刘蒋巍：圆锥曲线-2023高考数学(基础知识+出题背景+高考真题训练)

圆锥曲线一一2023高考数学复习专题(基础知识+出题背景+高考真题训练)

圆锥曲线

2023高考数学复习专题

基础知识

椭圆的基本量

1.如图(1),过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦,称为通径.

2.如图(2),尸为椭圆上的点，Fi,尸2为椭圆的两个焦点，且NEP尸2=仇则尸2

的面积为.

3.椭圆上的点到焦点距离的最大值为______,最小值为.

4.设尸，A,2是椭圆上不同的三点，其中4,8关于原点对称，则直线以与网的斜

率之积为定值.

1.2.62,tan-3.a+ca—c4.一三

a2cr

直线与椭圆

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或旧的一元方程：ax2+bx

+c=0(或ay2+b,+c=0).

(1)若可考虑一元二次方程的判别式」,有：

①4>0直线与圆锥曲线；

②4=0直线与圆锥曲线；

③40直线与圆锥曲线.

2.圆锥曲线的弦长

设斜率为碎W0)的直线/与圆锥曲线C相交于4>1,歹),8(X2,/)两点，则48=

1.(1)①相交②相切③相离

2.1+A2|x2一xi|=

1

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双曲线的基本量运算

1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.

2.如图，尸为双曲线上的点，F1,尸2为双曲线的两个焦点，且/尸1尸尸2=仇则尸2

的面积为.

3.焦点到渐近线的距离为.

4.设P,A,2是双曲线上的三个不同的点，其中4,2关于原点对称，则直线以与

PB的斜率之积为.

1.—2.e3.b

atan——4

2

抛物线

设45是过抛物线炉=2必©>0）焦点T7的弦，若4（小yi）,Bg,8），贝！J：

（1）%1%2=4，y\yi——p?；

(2)AF=——2——，BF=—2——，弦长48=xi+x2+p=^G(a为弦4s的倾斜

1—cosa1+cosasin2a

角)；

（4）以弦为直径的圆与准线相切；

（5）以/尸或3尸为直径的圆与〉轴相切；

（6）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.

直线与圆锥曲线

1.已知椭圆C：［+1=l（a>6>0）上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点Bi，B?

的连线分别与x轴交于尸，。两点，。为椭圆的中心，则OPOQ=层.

2.已知椭圆C：，+（=l（a>6>0）上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点S，&

的连线的斜率分别为加后，则上的=—与.

3.过抛物线产=2内防>0）的焦点方作直线交抛物线于4,5两点，且4a1,刃），Bg

pi

y2），贝！J%1X2=；，歹1歹2=—p2.

4.过抛物线产=2"。>0）的顶点。作两条互相垂直的直线交抛物线于4,5两点，则直

线45过定点（22，0）.

2

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出题背景

2以数学名题或经典结论为背景的试题

(1)阿基米德三角形

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形这个三角形又常被称为

阿基米德三角形。因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了抛物线的弦与抛

物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的2/3.

近年全国以及各地高考以此为背景的颇多。

M1

(2019年用卷理科21)已知曲线C：.。为直线产上的动点，过。作。的两条

切线，切点分别为工，B.

(1)证明：直线48过定点：

(2)若以E(0,g)为圆心的圆与直线48相切，且切点为线段的中点，求四边形

ADBE的面积.

2以数学名题或经典结论为背景的试题

(2)阿波罗尼斯圆

平面内的一个动点到两个定点的距离之比为常数(不为1)的点的轨迹为圆。

1994年全国高考题

(24)(本小题满分12分)

已知直用坐标平面上点。(2,0)和网C：*2+丁=1,动点例到|川

C的切线长与1MQ的比等「常数.“A>0).求动点M的轨迹方程，说

明它表示什么曲线.

对条件的讨论

2以数学名题或经典结论为背景的试题

(2)阿波罗尼斯圆

(2008年江苏理科题)满足条件48=25y1。=正比的AABC的面积的最大值是

切线的方程，图】

<2>若圆C上存在点使

MA-2MO.求圜心C的横坐标。的取值范围.

3

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2以数学名题或经典结论为背景的试题

（2）阿波罗尼斯圆

平面内的一个动点到两个定点的距离

之比为常数（不为1）的点的轨迹为圆.

阿波罗尼斯圆可以向圆锥曲线中推广.

定理设r为一非退化的二次曲线，尸是一

个不在r上的定点（当「是有心二次曲线时.P

不是中心）•过尸任作直线交r于A、从则存在另

一定点Q，使得尴1=舞1恒成立.

从圆到椭圆的推广

（2015四川理第20题）如图，椭圆+=

ao

1储>6>0）的离心率是过点P（0,D的动直线I

与椭圆相交于A,8两点•当直线/平行于N轴时.

