2022年北京北师大亚太实验学校高二数学理模拟试卷含解析

2022年北京北师大亚太实验学校高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）（2011?辽宁校级模拟）已知m、n、s、t为正数，m+n=2，=9其中m、n是常数，且s+t最小值是，满足条件的点（m，n）是椭圆=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A．x﹣2y+1=0B．2x﹣y﹣1=0C．2x+y﹣3=0D．x+2y﹣3=0参考答案：D【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：计算题．【分析】：由题设知（）（s+t）=n+m+≥=，满足时取最小值，由此得到m=n=1．设以（1，1）为中点的弦交椭圆=1于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入x2+2y2=4，得，①﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，k=，由此能求出此弦所在的直线方程．解：∵sm、n、s、t为正数，m+n=2，=9，s+t最小值是，∴（）（s+t）的最小值为4∴（）（s+t）=n+m+≥=，满足时取最小值，此时最小值为=2+2=4，得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．设以（1，1）为中点的弦交椭圆=1于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入x2+2y2=4，得，①﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，∴k=，∴此弦所在的直线方程为，即x+2y﹣3=0．故选D．【点评】：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用．2.若抛物线的准线方程为x=–7,则抛物线的标准方程为（

）（A）x2=–28y

（B）y2=28x（C）y2=–28x

（D）x2＝28y参考答案：B3.下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．4.显示屏有一排7个小孔可显示0或1，若每次显示其中3个小孔且相邻的两孔不能同时显示，则该显示屏能显示信号的种数共有（

）A.10；

B）48；

C）60；

D）80参考答案：D略5.设F1和F2为双曲线y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是（

）A.

B.1 C.2

D.参考答案：B6.4个人各写一张贺卡放在一起，再各取一张不是自己送出的贺卡，取法种数为

（

）A．6

B．9

C．11

D．23参考答案：B7.下列结论正确的是（

）A．若a>b，则ac>bc

B．若a>b，则a2>b2

C．若a>b,c<0，则a+c<b+c

D．若>，则a>b参考答案：D8.已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是?q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．不充分也不必要条件参考答案：B【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出条件q和?q的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由＜1，得x＜0或x＞1，即q：x＜0或x＞1，∴?q：0≤x≤1．∴p是?q成立必要不充分条件．故选B．9.椭圆的焦距为（）A．10 B．5 C． D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆标准方程得a2=16，b2=9．再根据椭圆基本量的关系得c==，由此即可得到该椭圆的焦距．【解答】解：∵椭圆方程为∴a2=16，b2=9，得c==由此，可得椭圆的焦距等于2c=2故选：D10.已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在

轴上，那么

的值为A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5，则点M的横坐标为

．参考答案：4【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，求解即可．【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，∵抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于5，∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，∴可得所求点的横坐标为4．故答案为：4．12.已知0<x<1，则x2(1－x)的最大值是 。参考答案：13.如图所示，机器人亮亮从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动到B最近的走法共有种．参考答案：80【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】分步计算，第一步A→C最近走法有2种；第二步C→D最近走法有C36=20种；第三步D→B最近走法有2种，利用乘法原理可得结论．【解答】解：分步计算，第一步A→C最近走法有2种；第二步C→D最近走法有C36=20种；第三步D→B最近走法有2种，故由A→B最近走法有2×20×2=80种．故答案为：80．14.已知为一次函数，且，则=__________________.参考答案：略15.已知一个算法的程序框图如图所示，当输入的与时，则输出的两个值的和为

．参考答案：16.已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于

参考答案：解析：由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。17.若直线与直线垂直，则________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知(n∈N*)的展开式中第五项的系数的与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．参考答案：（1）1；（2）；（3）.【分析】（1）已知的展开式中第五项系数与第三项的系数的比是，由此关系建立起方程，求出；(2)由（1)，利用展开式中项的公式,令的指数为解出,即可得到的项；(3)利用,得出展开式中系数最大的项.【详解】解：由题意知，第五项系数为C·(－2)4，第三项的系数为C·(－2)2，则，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(2)通项公式Tr＋1＝C()8－r＝C(－2)rx－2r，令－2r＝，则r＝1.故展开式中含的项为.(3)设展开式中的第r项，第r＋1项，第r＋2项的系数绝对值分别为C·2r－1，C·2r，C·2r＋1，若第r＋1项的系数绝对值最大，则解得5≤r≤6.又T6的系数为负，所以系数最大的项为T7＝1792x－11由n＝8知第5项二项式系数最大，此时.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.19.从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题：这一组的频数、频率分别是多少？估计这次环保知识竞赛的及格率(分及以上为及格)．估计这次环保知识竞赛成绩的平均值.参考答案：解：频数是15，频率是及格率是平均值为：略20.（本小题满分12分）已知.（1）若时，恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：对一切正整数均成立.参考答案：（1）。若，则，时，。此时，在区间上为增函数。∴

时，。符合要求。

……2分若，则方程有两个异号的实根，设这两个实根为，，且。∴

时，。在区间上为减函数，。∴

不符合要求。∴

的取值范围为。

……5分（2）由（1）知，时，不等式恒成立。∴

时，恒成立。令（），得，整理得。

……7分∴

。令，2，3，…，，得，，，…，。…9分将上述个不等式的左右两边分别相加，得。∴

对一切正整数均成立。………12分21.设双曲线的半焦距为c，已知直线l过（a，0），（0，b）两点，且原点O到直线l的距离为，求此双曲线的离心率．参考答案：【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为，及又c2=a2+b2，求出离心率的平方e2，进而求出离心率．【解答】解：由题设条件知直线l的方程为即：ay+bx﹣ab=0∵原点O到直线l的距离为∴又c2=a2+b2∴从而16a2（c2﹣a2）=3c4∵a＞0∴3e4﹣16e2+16=0解得：e2=4或∵0＜a＜b∴∴e2=4又e＞1所以此双曲线的离心率为222.设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆方程．（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，当△OAB面积最大时，求|AB|．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的离心率和通径长及a2﹣b2=c2联立求出a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意设出直线方程，和椭圆方程联立后利用弦长公式求出弦长，由点到直线距离公式求出原点O到直线l的距离，利用换元法借助于不等式求出面积取最大值时的直线的斜率，从而求出直线被椭圆所截得的弦长．【解答】解：（1）由，又过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线