山东省潍坊市寒亭区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

2023-2024学年度第一学期期中质量检测

九年级数学试题

注意事项：

1.本场考试时间120分钟，满分150分.

2.答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上面的项目填涂清楚.

3.请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置.

第I卷（选择题共44分）

一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分.每小题四个选项中只有一项正确.）

1.计算sin60。.cos30。的值为（）

A.-B.-C.—D.—

4442

2.关于尤的一元二次方程X2-2X+/〃-2=0有两个不相等的实数根，则根的取值范围是（）

3

A.m<-B.m>3C.m<3D.m<3

2

3.如图，?B90?,用科学计算器求/A的度数，下列按键顺序正确的是（）

A.而]曰B.|2ndF|[sin]|~0~||~*-ll~2~l1^1

c.画EEBEZID.函rTirnmE

4.如图，把矩形ABC。对折，折痕为MN,如果矩形。MNC和矩形ABCO相似，则它们的相似比为（）

A.-B.72C.2D.白

22

5.把两个大小相同的含30。角的三角尺如图放置，D、B、C三点共线，若4。=6几，则BC的长为（）

A

“------------B-C

A.6B.6>/3C.2也D.2

6.将边长相等的正方形和等边三角形如图放置，过A、8、E三点作圆，则AB所对的圆心角的度数是（）

C.60°D.90°

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.每小题的4个选项中，有多项正确，全部选对

得5分，部分选对得3分，错选、不选均记0分.）

7.下列说法正确的是（）

A.度数相等的弧所对的圆心角相等

B.相等的圆周角所对弧的度数相等

C.圆周角的度数等于圆心角度数的一半

D.三角形的外心到三角形各边的距离相等

8.如图，下面格点三角形（顶点在方格纸的格点上）与ABC相似的是（）

9.如图，.ABC内接于O,2D为的直径，A为gc的中点，ZBAC=120°,连接AD、BC交于点、E,则下

C.点A、C为B4O的三等分点D.连接。C,则四边形ABOC为菱形

10.关于尤的一元二次方程：①"z+6x+c=0,®cx2+bx+a=0,其中"c,下列结论正确的是（）

A.若方程①有实数根，则方程②必有实数根

B.若两个方程有一个相同的实数根，则此根为1

C.若方程①有一正根一负根，则方程②有一正根一负根

D.若加（〃-。）是方程①的实数根，则,是方程②的实数根

m

第n卷（非选择题共106分）

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.只要求填写最后结果.）

11.用反证法证明“一个三角形中不能有两个钝角”，先假设.

12.如图，在。中，ZAOB=58°,O8_LAC于。，贝！|/OBC=度.

13.设修，力是方程V+2x-2024=0的两个实数根，则+的值为

14.已知，ABC与△ABC1关于原点位似，位似比为1：2.若点A的坐标为（1,-2）,则对应点4的坐标为

四、解答题（本题共8小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）

15.解方程:

(1)(X-3)2-X+3=0；

⑵3d=一2尤+4

16.如图，在.ABC中，点。在边BC上，ABAC=ZADC,AC=8,BC=16,求8。的长.

17.如图，在直径为20的。中，AB与C。是互相垂直的两条弦，垂足为点?已知AB=CZ）=16,求。歹的长.

18.如图，在ABC中，N8=60。，ZBAC=75。，AB=2.点。在BC的延长线上，且CZ)=CA,连接AO.

⑴求BC；

(2)求tanND.

19.某旅行社组织甲、乙两旅行团到某地旅游.原计划，甲乙两团均由20人组成，甲旅行团每人每天的平均花费

为500元，旅行4天；乙旅行团每人每天的平均花费为400元，旅行3天.实际上，甲旅行团旅行天数不变但又增

加了部分人员，经统计，甲旅行团每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙旅行团旅行天数、人数均不

变.甲旅行团的实际总花费比乙旅行团总花费多15520元，试求甲旅行团实际增加的人数是多少？

20.如图1是一款折叠式拍照设备，图2是该款设备放置在水平桌面/上的示意图.可通过调试悬臂与连杆BC

的夹角提高拍摄效果，悬臂、连杆和支撑臂只能在同一平面内活动.经试验，当288=23。时，拍摄效果较佳，此

时点C到桌面的距离为52厘米.若已知AB、BC的夹角/ABC固定为143。，CZ)=44厘米，试求“拍摄效

果较佳”时，点D到桌面的距离.

