《5.7三角函数的应用》考点讲解、同步练习与培优

《5.7三角函数的应用》考点讲解与同步练习【思维导图】【常见考点】考点一模型y=Asin(wx+ψ)+B【例1】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数.（1）求的值；（2）求这段时间水深（单位：）的最大值.【一隅三反】1．设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从时至时记录的时间与水深的关系：时03691215182124米1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数的图像可以近似地看成函数的图像.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A．B．C．D．2．海水具有周期现象，某海滨浴场内水位y（单位：m）是时间t（，单位：h）的函数，记作，下面是某天水深的数据：t03691215182124y21.511.521.511.52经长期观察，的曲线可近似的满足函数.（1）根据以上数据，求出函数一个近似表达式；（2）一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7:00到晚上19:00，有多长时间可以开放?考点二圆周运用【例2】如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置.若初始位置为，当秒针从（注此时）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为A． B．C． D．【一隅三反】1．一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径长为30m，AM＝BP＝2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)等于()A．30sin＋30 B．30sin＋30C．30sin＋32 D．30sin2．随着机动车数量的增加，对停车场所的需求越来越大.如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建一个边落在BC和CD上的长方形停车场PQCR.（1）设，试写出停车场PQCR的面积S与的函数关系式；（2）求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值（数据精确到个位）.（注：当时，）3．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点在弧上（异于点)，过点做，垂足分别为，记，四边形的周长为.（1）求关于的函数关系式；（2）当为何值时，有最大值，并求出的最大值.5.7三角函数的应用答案解析考点一模型y=Asin(wx+ψ)+B【例1】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数.（1）求的值；（2）求这段时间水深（单位：）的最大值.【答案】（1）；（2）这段时间水深的最大值是.【解析】（1）图知：，因为，所以，解得：.（2）.所以，这段时间水深的最大值是.【一隅三反】1．设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从时至时记录的时间与水深的关系：时03691215182124米1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数的图像可以近似地看成函数的图像.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在给定的四个选项中，我们不妨代入及，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是选项A，故选A.2．海水具有周期现象，某海滨浴场内水位y（单位：m）是时间t（，单位：h）的函数，记作，下面是某天水深的数据：t03691215182124y21.511.521.511.52经长期观察，的曲线可近似的满足函数.（1）根据以上数据，求出函数一个近似表达式；（2）一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7:00到晚上19:00，有多长时间可以开放?【答案】（1）；（2）.【解析】（1），∴，，，过点，∴，则，∴，∴的一个解析式可以为.（2）由题意得：即，，或，解得或，又，解得，又∵∴，所以开放时间共4h.考点二圆周运用【例2】如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置.若初始位置为，当秒针从（注此时）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为A． B．C． D．【答案】C【解析】时刻，经过的圆弧角度为，则以轴正方向为始边，所在射线为终边，对应的角度为，则对应的角度为，由可知在单位圆上，所以时刻的纵坐标，故选C【一隅三反】1．一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径长为30m，AM＝BP＝2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)等于()A．30sin＋30 B．30sin＋30C．30sin＋32 D．30sin【答案】B【解析】过点作地面平行线，过点作的垂线交于D点．点在上逆时针运动的角速度是，∴分钟转过的弧度数为，设，当时，，，当时，上述关系式也适合．故．2．随着机动车数量的增加，对停车场所的需求越来越大.如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一座半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建一个边落在BC和CD上的长方形停车场PQCR.（1）设，试写出停车场PQCR的面积S与的函数关系式；（2）求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值（数据精确到个位）.（注：当时，）【答案】（1）（2）最大值是1322平方米，最小值是950平方米.【解析】（1）∵，延长RP交AB于M，则，，∴..故矩形PQCR的面积为：..（2）令，则.∴.故当时，，当时，.所以长方形停车场PQCR面积的最大值是1322平方米，最小值是950平方米.3．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点在弧上（异于点)，过点做，垂足分别为，记，四边形的周长为.（1）求关于的函数关系式；（2）当为何值时，有最大值，并求出的最大值.【答案】（1）；（2）时，.【解析】（1），，（2），，当时，，所以时，.《5.7三角函数的应用》同步练习【题组一模型y=Asin(wx+ψ)+B】1．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，则8时的温度大约为________（精确到）．2．已知某海浴场的海浪高度是时间（其中，单位：时）的函数，记作，下表是某日各时的浪高数据：036912151821241.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，曲线可近似地看成是函数的图象，根据以上数据，函数的解析式为________．