】B【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.【详解】易知，由扇形弧长公式可得.故选：B12．（2023秋·广东佛山·高三统考学业考试）关于函数描述正确的是（

）A．最小正周期是 B．最大值是C．一条对称轴是 D．一个对称中心是【答案】D【分析】利用三角恒等变换化简得解析式，再利用正弦型函数的图像和性质得出结论.【详解】解：由题意得：选项A：函数的最小正周期为，故A错误；选项B：由于，函数的最大值为，故B错误；选项C：函数的对称轴满足，，当时，，故C错误；选项D：令，代入函数的，故为函数的一个对称中心，故D正确；故选：D13．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知，则(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数诱导公式和余弦二倍角公式即可计算求值．【详解】．故选：A．14．（2023秋·广东·高三统考学业考试）函数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据辅助角公式化简即可求解.【详解】，故最大值为2故选：B15．（2023·广东·高三统考学业考试）若，则的值为（）A．－ B． C．－3 D．3【答案】A【分析】根据和差角的正切公式即得.【详解】∵，∴．故选：A.16．（2023·广东·高三学业考试）将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数图像平移变换和伸缩变换法则，即可得出函数的解析式．【详解】函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图像，再将图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像.故选：C17．（2023·广东·高三统考学业考试）函数的最小正周期是（）A． B．π C．2π D．4π【答案】D【分析】利用正弦函数的周期求解．【详解】f(x)的最小正周期为．故选：D．18．（2023·广东·高三统考学业考试）函数的最小正周期为（

）A． B．π C．2π D．4π【答案】D【分析】利用余弦型函数的周期公式进行求解.【详解】∵，∴最小正周期．故A，B，C错误.故选：D.19．（2023·广东·高三统考学业考试）若函数是偶函数，则可取一个值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据偶函数的定义得,结合选项可确定答案.【详解】∵函数是偶函数，∴，即.∴或.当时，可得，不满足函数定义.当时，,若，解得，故A错误;若，解得，故B正确;若，解得，故C错误;若，解得，故D错误;故选:B.20．（2023·广东·高二统考学业考试）函数y＝－2cos2＋1是()A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的非奇非偶函数【答案】A【详解】分析：详解原式根据降幂公式化简，然后计算周期和判断奇偶性即可.详解：由题可得：故周期为π，并且是奇函数，所以选A.点睛：考查三角函数的降幂公式，周期计算和就像判断，属于基础题.21．（2023·广东·高三统考学业考试）已知，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：∵，，∴，∴，∴．考点：平方关系、倍角关系．22．（2023·广东·高三统考学业考试）已知，则A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角正弦公式可知同号，又，从而得到结果.【详解】由可得，即同号，又，∴故选A【点睛】本题考查二倍角正弦公式，同角关系中的商数关系，属于基础题.23．（2023·广东·高三统考学业考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】，所以有：.故选：B24．（2023·广东·高三学业考试）若，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式和二倍角公式即可求解.【详解】∵，∴.故选：C.25．（2023秋·广东·高三统考学业考试）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式以及两角差的正弦公式可求得所求代数式的值.【详解】因为，所以，.故选：C.26．（2023·广东·高三统考学业考试）函数是（

）A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数【答案】D【分析】因为函数，由奇偶函数的定义结合求周期的公式即可得出答案.【详解】解析：函数，故该函数为偶函数，且它的最小正周期为.故选：D.27．（2023·广东·高三统考学业考试）下列函数中，使得函数在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用辅助角公式化简中的，利用代入检验的方法可知正确、错误；根据正弦函数的单调性可确定错误.【详解】中，当时，，此时单调递增，正确；中，当时，，此时不单调，错误；中，，当时，不单调，错误；中，，当时，不单调，错误.故选：【点睛】本题考查正弦型函数单调性的求解问题，涉及到辅助角公式化简三角函数的问题；关键是能够熟练掌握代入检验的方法，根据整体对应的情况，结合正弦函数性质求得结果.28．（2023·广东·高三统考学业考试）已知，，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【详解】∵，，∴，∴．故选．29．（2023·广东·高三统考学业考试）设函数（，），已知函数的图象相邻的两个对称中心的距离是，且当时，取得最大值，则下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期是 B．函数在上单调递增C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称【答案】A【分析】根据正弦函数的周期性，利用整体思想，建立方程，可得函数解析式，利用整体代入的方法，结合单调性以及对称性，可得答案.【详解】由题意，的最小正周期，∴.∵当时，取得最大值，即，.∴，.∵，∴.∴.对于A，正确；对于B，当时，，由正弦函数的单调性可知错误；对于C，由，，故错误；对于D，由，，故错误.故选：A.二、填空题30．（2023秋·广东·高三统考学业考试）若，则.【答案】3【分析】根据同角三角函数的商数关系得到，结合正切的差角公式进行求解.【详解】因为，所以，，故.故答案为：331．（2023·广东·高三学业考试）在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则.【答案】【分析】根据三角函数的定义求得正确答案.【详解】依题意，.故答案为：32．（2023·广东·高三统考学业考试）设，若，则的值为【答案】【分析】利用同角三角函数平方关系可得，由两角和差余弦公式可求得结果.【详解】，，，.故答案为：.33．（2023·广东·高三统考学业考试）已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角的大小为．【答案】【解析】圆锥的底面半径为1，高为，则圆的周长是2，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.【详解】圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的母线长为，即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长即为展开后所得扇形的弧长，所以根据弧长公式可知，解得故答案为：34．（2023·广东·高二统考学业考试）若为钝角，且，则的值为.【答案】【分析】根据同角三角函数平方关系可求得，利用二倍角公式可求得结果.【详解】为钝角

故答案为：【点睛】本题考查利用二倍角公式求值的问题，涉及到同角三角函数平方关系的应用，易错点是忽略角所处的范围，造成三角函数值符号求解错误.三、解答题35．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数，(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数在上有零点，求的取值范围．【答案】(1)，k∈Z(2)【分析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，再结合余弦函数的单调性求解即可；（2）转化为方程在上有解即可.【详解】（1）当，k∈Z时，单调递增，∴函数的单调递增区间为，k∈Z．（2）函数在上有零点，也就是在上有解．∵当时，．∴a的取值范围是．36．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数.(1)求函数f（x）的最小正周期和最大值；(2)求函数f（x）的单调递减区间.【答案】(1)最小正周期为，最大值为2(2)【分析】（1）用辅助角公式化简原函数，即可得到最小正周期和最值；（2）将代入正弦函数的递减区间，解得x的范围即可.【详解】（1）.，即函数的最小正周期为.，即，则的最大值为2.（2）令，解得，所以函数的单调递减区间为.37．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)见解析【分析】(1)首先化简三角函数式，然后确定平移变换之后的函数解析式即可；(2)结合(1)中函数的解析式确定函数的最大值即可.【详解】（1）.由题意得，化