直线I被椭圆E截得的线段长为2V2.

（I）求椭圆E的方程，

<n）在平面直角坐标系中，是否存在与

点P不同的定点Q，使得黔■=悔;恒成立？

若存在，求出色》京不存在，请说明

理由.

4

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2以数学名题或经典结论为背景的试题

（3）“垂径定理”在圆锥曲线中推广

椭圆或双曲线任意一条弦所在直线的斜率与该弦中点与椭圆（或双曲线）中心

连线的斜率之积为常数.

设点M是有心圆锥曲线C:mx2+ny2-1（肛〃同正或异号）上异于

直径48的两个端点的任意一点，则%也必诳=

n

逆命题就是所谓的第三定义（轨迹不包的端点）

设而不求

点差法

2以数学名题或经典结论为背景的试题

<3）“垂径定理”在圆锥曲线中推广

（2018年全国卷in）已知斜率为上的直线,与椭圆c：交于A,B两点.线段A8的中点为

（1）证明：为

（2）设尸为C的右焦点，P为。上一点，且而+百+丽=鼠证明：2恒AH百出属.

2以数学名题或经典结论为背景的试题

（3）“垂径定理”在圆锥曲线中推广

第1问和第（2）问

的⑴

5

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2以数学名题或经典结论为背景的试题

(4)“张直角弦”问题

圆中"张直角弦”是圆的直径；过圆的中心即圆心；

椭圆、双曲线、抛物线有类似性质吗？两斜率之积为其他常数如何？

直角弦定理

设点P(%,%)在圆锥曲线上，且为直角的顶点.

(1)椭圆W+==l(a>b>0)张角为直角的弦所在的直线过定点(%,-乂)，其中r=

aba4-0

(2)双曲线*一/=1(。>0)>0,。/6)张角为直角的弦所在的直线过定点(、,一乂)

甘+a2+b2

其中

(3)抛物线)'2=2px(p>0)张角为直角弦所在的直线过定点(2p+%,_%)。

(4)“张直角弦”问题

2020年新高考I卷第22题

22.已知椭圆G1+/=1(。>6>0)的离心率为乎，且过点4(2,D.

(1)求丽方程：

若不是张直角，而是斜率之乘积为常数，也有类似结论

定理2设A/(%,乂)是给定有心圆锥曲线。：”一

+〃产=1上的定点，点/,4是曲线。上的动点，若

与A/8的斜率之积为2，贝IJ:

①当2时，动直线45过定点

n

^(An+m)x0(A.n+m)y0

An—mAn—m

②当之=2时，动直线Z6的斜率为定值

6

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(4)“张直角弦”问题

若不是张直角，而是斜率之和为常数，也有类似结论

—2017年高考数学全国卷I理科第20题为：

已知椭圆。：4+当=1(a>6>0),四点P.(l,

ab

l),P2(0,l),P3(-l,^),P4(1,日)中恰有三点在

椭圆c上。

(I)求C的方程；

(D)设直线2不经过P2点且与C相交于A,B

两点。若直线P2A与直线PzB的斜率之和为一1,证

明：Z过定点。

定理设直线Z不经过椭圆C：1+《=l

ao

点且与椭圆。相交于两点A,B,若直

PA与直线PB的斜率之和为入，则

h2T

当；1=0时，若直线/的斜率为定值丁

aLy

若泌=0,直线/的斜率不存在；

当A^0时,直线/过定点(一争十4，等一加：

7

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圆中“张直角弦”是圆的直径；过圆的中心即圆心；

椭圆、双曲线、抛物线有类似性质吗？两斜率之积为其他常数如何？

直角弦定理

设点F(x0,%)在圆锥曲线上，且为直角的顶点.

(1)椭圆^+==1(。>6>0)张角为直角的弦所在的直线过定点(%,-%)，其中r=

aba+b

&=1(。>0,6>0,a*6)张角为直角的弦所在的直线过定点

(2)双曲线(、，-%)

a2+b2

其中「=

(3)抛物线J=2px(p>0)张角为直角弦所在的直线过定点(20+%,一%)。

(5)圆锥曲线“等角”定理

过椭圆51=1(。>6>0)长轴上任意一点N©0)的一条弦端点与对应点Gy,0：的连线

abkf>

所成角被焦点所在直线平分，即^OGA=ZOGB

(5)圆锥曲线“等角”定理

过双曲线J-g=1(«>0,6>0)实轴所在直线上任意一点NQ.0)的一条弦端点与对应点

(g.0的连线所成角被焦点所在直线平分，即NOa=40GB

过抛物线产=2pMp>0)对称轴上任意一点N(a,0)的一条延端点A,B与对应点闭-/0)的连

线所成角被对称轴平分.

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(5)圆锥曲线“等角”定理

2018全国1卷文科20

设抛物线c：y2=2x,点4(2,0),B(-2,0),过点N的直线/与C

交于A1,N两点.