图1图2

21.如图，A3是：。的直径，于点E,G是AC上一点，AG,0c的延长线交于点孔连接AD、GD、

GC,已知AE=C£>,BE=2.

⑴求证：ZADG=ZF；

(2)求。的半径；

⑶若点G是AF的中点，求AF的长.

22.【阅读材料】

配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求“最值”问题.

例如：求代数式2mz+4m+5的最值.

解：因为2疗+4m+5

=(2m2+4m)+5(分离常数项)

=2(>+2加)+5(提二次项系数)

=2(m2+2m+1-1)+5

=2[(/77+1)2-1]+5>(配方)

=2(租+1)2+3

所以当机=T时，代数式2疗+4m+5取得最小值3.

再如：求代数式-2租2+6m的最值.

解：因为-2m2+6m

=-2(m2—3m)

QQ

=—2(m2—3m+———)

c/3、29

=-2(m--)*+-

所以当机=；3时，代数式一2加+6m取得最大值，9

(1)【材料理解】

x=时，代数式-3(x+2)、4的最(“大”或“小”)值为.

(2)【类比应用】

试判断关于尤的一元二次方程x2-(k-3)a2/=0实数根的情况，并说明理由

(3)【迁移应用】

如图，有一块锐角三角形余料ABC,它的边BC=12厘米，高AO=8厘米.现要用它裁出一个矩形工件PQMN,

使矩形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在A3、AC上.

②运用“配方法”求S的最大值.

参考答案与解析

1.A

【分析】本题考查特殊角三角函数值的计算，运用特殊角的三角函数值计算.

【详解】解：sin60°.cos30°=x.

224

故选：A.

2.D

【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可.

【详解】解：:•关于x的一元二次方程/-2》+机-2=0有两个不相等的实数根，

/.A=（-2）2-4（m-2）>0,

7W<3,

故选D.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程依2+云+。=。（4/0）,若△=/一4℃>0,

则方程有两个不相等的实数根，若△=/-4ac=0,则方程有两个相等的实数根，若A=62-4“c<0,则方程没有实

数根.

3.B

【分析】本题考查了利用计算器由三角函数值求角度，根据计算器的使用方法进行分析即可.

【详解】解:28=90。，

・

..sinA“=BC=—10=0”.2.

AC50

依次按键2加步，sin,然后输入函数值0.2,=,即可求出/A的度数.

故选：B.

4.A

【分析】此题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，设矩形ABCD的长AD=x,宽=根据相似多边形

对应边的比相等，即可求得.

【详解】解：设矩形ABCD的长A。=x,宽=

22

'■矩形DMNC与矩形4BC。相似，

DMDC口一%

---二——，即n2

ABAD一

即y2=-%2.

y:%=1:A/2——

故选：A.

5.A

【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，由题意可知A8=BO,再由AD=6"可得出AB的

长，再在RtZkABC中通过解直角三角形即可求解.

【详解】解：把两个大小相同的含30。角的三角尺如图放置，D、B、C三点共线，

/.DBE2ABC,

:.BD=AB,ZADB=45°

AD=676，

•••AB=sinAADB1AD=—X6A/6=673,

2

ABAC=30°,

BC=AB-tan/CAB=6/八一=6,

3

故选：A.

6.C

【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，圆周角定理；连接E8,EA,则可得到EC=CO=C3,

ZECB=150°,根据等边对等角得到/CE3=15。，同理可得NAEO=15。，则班=30。，再根据圆周角定理解题即

可.

【详解】解：连接防，EA

〈ABC。是正方形，..CDE是等边三角形，

AEC=CD=CB,/ECD=60。,ABCD=ZABC=90°,

：.ZECB=150°,

：./CEB=15。,

同理可得NAa)=15。，

・•・NAEB=30°

・•・AB所对的圆心角的度数是60°,

故选C.

