2022年天津第一零九中学高二数学理联考试题含解析

2022年天津第一零九中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从集合中随机取出一个数，设事件为“取出的数为偶数”，事件为“取出的数为奇数”，则事件与

(

)A．是互斥且对立事件

B．是互斥且不对立事件C．不是互斥事件

D．不是对立事件

参考答案：A2.下面使用类比推理正确的是

(

)A.“若则”类推出“若,则”B.“若”类推出“”C.“若”类推出“

”D.“”类推出“”参考答案：C：A、B、D类比结论错误，只有C正确；3.直线y=kx+1﹣k与椭圆的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线y=kx+1﹣k=k（x﹣1）+1，恒过点P（1，1），只需判断点P（1，1）与椭圆椭圆的位置关系即可【解答】解：直线y=kx+1﹣k=k（x﹣1）+1，恒过点P（1，1），∵，∴点P（1，1）在椭圆的内部，∴直线y=kx+1﹣k与椭圆的位置关系为相交．故选：A．【点评】本题考查了只限于椭圆的位置关系，属于基础题．4.已知是自然对数的底数，则(▲)A.

B.

C.0

D.1参考答案：C略5.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋2y的最大值为 ()A．12

B．10 C．8

D．2参考答案：B6.定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x﹣1）f′（x）﹣f（x）＞0恒成立，a=f（2），b=f（3），c=（+1）f（），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜bB．b＜c＜aC．a＜c＜bD．c＜b＜a参考答案：A7.已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则双曲线的方程为（）A． B．﹣=1C． D．参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的焦距以及渐近线方程，推出a，b的方程，求解即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的焦距为，可得c=，即a2+b2=5，…①双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0，可得a=2b，…②，解①②可得a=2，b=1．所求的双曲线方程为：．故选：A．8.下列命题为真命题的是

(

)A.椭圆的离心率大于1；B.双曲线的焦点在轴上；C.，；D..参考答案：D略9.若函数f（x）=x+在点P处取得极值，则P点坐标为（）A．（2，4） B．（2，4）、（﹣2，﹣4） C．（4，2） D．（4，2）、（﹣4，﹣2）参考答案：B【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号，得到极值点，从而求出极值点坐标即可．【解答】解：因为f'（x）=1﹣=0?x=±2．又∵x≠0，∴x＜﹣2或x＞2时，f'（x）＞0?f（x）为增函数；﹣2＜x＜0或0＜x＜2时，f'（x）＜0，的f（x）为减函数．故±2是函数的极值点．所以点P的坐标为（2，4）、（﹣2，﹣4）故选B．10.有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为(

)A．45 B．55 C．90 D．100参考答案：A【考点】归纳推理．【专题】等差数列与等比数列；推理和证明．【分析】用特殊值法，假设每次分出一个，分别求出每一次的乘积，然后等差数列的性质相加可得答案．【解答】解：假设每次分堆时都是分出1个球，第一次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣1个，则乘积为1×（n﹣1）=n﹣1；第二次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣2个，则乘积为1×（n﹣2）=n﹣2；依此类推最后一次应该是应该一堆是1个球，另一堆1个，则乘积为1×1=1；设乘积的和为Tn，则Tn=1+2+…+（n﹣1）=n（n﹣1）当n=10时，T10=×10×（10﹣1）=45故选：A【点评】本题主要考查等差数列的求和．属基础题．在解答选择填空题时，特殊值法是常用方法之一．解决本题的关键在于特殊值法的应用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为

．参考答案：812.函数的定义域是

；参考答案：略13.双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则的面积为__________参考答案：【分析】计算双曲线的渐近线，过点P作x轴垂线，根据，计算的面积.【详解】双曲线，一条渐近线方程为：过点P作x轴垂线PM，的面积为故答案为【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，三角形面积，意在考查学生的计算能力.14.从中任取三个数字，从中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个？参考答案：

解析：不考虑的特殊情况，有若在首位，则

15.不等式|x﹣2|﹣|x|≥0的解集为_________．参考答案：.16.在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，则的最大值为