(1)当7与x釉垂直时，求直线BM的方程：

(2)证明：/ABM=NABN.

2018全国1卷理科19

设椭圆C：二+/=1的右焦点为尸，过尸的直线/与C

2

交于S,B两点，点A/坐标为(2,0).

(1)当/与x轴垂直时，求直线NA/的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：ZOMA=AOMB.

2015年新课标标I卷20题

*2

在直角坐标xoy中，曲线C：y=—与直线丁=履+。(。＞0)交于乂，N两点，

4

(1)当％=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(^)在y轴上是否存在点P,使得当后变动时，总有NOPM=NOPN?说明理山.

(6)彭赛列(Poncelet)闭合定理

平面上给定两条圆锥曲线，若存在一封闭多边形外切其中一条圆锥曲线且内接另一条

圆锥曲线，则此封闭多边形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样(切、内外接)

性质的封闭多边形的顶点，且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同.

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(2009年江西卷)如图1,已知圆C:(%-2)2+y2=

2

r2是椭圆二+/=1的内接8c的内切圆，其中4为

16

椭圆的左顶点.

(I)求圆的半径r；

(2)过点M(0,l)作圆。的两条切线交椭圆于&

F两点，证明直线£〃与圆C相切.

(6)彭赛列(Poncelet)闭合定理

2021年全国甲卷理科20题

20.抛物线。的顶点为坐标原点O,焦点在T轴上，直线/:工=1交。于P.Q两点，且

OPLOQ.已知点A/(2.0),且©A/与/相切.

(1)求C,。力/的方程；

(2)设.41,A2,人是。上的三个点，直线44?,AIA3均与。心相切.判断直线

A2A3与0A/的位置关系，并说明理由.

(7)蒙日圆问题

X2v2

椭圆二+4=1的两条相互垂直的切线的交点轨迹方程/+炉=〃+/(蒙日圆)

a2b2

双曲线二-5=1的两条相互垂直的切线的交点轨迹方程为

a2b2

当a>6>0时，两条相互垂直的切线的交点轨迹方程/+_/=[2-/(蒙日圆)

当a=6时，两条相互垂直的切线的交点轨迹为原点；

当0<a<b时，两条相互垂直的切线的交点轨迹不存在

抛物线歹2=2夕工的两条相互垂直的切线的交点轨迹为x=-g

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2014年广东高考卷理科20题

已知椭圆C：£+*=1（°>方>0）的一个焦点（百0）,离心率为4.

⑴求椭圆C的标准方程；

（2）若动点为椭圆C外一点，且点尸到椭圆C的两切线相互垂直，求点

P的轨迹方程.

2022年广州市调研测试21题

21.（12分）

已知椭圈C：1+==l（a>6>0）的离心率为3.Ft.鸟分别为椭圆C的左.右焦点，

（Tb-2

M为椭圆C匕一点，△△〃；；尼的周长为4+2JJ.

（1）求椭网1C的方程：

（2）P为圆x?+y2=5上任意一点，过户作椭圆C的两条切线,切点分别为4,B,

判断可•方是否为定值？若是,求出定值：若不是，说明理由.

3.以高等几何中极点、极线为背景

（1）极点与极线的定义

如图，尸为不在圆锥曲线上的点，过点P

引两条割线一次交圆锥曲线于四点£、F、G

H,连接EH、FG交于N,连接EG、FH交

于A/,则MV为点尸对应的极线.。

若尸为圆锥曲线上的点，过点尸的切线

即为极线。

由上作图可知，同理尸M为点N对应的

极线，PN为点M对应极线，MNP称为自极

三点形。若连接AW交圆锥曲线于/、8两点，则尸/、尸8恰为圆锥

曲线的两条切线。任何一点关于一般的代数曲线都有一条极线，每一

条直线都有一个极点.标准方程下圆锥曲线极

点与相应极线的方程与有关性质.

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命题1椭圆1+4=1,则点P（X2。）对应的极线方程为：

ab

/+迎=1.

a1b2'

双曲线［-9=1,则点PU）对应的极线方程为：

ab

人—九—一1.

a1b2;

抛物线x?=2py,则点P（x0,外）对应的极线方程为：

XoX-p（y+汽）=0；

抛物线,2=2px,则点P（x°,y。）对应的极线方程为：

yoy-p（x+x0）=o.

命题2若圆锥曲线中极线共点于P,则这些极线相

应的极点共线于点P相应的极线。反之亦然。称为极

点与相应极线对偶性。（配极原则）

命题3：已知点P和直线/是圆锥曲线。的一对极点与极线.

（1）若极点P在曲线上，则极线/与曲线。相切于点P；

（2）（2）若极点P在曲线。内，则极线/与曲线C相离；

（3）（3）若极点P在曲线。外，则极线/与曲线。相交.

