2023年中考数学探究性试题复习11 一次函数与反比例函数【含答案】

2023年中考数学探究性试题复习11一次函数与反比例函数一、一次函数1．【类比研究】类比数的运算的学习，小明发现初中所学习的函数就是变量的运算.对于一个变量x，对它进行运算，得到另一个变量y，则y是x的函数.【概念提出】若对x只加上（减去）一个常数，则该函数为一级函数：对x只乘（除以）一个常数（不为1），则该函数为二级函数：对x只进行乘方（开方）运算，则该函数为三级函数；若对某级函数中自变量的代数式再进行不同的运算，则新函数为该级函数的衍生函数.（1）【特例辨别】

下列函数：①y=−12x，②y=x−1，③y=5x，④y=x4，⑤（2）【运算与变化】

将二级函数y=1x的图象向上平移5个单位长度后得其衍生函数图象，则该衍生函数关系式为；也可对y=1x进行乘法运算→×2所得衍生函数y=（3）对于函数y=3x的运算与变化，下列说法中正确的是（）①y=3x是二级函数；

②将y=3x再进行减法运算，所得衍生函数的图象与原图象平行；

③将y=3x再除以2所得衍生函数的图象是把函数y=3x的图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12倍；

④将y=3xA．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④（4）【知识应用】请写出一级函数y=x如何对变量x进行运算得到衍生函数y=kx2−m（k、m是常数，k≠0，2．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点(1，1)是函数（1）分别判断函数y=x+1，y=x（2）设函数y=3x(x>0)，y=−x+b的图像的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C.当△ABC（3）若函数y=x2−2(x≥m)的图像记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图像记为W2，当W3．在平面直角坐标系xOy中，给出以下定义：对于x轴上点M（a，0）（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得∠MTN=90∘，且（1）如图①，在点A（2，0），B（2，-2），C（0，1），D（-2，0）中，2宝点是点．（填“A”“B”“C”或“D”）（2）如图①，点M（4，0），T（0，3），若N为4宝点，求点N的坐标．（3）如图②，若一次函数y=3x−2的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标（4）若一次函数y=kx+b(k≠0)图象上存在无数个3宝点，请直接写出该一次函数的解析式．4．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E.求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线y＝34②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x-5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标.5．定义：y=kx+b(x>m)（1）已知“分边折叠函数”y=①直接写出该函数与y轴的交点坐标；②若直线y=4x+t与该函数只有一个交点，求t的取值范围；（2）已知“分边折叠函数”y=kx+k(x>m)−kx+k(x≤m)的图象被直线x=m与y轴所夹的线段长为二、反比例函数6．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”例如(−3，−3)、(1，1)（1）下列说法错误的是（）A．直线y=x的图象上有无数个“不动点”B．函数y=−1C．直线y=x+1的图象上有无数个“不动点”D．函数y=x（2）求双曲线y=9（3）若抛物线y=ax2−3x+c（a①当a>1时，求c的取值范围．②如果a=1，过双曲线y=9x图象上第一象限的“不动点”作平行于x轴的直线l，若抛物线上有四个点到l的距离为m，直接写出7．【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离.例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l2之间的距离，当l2∥l1（1）【应用】

如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A=90°，AB=AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E.若AB=6，AD=4，则DE与BC之间的距离是；（2）如图3，已知直线l3：y=−x+4与双曲线C1：y=kx(x>0)交于A(1（3）【拓展】

按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）.有一条“东南−西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m.现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y=−x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为8．【探究函数y=x+1（1）函数y=x+1x的自变量x的取值范围是（2）下列四个函数图象中，函数y=x+1x的图象大致是（3）对于函数y=x+1x，求当解：∵x>0，∴y=x+1x∵(x−1x)（4）【拓展说明】若函数y=x9．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，其中cos∠OBC=45，OC=3.已知反比例函数y=kx(x>0)的图象经过（1）求k的值；（2）猜想ΔOCD的面积与ΔOBE的面积之间的关系，请说明理由.（3）若点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S10．已知一次函数y1=12x+2（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；（3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”.设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形APBQ是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标xQ

答案解析部分1．【答案】（1）④，⑥（2）y=1x+5；将y=（3）B（4）解：将一级函数y=x先平方运算，再进行减法运算减去m，最后进行除法运算：k除以x2函数图象关于y轴对称.当k>0时，x<−m时，y随增大而增大；−m<x<0时，y随增大而增大；0<x<当k<0时，x<−m时，y随增大而减小；−m<x<0时，y随增大而减小；0<x<2．【答案】（1）解：在y=x+1中，令x=x+1，得0=1不成立，∴函数y=x+1的图像上不存在“等值点”；在y=x2−x解得：x1=0，∴函数y=x2−x的图像上有两个“等值点”(0综上所述，y=x+1不存在“等值点”，y=x2−x存在“等值点”，有两个“等值点”(0（2）解：在函数y=3x(x>0)中，令x=∴A(3在函数y=−x+b中，令x=−x+b，解得：x=1∴B(1∵BC⊥x轴，∴C(1∴BC=1∵△ABC的面积为3，∴12当<0时，b2−23当0≤b<23时，b∵Δ=(−2∴方程b2当b≥23时，b2−2综上所述，b的值为−23或4（3）解：m<−983．【答案】（1）D（2）解：如图，作直线MT，并过点T作HT⊥AM于点T，