7.AB

【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理、三角形的外心的概念和性质，根据圆心角、弧、

弦的关系定理、圆周角定理、三角形的外心的概念和性质判断即可.

【详解】解：A、度数相等的弧所对的圆心角相等，说法正确，符合题意；

B、相等的圆周角所对弧的度数相等，说法正确，符合题意；

C、一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半，故本选项说法错误，不符合题意；

D、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；

故选：AB.

8.AC

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用勾股定理和网格的特点求出—ABC三边的长以及每个

图形中三角形的边长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判断即可得到答案.

【详解】解：设方格纸中的小正方形边长为1,

由网格的特点和勾股定理得AB=1,BC=&AC=5

A、图中三角形三边长为也,2,

,.V2_2_V10_r-

•一―/=■一—7乙,

1V26

图中三角形与ABC相似，符合题意;

B、图中三角形三边长为后，6,3,

..V2V53

IF后

图中三角形与ABC不相似，不符合题意;

C、图中三角形三边长为2,2夜,26,

..2_2亚_26

图中三角形与ABC相似，符合题意;

D、图中三角形三边长为3,&7,4&,

3V1740

.••图中三角形与ABC不相似，不符合题意;

故选AC.

9.ACD

【分析】本题主要考查了圆周角、弧、弦的关系，圆周角定理，菱形的判定等知识.利用圆周角、弧、弦的关系可

得AC=AB,从而得出/AZ)B=/ACB=30。，再根据圆周角定理可得/D4B=90。，进而判断A、C正确，利用含30。

角的直角三角形的性质可判断B错误，由NOCB=NO3C=NAC8=NABC=30。，得四边形。C4B是平行四边形，再根

据OC=O8,可判断D正确.

【详解】解：如图，连接OC,

A为BC的中点,

AC=AB，

AC=AB,

ZACB=ZABC,

ABAC=120°,

:.ZACB=ZABC=30°,

:.ZADB=ZACB=30°,

QBO是直径，

ZDAB=90°,

ZDBA=60°,

NO3C=NC5A=30。,

AC=CD=AB^

AD=BC，

/.AD=BC,故A、C正确，

ZCAE=ZACE=30°,

CE=AE,

ZABC=30°,

/.BE=2AE=2CE,故B错误，

ZOCB=ZOBC=ZACB=/ABC=30°,

ZOC//AB,OB//AC

••・四边形OC4B是平行四边形，

QOC=OB,

.•・四边形OC4B是菱形，故D正确，

故选：ACD.

10.ACD

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式和根与系数的关系，A.求出①②两根方程根的判别式，

然后判断即可；

B.根据两个方程有一个相同的实数根，得到一+乐;+0=52+"+”,求出x就能判断；

C.利用一元二次方程根与系数的关系求出①的两根之积，判断其正负，然后求出②的两根之积进行判断即可；

D.把工=加代入①得到°加+,泌+c=0,此等式两边同时除以/得。+2+三=0,然后再把了=~*■代入②，把所得结

mmm

果与①的结果进行比较判断即可.

【详解】解：A.若关于x的方程：①办2+6尤+c=o有实数根，贝必=后_44120,

''@cx2+bx+a=Q的判别式为△=b2-4ca=b2-4ac>0,

二②也必有实数根，

，此选项的说法正确，故选项A符合题意；

B.若两个方程有一个相同的实数根，

ax2+bx+c=ex2+bx+af

ax2—ex2=a—c9

(a-c)x2=a—c,

x2=1,

x=±\,

，故选项B说法错误，不符合题意；

C.方程①②的根的判别式都是匕2一4ac,

①的求根公式为吧,不•％=£，方程②的求根公式为：x=S4叱,占.占=幺，

2aa2cc

若方程①有一正根一负根，则。，C异号，

a八

一<0,

c

a

方程②有一正根一负根，

故选项C说法正确，符合题意；

D.把尤=加代入①得：am2+mb+c=0,此等式两边同时除以m?得：a+-+-^-=0；

mm

1「b

把％二—得入②得：=+2+。=0,

mmm

bccb八

QH1y=—F〃=0,

mmmm

故选项说法D正确，符合题意；

故选：ACD.