.【解析】设，，最大值为2参考答案：设，，最大值为2【答案】【解析】略17.已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，则实数a的值为______．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，在直三棱柱中，，，点分别为和的中点。（Ⅰ）证明：∥平面;

（Ⅱ）求三棱锥的体积。参考答案：（Ⅰ）解法1，连接……………5分解法2，P为的中点，连接PN和PM，由中位线定理知,即（Ⅱ）法一：

平面法二：连接，为的中点，平面……………12分19.下面是几何体的三视图及直观图.（1）试判断线段BE上是否存在一点H，使得平面，请说明理由；（2）证明：.参考答案：解：(1)存在线段的中点，使得平面，理由如下：由三视图可知，，且平面，平面取的中点，连接，因为为中点，所以，且因为四边形是直角梯形，，且，所以，所以四边形为平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，所以，所以，因为四边形为矩形，所以，，所以平面，又，故平面，平面，所以，故，因为四边形为直角梯形，，且，所以，∴.又，即，故.

20.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数的值；(2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围；(3)证明:对任意的正整数,不等式都成立.参考答案：解:(1)

…………1分时,取得极值,

…………2分故解得经检验符合题意.…………3分（2）由知

由,得

令则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根.

当时,,于是在上单调递增;

当时,,于是在上单调递减.…………6分依题意有,解得,

…………8分(3)的定义域为,由(1)知,令得,或(舍去),

当时,,单调递增;当时,,单调递减.为在上的最大值.

,故(当且仅当时,等号成立)对任意正整数,取得,

…………10分.故.…………12分21.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=3，f′=0，f（1）=4可求出a，b，c的值，得到答案．（2）由（1）可知函数f（x）的解析式，然后求导数后令导函数等于0，再根据导函数的正负判断函数在[﹣3，1]上的单调性，最后可求出最值．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f′（x）=3x2+2ax+b当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①当x=时，y=f（x）有极值，则f′=0，可得4a+3b+4=0．②由①、②解得a=2，b=﹣4．由于l上的切点的横坐标为x=1，∴f（1）=4．∴1+a+b+c=4．∴c=5．（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣4x+5，∴f′（x）=3x2+4x﹣4．令f′（x）=0，得x=﹣2，或x=．∴f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=13．在x=处取得极小值f=．又f（﹣3）=8，f（1）=4．∴f（x）在[﹣3，1]上的最大值为13，最小值为．22.三棱锥A﹣BCD中，△BCD、△ACD均为边长为2的正三角形，侧棱，现对其四个顶点随机贴上写有数字1至8的8个标签中的4个，并记对应的标号为f（η）（η取值为A、B、C、D），E为侧棱AB上一点（1）求事件“f（C）+f（D）为偶数”的概率p1；（2）若|BE|：|EA|=f（B）：f（A），求二面角E﹣CD﹣A的平面角θ大于的概率p2．参考答案：【考点】几何概型．【专题】分类讨论；数形结合法；概率与统计．【分析】（1）用M1表示“f（C）和f（D）均为奇数”，M2表示“f（C）和f（D）均为偶数”，计算P（M1）与P（M2）的值，再求“f（C）+f（D）为偶数”的概率P1=P（M1）+P（M2）；（2）画出图形，结合图形，找出二面角E﹣CD﹣A的平面角θ，计算θ=时的值，θ＞时的值，讨论f（B）=1、2或大于等于3时，f（A）的可能取值，从而求出P2的值．【解答】解：（1）用M1表示“f（C）+f（D）为奇数”，M2表示“f（C）+f（D）为偶数”，由题意知，P（M1）==，P（M2）==；记“f（C）+f（D）为偶数”为事件Q，则Q=M1+M2，所以P1=P（M1）+P（M2）=；…4分

（2）如图，取CD中点F，连结BF、AF、EF，因为△BCD、△ACD均为边长为2的正三角形，所以AF⊥CD，BF⊥CD，因此CD⊥平面ABF，所以∠AFE为二面角E﹣CD﹣