命题4：（1）圆锥曲线的过定点（极点）弦的端点之切线交点

的轨迹为直线（极线）；

（2）圆锥曲线过定点（极点）的弦AB的中点向极线作

垂线交点为尸，则P4P5与圆锥曲线相切.

反之亦然.

（3）圆锥曲线极线上的任意一点M与极点P的连线

交圆锥曲线于43两点，则j\PpAB\广1\MAl用A\:

（4）过圆锥曲线特定直线（极线）上任意一点引圆锥

曲线的切线，则切点弦直线恒过定点（极点）.

上述证明可参考《高等几何》.

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年(新堞标D)已知48分别为椭圆E：,+丁=1(。>1)的左、右顶

点，G为E的上顶点，AGGB^,P为直线户6上的动点，以与E的另一交点为C,

PB与E的另一交点为D.

MA.儿4分别交直线x=-4于点尸，Q.求的值.

I

2013年广东卷理科第20题

已知抛物线C的顶点为原点，其焦点尸(o,c)(c>o)到直线/：x-y-2=0的距离为笺.

设P为直线/的点，过点尸作抛物线C的两条切线PA,尸8,其中48为切点.

(I)求抛物线C的方程；

(II)当点P(x。,%)为直线/上的定点时，求直线力8的方程；

(III)当点P在直线/上移动时，求叩利的最小直

2019年全国卷理科21题

已知曲线C：尸:，。为直线尸上的动点，过。作C的两条切线，切点分别为4,B.

(1)证明：直线48过定点：

(2)若以E(0,g)为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形

的面积.___________________

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4高考题改编

2018年全国理科1卷19题源自2015年北京卷或2015年全国卷

2018年全国理科1卷19题

设椭圆=l的右焦点为F,过尸的出线/与C交于4,8两点，点M的坐标为(2,0).

(1)当/与x轴垂直时，求直线4W的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：ZOMA-NOmB.

2015年北京市高考数学试卷(理科)19题

已知椭圆C：卫+乌=1(a>b>0)的离心率为正，点P(0,1)和点A(m,n)(m#=0)都在椭圆C上，直线PA：

a2b22

轴于点M.

(I)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m,n表示)：

(H)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N,问：y轴上是否存在点Q,使得NOQM-NON

若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由.

2015年全国理科1卷20题

2

在直角坐标系xoy中，曲线C：y=二与直线,=京+。(a>0)交与M,N两点,

4

(I)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(II)y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有N0PM=N0PN?说明理由.

高考真题训练

一、单选题

1.(2022•全国•高考真题(理))双曲线。的两个焦点为百,B，以C的实轴为直径的圆记为

3

D,过门作。的切线与C的两支交于",N两点，且cos//八骂=-,则。的禺心率为()

A.63

B.C.Vi|D.叵

22F

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2.（2022•全国•高考真题（理））椭圆C:、+A=l（a>b>0）的左顶点为/，点尸，。均在C

ab

上，且关于y轴对称.若直线NR/0的斜率之积为:，则。的离心率为（）

3.（2022•全国•高考真题（文））设尸为抛物线C:必=人的焦点，点/在。上，点2（3,0）,

若上"=忸尸则|/8|=（）

A.2B.272C.3D.372

221

4.（2022•全国•高考真题（文））已知椭圆C:二+与=l（a>6>0）的离心率为；；，4,4分别

a'b3

为C的左、右顶点，3为C的上顶点.若可•瓯=-1,则C的方程为（）

二、多选题

5.（2022•全国•高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线C:必=2.（°>0）焦点厂的直线

与C交于4,8两点，其中4在第一象限，点M（“0）,若则（）

A.直线N3的斜率为2能B.\OB^\OF\

C.\AB\>^\OF\D.ZOAM+ZOBM

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三、填空题

22

7.（2022•全国•高考真题）已知椭圆C:=+与=l（a>b>0）,C的上顶点为两个焦点为

ab

K，F2,离心率为过月且垂直于/耳的直线与。交于。，£两点，］。石|=6,则A/OE

的周长是，

8.（2022•全国•高考真题）设点”（-2,3）,3（0,4）,若直线ZB关于V=。对称的直线与圆

（x+3）2+（y+2）2=1有公共点，则0的取值范围是.

9.（2022•全国•高考真题）已知直线/与椭圆<+4=1在第一象限交于48两点，/与x

63

轴，y轴分别交于M,N两点，且|M4|=|A«|,|MV|=2VL贝U/的方程为.

10.（2022・全国•高考真题）写出与圆x2+/=1和（x-3y+（y_4）2=16都相切的一条直线的

方程.

丫2

11.（2022•全国•高考真题（理））若双曲线三=1（加>o）的渐近线与圆/