设直线AM为y=kx+b，

将点M（4，0），T（0，3）代入，

得4k+b=0b=3

解得k=−34b=3

∴直线MT为：y=−34x+3，

∵HT⊥AM于点T

∴直线TH为：y=43x+3，

根据题意易得点N一定在直线HT上，设点Na，43a+3，

则可得a2+4（3）解：设2宝点为点A'①当A'在x轴上方时，过A'作AF'⊥y轴于F，如图所示：∵A'是2的宝点，∴∠A′EA=∴∠A'EF=∵∠A′FE=∠EOA=∴ΔA′FE≅ΔEOA(AAS)∴EF=AO=2，A′F=OE，设OE=A′F=m，则OF=m+EF=OE+EF=m+2∴(m，m+2)将(m，m+2)代入y=3x−2得：m+2=3m−2，解得m=2，

∴A′②当A'在x轴下方时，过A'作A'H⊥y轴于H，如图所示：同①可证明ΔAOG≅ΔGHA'（AAS），∴A′H=OG，GH=OA=2，设A′H=OG=n，则OH=GH−OG=2−n∴A'（-n，n-2），将A′（-n，n-2）代入y=3x−2n−2=−3n−2，解得n=0∴A'（0，-2）综上所述，A点的坐标为（2，4）或（0，-2）；（4）解：y=x+3；y=-x-34．【答案】（1）证明：由题意可得，∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠EBC=∠ACD，

在△BEC和△CDA中，

∠EBC=∠ACD∠E=∠DBC=AC，

（2）解：①过点C作CD⊥x轴于点D，如图2，在y=34x+3中，令y=0可求得x=−4，令x=0∴OA=3，OB=4同（1）可证得△CDB≌△BOA，∴CD=BO=4，BD=AO=3，∴OD=4+3=7，∴C(−7，4)且设直线AC解析式为y=kx+3，把C点坐标代入可得−7k+3=4，解得k=−1∴直线AC解析式为y=−1②(3，1)5．【答案】（1）解：①将x=0代入y=-3x-6得y=-6，

∴该函数与y轴的交点坐标（0，-6）；②将x=4代入y=3x-6得y=6令y=4x+t经过点（4，6）∴6=16+t∴t=-10同理，将x=4代入y=-3x-6得y=-18令y=4x+t经过点（4，-18）∴-18=16+t∴t=-34综上分析所得，当t≥-10或t<-34时y=4x+t与该函数只有一个交点；（2）2或−26．【答案】（1）C（2）解：根据题意得：y=xy=解得x=3y=3或x=−3故双曲线y=9x上的“不动点”为(3，（3）解：①∵抛物线y=ax2−3x+c（a∴方程组y=xy=a∵a>1∴方程ax∴Δ=4解得ac=4，∵a>1，∴0<c<4故c的取值范围为0<c<4；②m的取值范围为0<m<77．【答案】（1）2（2）22；（3）解：如图，作直线AB∥l4，设AB的解析式为y=−x+b，与双曲线y=2400x(x>0)交于点A、B，过点O作OP⊥AB于点P，过点P作PH⊥x则OP=80m，∵直线y=−x平分第二、四象限角，∴∠FOH=45°，∴∠POH=90°−45°=45°，∴△POH是等腰直角三角形，∴PH=OH=2∴P(402代入y=−x+b，得402解得：b=802∴y=−x+802联立得：−x+802解得：x=202或60∴A(202，60∴AB=(60∵AB∥EF，AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AE⊥EF，∴四边形ABFE是矩形，∴EF=AB=80m，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米.8．【答案】（1）x≠0（2）C（3）2；2（4）解：∵x>0，∴y===(∵(x∴y≥−1．9．【答案】（1）解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，∴cos设BC=4x，OB=5x，由勾股定理得，OC∵OC=3，∴9+16x∴x=1，∴BC=4，OB=5，∵D是BC的中点，∴CD=1∴D(设y=k把D(2，（2）解：SΔOCD由题意可知，SΔOCD∵D是BC的中点，∴S∵ΔOBC≅ΔOBA，∴S∵E在反比例函数图象上，∴S∴S∴S（3）解：当0<x<2时，如图所示：S矩形QCRP∴S=x(当x>2时，如图所示：S矩形QCRP∴S=x(综上所述，S=6−3x，(0<x<2S=3x−610．【答案】（1）解：∵y1=1∴m=1∴m=3，则A(又∵y2=k∴k=2×3=6，∴反比例函数的表达式为y2∴y=12x+2y=6∴B(（2）解：令x=0，则y=2，∴C(设直线CE的解析式为设yCE∴y=kx+2y=6x∵直线CE与反比例函数图象只有一个交点，∴Δ=4+24k=0，∴k=−1∴