11.一个三角形中有两个钝角

【分析】用反证法的第一步是假设结论不成立.

【详解】解：假设命题“一个三角形中有两个钝角”成立，

这个三角形的内角和大于180。，这与三角形的内角和定理相矛盾，

，假设错误，

故原命题“一个三角形中不能有两个钝角”成立.

故答案为：一个三角形中有两个钝角

【点睛】本题考查了反证法的运用，掌握反证法的步骤是解题的关键.

12.61

【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，垂直的定义，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆

周角的度数是圆心角的度数的一半是解题的关键.根据圆周角定理得到NACB=29°,由垂直的定义得到NCDB=90。,

则由三角形内角和定理可得答案.

【详解】解：：在。中，ZAOB=58°,

：.ZACB=-ZAOB^29°,

2

OBIAC,

：.ZCDB=90°,

ZOBC=180°-ZACB-ZC£>B=61°,

故答案为：61.

13,-2025

【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到根+〃=-2,加〃=-2024,再

由(m+l)(n+l)=+〃2+w+l进行整体代入计算即可.对于一元二次方程以2+6元+c=o(aW0),若占，马是该方

hr

程的两个实数根，则占+%=-2,

aa

【详解】解：••加，”是方程尤2+2尤-2024=0的两个实数根，

m+n=—2,mn=—2024,

(m+l)(n+l)

=mn+m+n+l

=—2—2024+1

=-2025,

故答案为：-2025.

14.(-2,4)或(2,-4)

【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为3那么位似

图形对应点的坐标的比等于左或-入利用关于原点对称的点的坐标，把A点横纵坐标分别乘以2或-2得到其对应

点A的坐标即可.

【详解】解：：ABC与△AgG的相似比是1：2,并且是关于原点。的位似图形，而点A的坐标为。,-2),

，点4其对应点A的横坐标是-2x1=-2,纵坐标为-2x(-2)=4或横坐标是2x1=2,纵坐标为-2x2=-4,

即点A的坐标为(-2,4)或(2,-4).

故答案为：(-2,4)或(2,-4).

15.(1)%=3,尤2=4

—1—V13—1+V13

Q)士=3~'，/=~3-

【分析】本题考查了解一元二次方程；

(1)根据因式分解法解一元二次方程，即可求解.

(2)根据公式法解一元二次方程即可求解.

【详解】(1)解：(x-3『-x+3=0,

.♦.(尤-3)~-(x-3)=0,

；.(x-3)(x-3-1)=0,

；.x-3=0或x-4=0,

解得：=3,x2=4；

(2)解:3/=-2尤+4,

3尤之+2尤一4=0,

a=3,b=2,c=—4,A=b2—4ac=4-4x3x(-4)=52,

•-b土d/-4ac-2±2V13

••x=-------------=--------------，

2a6

解得：石=力普,马二匚等.

16.BD=U

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由已知可证明,进而利用相似三角形的性质可得CD

的长.

【详解】解：/ZBAC=ZADC,ZC=ZC,

ADC^BAC,

:.CD:AC=AC:BC,即8:8=8:16,

解得：CO=4,

BD=BC-CD=16-4=12.

17.672

【分析】本题主要考查了垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条

弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

过。点作，AB于M点，ON，CO于N点，连接0A,先证明四边形OMFN是正方形，然后根据垂径定理求出OM

即可解答.

【详解】解：过。点作OMLAB于M点，ON1CD于N点、,连接。4,如图，

:.NOMF=NONF=90°,AM=BAf=8,

ABLCD,

ZMFN=90°,

.,•四边形OMFN是矩形，

AB=CD,

OM=ON,

四边形OM/W正方形，

OM=MF,

直径为20,

<9A=10,

在R3AOM中，0M=布筋二tF=VI瓦至=6，

MF=6,

在RtAVMF中，OF=y)OM2+MF2=k+62=672，

即OF的长为6啦.