3．电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度为（）A．5A B．2.5A C．2A D．－5A4．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？5．景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约600人；③2月份入住客栈的游客约为200人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）若入住客栈的游客人数y与月份之间的关系可用函数（，，）近似描述，求该函数解析式；（2）请问哪几个月份要准备多于650人的用餐？6．在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果（时间近似到0.1小时），结果如下表所示：日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号15980117126172225263298355存活时间小时5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4（1）试选用一个形如的函数来近似描述一年（按365天计）中该细菌一天内存活的时间与日期位置序号之间的函数解析式．（2）用（1）中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时．7．为了迎接旅游旺季的到来，辽阳汤河风景区内供游客住宿的某宾馆，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，现每年各个月份来宾馆入住的游客人数会呈现周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住宾馆的游客人数基本相同；②入住宾馆的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住宾馆的游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多．（1）若一年中入住宾馆的游客人数与月份之间的关系为，且．试求出函数的解析式；（2）请问哪几个月份要准备不少于400份的食物？8．如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．时刻水深5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中）来近似描述，则该港口在11:00的水深为________m．【题组二圆周运动】1．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（）A．B．当时，函数单调递增C．当时，点到轴的距离的最大值为D．当时，2．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A． B． C． D．3．如图,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转动一圈需要分钟,其中心距离地面米,半径为米,如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请回答下列问题:(1)求出你与地面的距离(米)与时间(分钟)的函数解析式.(2)当你第次距离地面米时,用了多长时间?4．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，）求摩天轮转动一周的解析式；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．5.7三角函数的应用答案解析【题组一模型y=Asin(wx+ψ)+B】1．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，则8时的温度大约为________（精确到）．【答案】13【解析】由图像可得，，，∴，．∵最低点坐标为，∴，得，于是，∴，取，∴．当时，．故答案为：132．已知某海浴场的海浪高度是时间（其中，单位：时）的函数，记作，下表是某日各时的浪高数据：036912151821241.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，曲线可近似地看成是函数的图象，根据以上数据，函数的解析式为________．【答案】【解析】由题意得，，，∴，．又，∴．从而．故答案为：3．电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度为（）A．5A B．2.5A C．2A D．－5A【答案】B【解析】当时，.故选：.4．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？【答案】（1）最大温差为4℃；（2）在10时至18时实验室需要降温.【解析】（1）因为所以，当时，；当时，于是在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.（2）依题意，当时实验室需要降温.故有，即.又，因此，即.故在10时至18时实验室需要降温.5．景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约600人；③2月份入住客栈的游客约为200人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）若入住客栈的游客人数y与月份之间的关系可用函数（，，）近似描述，求该函数解析式；（2）请问哪几个月份要准备多于650人的用餐？【答案】（1）；（2）7，8，9三个月.【解析】（1）因为函数为，由①，周期，所以；由②，最小，最大，且，故；由③，在上递增，且，所以，所以，解得，又最小，最大，所以，则，解得，由于，所以，所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为.（2）由条件可知，，化简得，所以，解得.因为，故.即只有7，8，9三个月份要准备多于650人的用餐.6．在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量，得到10次测量结果（时间近似到0.1小时），结果如下表所示：日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号15980117126172225263298355存活时间小时5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4（1）试选用一个形如的函数来近似描述一年（按365天计）中该细菌一天内存活的时间与日期位置序号之间的函数解析式．（2）用（1）中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小时．【答案】（1）；（2）有121天（或122天）.【解析】（1）细菌存活时间与日期位置序号之间的函数解析式满足，由已知表可知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，∴，故．又，故．又，∴．当时，，∴，∴．（2）由得，∴，可得．∴这种细菌一年中大约有121天（或122天）的存活时间大于15.9小时．7．