18.⑴1+6

⑵血-1

【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

(1)如图所示,过点4作立，比于石,先解口人48£求出2£=1,AE=6,再由三角形内角和定理求出/ACB=45。,

再解Rt—ACE得到CE=百，贝IBC=BE+CE=1+6;

(2)先解RtZVLEC得到AC=CD=C，贝UOE=6+",再根据正切的定义求出答案即可.

【详解】(1)解：如图所示，过点A作AELBC于E,

在Rt^ABE中，ZB=60°,ZAEB=90°,AB=2,

BE=AB-cosB=1,AE=AB-sinB=V3，

:在ABC中，ZB=60°,ABAC=75°,

ZACB=180°-ZB-ZBAC=45°,

Apr-

・••在Rt.ACE中，CE=——-——=V3,

tanNACE

，BC=BE+CE=l+y/3;

APi-

(2)解：在中，AC=--——=V6,

sinNACE

AC=CD=瓜,

DE=CE+CD=43+46,

在RtZ\A£Z)中，tanND==—广尸=A/2—1.

DEy/3+V6

19.甲旅行团实际增加的人数是6人

【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设甲旅行团实际增加了x人，则甲实际每人每天的花费为

(500-20月元，分别计算出甲乙两个旅行团的实际费用，再根据甲旅行团的实际总花费比乙旅行团总花费多15520

元，列出方程求解即可.

【详解】解：设甲旅行团实际增加了x人，

由题意得，4(500-20x)(%+20)=400x20x3+15520,

整理得：x2-5x-6=0,

解得x=6或x=-l(舍去)，

答：甲旅行团实际增加的人数是6人.

20.拍摄效果较佳”时，点。到桌面的距离为30厘米.

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的

关键.过点C作于E,过点。作DGLCE,DF±l,垂足分别为G、R过点B作BPLCE于P,设£>G,BC

父于H,则四边形。PEG和四边形ABPE都是矩形，则。尸=GE,ZPBA=90°,DG//BP,根据平行线的性质得

到/CHG=NC3P=53。，进而利用三角形外角的性质求出/CDG=30。，解直角三角形求出CG的长，进而求出EG

的长即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点C作CE，/于E,过点。作。GLCE,DFLI,垂足分别为G、F,过点B作SPLCE

于P,设OG,BC交于H,则四边形。EEG和四边形A2PE都是矩形，

:・DF=GE,ZPBA=90°,DG//BP,

VZABC=143°,

：.ZCBP=53°,

•・•DG//BP,

:./CHG=/CBP=53。,

VZBCD=23°,ZBCD+ZCDG=ZCHG,

・•・/COG=30。，

・•・CG=CD•sinZCDG=22cm,

・•・DF=EG=CE-CG=52-22=30cm,

・・・“拍摄效果较佳”时，点。到桌面的距离为30厘米.

-

-

-

4-

^G

u

l

l

5l

cP

!

图2

21.(1)证明见解析

(2)。的半径为5

(3)4710

【分析】本题是圆与三角形综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点.解

题关键是掌握相关基础知识并灵活运用.

⑴连接BG,如图，先根据圆周角定理得到/AGB=90。，再根据等角的余角相等得到=然后根据圆

周角定理得到/ADG=NABG,从而得到结论；

(2)连接。C,如图，设.。的半径为小贝l」CD=2r-2,OE=r-2,再根据垂进搞定了得到OE=CE=-1,然后

在RtAOCE中利用勾股定理得到(r-2)2+(r-l)2=r2,最后解方程即可；

(3)先利用勾股定理计算出4。=46，再证明AAOGS.AFD得到AD=AG-AF,由于G点为A尸的中点，则

AG=^AFf所以;AF-A/=AZ)2,于是可计算出A/的长.

【详解】⑴证明：连接3G,如图，

A3是』。的直径，

ZAGB=90°,

ABLDC,

ZAEF=90°,

ZABG+/BAG=90°,ZF+ZEAF=90°,

ZABG=NF,

ZADG=ZABG,

：.ZADG=ZF；

(2)解：连接OC,如图，设。的半径为人

BE=2,

AE=2r-2,

/.CD=2r—2,OE=2r—2—r=r—2,

ABLCD,

:.DE=CE=-CD=r-l,

2

在RtOCE中，(r