为了迎接旅游旺季的到来，辽阳汤河风景区内供游客住宿的某宾馆，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，现每年各个月份来宾馆入住的游客人数会呈现周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住宾馆的游客人数基本相同；②入住宾馆的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住宾馆的游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多．（1）若一年中入住宾馆的游客人数与月份之间的关系为，且．试求出函数的解析式；（2）请问哪几个月份要准备不少于400份的食物？【答案】（1），且；（2）在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备不少于400份的食物.【解析】（1）因为，且根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，最小，最大，且；由③可知，函数在上单调递增，且，所以．根据上述分析可得，，故，且，解得根据分析可知，当时，取最小值，当时，取最大值．故，且，，又因为，故，所以入住宾馆的游客人数与月份之间的关系式为：，且.（2）令，化简得，即，解得．因为，且，所以，即在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备不少于400份的食物．8．如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．时刻水深5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中）来近似描述，则该港口在11:00的水深为________m．【答案】4【解析】由题意得函数（其中，，的周期为，，解得，，，，该港口在的水深为．故答案为：4．【题组二圆周运动】1．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（）A．B．当时，函数单调递增C．当时，点到轴的距离的最大值为D．当时，【答案】AD【解析】由题意，R＝＝6，T＝120＝，∴ω＝，当t＝0时，y＝f(t)＝，代入可得＝6sinφ，∵，∴φ＝－.故A正确；所以，当时，，所以函数在不是单调递增的，故B不正确；因为，，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C不正确；当时，，此时，点，，故D正确，故选：AD．2．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，设．则．，．设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．则，．故选：A．3．如图,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转动一圈需要分钟,其中心距离地面米,半径为米,如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请回答下列问题:(1)求出你与地面的距离(米)与时间(分钟)的函数解析式.(2)当你第次距离地面米时,用了多长时间?【答案】（1）（2）分钟.【解析】(1)由已知可设,由周期为分钟可知,当时,摩天轮第次到达最高点,即此函数第次取得最大值,,即.所求的函数关系式为.(2)设转第圈时,第分钟时距地面米,由,得,或,解得或,时,第次距地面米,故第次距离地面米时,用了(分钟).4．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足（其中，，）求摩天轮转动一周的解析式；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．【答案】（1），；（2）；（3）h取最大值为62米.【解析】（1）由题意，（其中，，）摩天轮的最高点距离地面为145米，最低点距离地面为米，，得，，又函数周期为30分钟，所以，又，所以，．所以，．（2），所以，，所以（分钟）．（3）经过t分钟后甲距离地面的高度为，乙与甲间隔的时间为分钟，所以乙距离地面的高度为，，所以两人离地面的高度差，当或时，即或25分钟时，h取最大值为62米.《5.7三角函数的应用》培优同步练习一、单选题1．弹簧振子的振幅为，在内振子通过的路程是，由此可知该振子振动的（）A．频率为1.5Hz B．周期为1.5sC．周期为6s D．频率为6Hz2．如图为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是（）A．该质点的振动周期为B．该质点的振幅为C．该质点在和时的振动速度最大D．该质点在和时的加速度为3．如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图象大致为（）A． B．C． D．4．电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度为（）A．5A B．2.5A C．2A D．－5A5．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置.若初始位置为，当秒针从（注此时）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A． B．C． D．6．设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从时至时记录的时间与水深的关系：时03691215182124米1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数的图像可以近似地看成函数的图像.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A．B．C．D．7．已知某人的血压满足函数解析式，其中为血压，为时间，则此人每分钟心跳的次数为（）A．60 B．70 C．80 D．908．如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确的是（）A．该质点的振动周期为 B．该质点的振幅为C．该质点在和时振动速度最大 D．该质点在和时的振动速度为09．一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径长为30m，AM＝BP＝2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)等于()A．30sin＋30 B．30sin＋30C．30sin＋32 D．30sin10．动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．和二、多选题11．某时钟的秒针端点A到时钟的中心点O的距离为，秒针均匀地绕点O旋转.当时间时，点A与钟面上标“12”的点B重合，将A，B两点的距离表示成的函数，则__________，其中.（）A． B． C．D． E.12．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（）A．该函数的周期是16B．该函数图象的一条对称轴是直线C．该函数的解析式是D．这一天的函数关系式也适用于第二天E.该市这一天中午12时天气的温度大约是27℃13．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点的运动周期为0.8sE.该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零14．一半径为4.8米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2.4米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（）A．点第一次到达最高点需要10秒B．在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点距离水面的高度不低于4.8米C．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面1.2米三、填空题15．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为______．16．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，则8时的温度大约为______（精确到）．17．如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．时刻水深5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中）来近似描述，则该港口在11:00的水深为________m．四、双空题18．用作调频无线电信号的载波以为模型，其中的单位是秒，则此载波的周期为________秒，频率为________．19．一半径为的水轮,水轮圆心距离水面2,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点从水中浮现时开始计时,即从图中点开始计算时间.(1)当秒时点离水面的高度_________；(2)将点距离水面的高度(单位:)表示为时间(单位:)的函数，则此函数表达式为_______________.20．去年某地的月平均气温与月份（月）近似地满足函数.（为常数,）.其中三个月份的月平均气温如表所示,则该地2月份的月平均气温约为____________________________.21．用作调频无线电信号的载波以为模型，其中的单位是，则此载波的周期约为_________（保留位有效数字），频率为__________．五、解答题22．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数.（1）求的值；（2）求这段时间水深（单位：）的最大值.23．如图，摩天轮上一点P在时刻t（单位:分钟)距离地面的高度y(单位:米)满足，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处.（1）根据条件写出y关于t的函数解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面的高度超过85米?24．已知某海滨浴场海浪的高度y（米）是时间t的（0≤t≤24，单位：小时）函数，记作y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：t（h）03691215182124y（m）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y=f（t）的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt＋b的图象．（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？25．景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约600人；③2月份入住客栈的游客约为200人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）若入住客栈的游客人数y与月份之间的关系可用函数（，，）近似描述，求该函数解析式；（2）请问哪几个月份要准备多于650人的用餐？26．海水具有周期现象，某海滨浴场内水位y（单位：m）是时间t（，单位：h）的函数，记作，下面是某天水深的数据：t03691215182124y21.511.521.511.52经长期观察，的曲线可近似的满足函数.（1）根据以上数据，求出函数一个近似表达式；（2）一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7:00到晚上19:00，有多长时间可以开放?27．一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin.（1）画出它的图象；（2）回答以下问题：①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？③小球来回摆动一次需要多少时间？5.7三角函数的应用答案解析一、单选题1．弹簧振子的振幅为，在内振子通过的路程是，由此可知该振子振动的（）A．频率为1.5Hz B．周期为1.5sC．周期为6s D．频率为6Hz【答案】B【解析】振幅为，振子在一个周期内通过的路程为，易知在内振动了4个周期，所以，频率.故选：.2．如图为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是（）A．该质点的振动周期为B．该质点的振幅为C．该质点在和时的振动速度最大D．该质点在和时的加速度为【答案】D【解析】对于A、B选项，由图可得知振幅为，周期为，A、B选项错误；对于C选项，质点在和时刻，质点的位移为最大值，可知速度为零，C选项错误；对于D选项，质点在和时刻，质点的位移为，则质点受到的回复力为，所以加速度为，D选项正确.故选D.3．如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题意知：到直线的距离为：对应图像为B故答案选B4．电流强度随时间变化的关系式是，则当时，电流强度为（）A．5A B．2.5A C．2A D．－5A【答案】B【解析】当时，.故选：.5．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置.若初始位置为，当秒针从（注此时）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】时刻，经过的圆弧角度为，则以轴正方向为始边，所在射线为终边，对应的角度为，则对应的角度为，由可知在单位圆上，所以时刻的纵坐标，故选C6．设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从时至时记录的时间与水深的关系：时03691215182124米1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数的图像可以近似地看成函数的图像.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在给定的四个选项中，我们不妨代入及，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是选项A，故选A.7．已知某人的血压满足函数解析式，其中为血压，为时间，则此人每分钟心跳的次数为（）A．60 B．70 C．80 D．90【答案】C【解析】由题意得函数的周期为，所以频率，所以此人每分钟心跳的次数为80．故选：C8．如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确的是（）A．该质点的振动周期为 B．该质点的振幅为C．该质点在和时振动速度最大 D．该质点在和时的振动速度为0【答案】B【解析】由图象可知周期是，A错，振幅为，B正确；曲线上各点处的切线的斜率（导数值）才是相应的速度，质点在和时振动速度为0，C错，质点在和时的振动速度不为0，D错．故选：B．9．一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径长为30m，AM＝BP＝2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)等于()A．30sin＋30 B．30sin＋30C．30sin＋32 D．30sin【答案】B【解析】过点作地面平行线，过点作的垂线交于D点．点在上逆时针运动的角速度是，∴分钟转过的弧度数为，设，当时，，，当时，上述关系式也适合．故．10．动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．和【答案】D【解析】试题分析：时，点的坐标是，所以点的初始角为，当点转过的角度在或时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增，因为12秒旋转一周，所以每秒转过的角度是，，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是和，故选D．二、多选题11．某时钟的秒针端点A到时钟的中心点O的距离为，秒针均匀地绕点O旋转.当时间时，点A与钟面上标“12”的点B重合，将A，B两点的距离表示成的函数，则__________，其中.（）A． B． C． D． E.【答案】CE【解析】依题作出图形，如图：因为，所以经过秒针转了，连接，过点作于点，，在中得：，所以或，其中，所以CE正确.故选：CE.12．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（）A．该函数的周期是16B．该函数图象的一条对称轴是直线C．该函数的解析式是D．这一天的函数关系式也适用于第二天E.该市这一天中午12时天气的温度大约是27℃【答案】ABE【解析】由题意以及函数的图象可知，，，∴，.∵，∴，A正确；∵，∴，∴，∵图象经过点，∴，∴，∴可以取，∴，B正确，C错；这一天的函效关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错；当时，，故E正确.综上，ABE正确.故选：ABE13．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点的运动周期为0.8sE.该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零【答案】BCD【解析】由题图可知，振动周期为，故A错，D正确；该质点的振幅为5，B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3s和0.7s时运动速度最大，在0.1s和0.5s时运动速度为零，故C正确，E错.综上，BCD正确.故选：BCD14．一半径为4.8米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2.4米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（）A．点第一次到达最高点需要10秒B．在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点距离水面的高度不低于4.8米C．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面1.2米【答案】BC【解析】对于选项C，由题意可得：点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为，即选项C正确；对于选项A，令，解得：，即点第一次到达最高点需要20秒，即选项A错误；对于选项B，令，解得，即在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点距离水面的高度不低于4.8米，即B正确；对于选项D,因为，即点在水面下方，距离水面2.4米,所以D错误，综上可得选项B,C正确，故选：BC.三、填空题15．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数为________．【答案】【解析】设所求函数为，由题意得，即，，，故．故答案为：16．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，则8时的温度大约为________（精确到）．【答案】13【解析】由图像可得，，，∴，．∵最低点坐标为，∴，得，于是，∴，取，∴．当时，．故答案为：1317．如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．时刻水深5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中）来近似描述，则该港口在11:00的水深为________m．【答案】4【解析】由题意得函数（其中，，的周期为，，解得，，，，该港口在的水深为．故答案为：4．四、双空题18．用作调频无线电信号的载波以为模型，其中的单位是秒，则此载波的周期为________秒，频率为________．【答案】【解析】由题意可得，该载波的周期为，频率为.故答案为：；.19．一半径为的水轮,水轮圆心距离水面2,已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈,当水轮上点从水中浮现时开始计时,即从图中点开始计算时间.(1)当秒时点离水面的高度_________；(2)将点距离水面的高度(单位:)表示为时间(单位:)的函数，则此函数表达式为____________.【答案】【解析】1秒时，水轮转过角度为，在中，，；在中，，，此时点离开水面的高度为；2由题意可知，，设角是以Ox为始边，为终边的角，由条件得，其中；将，代入，得，；所求函数的解析式为．故答案为1，2．20．去年某地的月平均气温与月份（月）近似地满足函数.（为常数,）.其中三个月份的月平均气温如表所示,则该地2月份的月平均气温约为____________________________.【答案】【解析】由题意，得当时，，又因为，所以，即，，即，则，即，即，当时，.21．（用作调频无线电信号的载波以为模型，其中的单位是，则此载波的周期约为_________（保留位有效数字），频率为__________．【答案】【解析】由题意可得，该载波的周期为，频率为.五、解答题22．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数.（1）求的值；（2）求这段时间水深（单位：）的最大值.【答案】（1）；（2）这段时间水深的最大值是.【解析】（1）图知：，因为，所以，解得：.（2）.所以，这段时间水深的最大值是.23．如图，摩天轮上一点P在时刻t（单位:分钟)距离地面的高度y(单位:米)满足，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每