《指数函数及其性质》教案与同步练习

《指数函数及其性质》教案【教学目标与核心素养】课程目标1、理解指数函数的概念和意义.2、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；3、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质；数学学科素养1.数学抽象：指数函数的概念；指数函数的图像与性质.2.逻辑推理：用待定系数法求函数解析式及解析值；图像平移问题.3.数学运算：利用指数函数的概念求参数；求函数的定义域与值域.4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结指数函数概念.【教学重难点】重点：理解指数函数的概念和意义；指数函数的图象和性质；难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学过程】第一课时指数函数及其性质一、情景引入2010年11月1日，全国人口普查全面展开，而2000年我国约有13亿人口．我国政府现在实行计划生育政策，人口年增长率较低．若按年增长率1%计算，到2010年底，我国人口将增加多少？到2020年底，我国人口总数将达到多少？如果我们放开计划生育政策，年增长率是2%，甚至是5%，那么结果将会是怎样的呢？会带来灾难性后果吗？二、新知导学1．指数函数的定义一般地，函数y＝__ax__(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量.[知识点拨]指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x；(3)系数：ax的系数是1.2．指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质定义域__R__值域__(0，＋∞)__过定点过定点__(0,1)__，即x＝0时，y＝1单调性在R上是__增函数__在R上是__减函数__奇偶性非奇非偶函数[知识点拨](1)a>1是“一撇”，0<a<1是“一捺”；(2)图象位于x轴上方；(3)当x＝0时，y＝1；(4)在y轴右侧，a越大，图象越高，即逆时针方向，底数依次增大．三、课前自测1．下列函数中一定是指数函数的是(C)A．y＝2x＋1 B．y＝x2C．y＝3－x D．y＝－2·3x[解析]只有y＝3－x＝(eq\f(1,3))x符合指数函数的概念，A，B，D选项中函数都不符合y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式．2．函数y＝(eq\r(3)－1)x在R上是(D)A．增函数 B．奇函数C．偶函数 D．减函数[解析]∵0<eq\r(3)－1<1，∴函数y＝(eq\r(3)－1)x在R上是减函数．3．函数y＝2－x的图象是(B)[解析]函数y＝2－x＝(eq\f(1,2))x过点(0,1)，且在R上是减函数，故选B．4．指数函数f(x)的图象经过点(2,4)，则f(3)＝__8__.[解析]设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由题意，得4＝a2，∴a＝2.∴f(x)＝2x，∴f(3)＝23＝8.5．若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a＞0，且a≠1)是指数函数，则k＝__－1__，b＝__2__.[解析]根据指数函数的定义，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋2＝1,2－b＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝2)).四、互动探究命题方向1⇨指数函数的概念典例1(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(B)A．y＝(－4)x B．y＝πxC．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0，a≠1)(2)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(C)A．a＝1或2 B．a＝1C．a＝2 D．a>0且a≠1[思路分析]利用指数函数的定义进行判断．[解析](1)函数y＝(－4)x的底数－4<0，故A中函数不是指数函数；函数y＝πx的系数为1，底数π>1，故B中函数是指数函数；函数y＝－4x的系数为－1，故C中函数不是指数函数；函数y＝ax＋2＝a2·ax的系数为a2，故D 中函数不是指数函数，故选B．(2)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1,a>0,a≠1))，解得a＝2，故选C．『规律方法』判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．〔跟踪练习1〕下列函数中是指数函数的是(D)A．y＝2·(eq\r(2))x B．y＝xxC．y＝3－eq\s\up4(\f(1,x)) D．y＝(eq\r(3))x[解析]由指数函数定义可知，函数y＝(eq\r(3))x是指数函数，故选D．命题方向2⇨指数函数的图象典例2如图所示是下列指数函数的图象：(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.则a，b，c，d与1的大小关系是(B)A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c[思路分析]根据指数函数的底数与图象间的关系来进行判断．[解析]可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B．『规律方法』指数函数图象的变化规律指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．〔跟踪练习2〕(1)如图所示是指数函数的图象，已知a的值取eq\r(2)，eq\f(4,3)，eq\f(3,10)，eq\f(1,5)，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a依次为(D)A．eq\f(4,3)，eq\r(2)，eq\f(1,5)，eq\f(3,10) B．eq\r(2)，eq\f(4,3)，eq\f(3,10)，eq\f(1,5)C．eq\f(3,10)，eq\f(1,5)，eq\r(2)，eq\f(4,3) D．eq\f(1,5)，eq\f(3,10)，eq\f(4,3)，eq\r(2)[解析]按规律，C1，C2，C3，C4的底数a依次增大，故选D．(2)若函数y＝ax＋(b－1)(a＞0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有(D)A．a＞1且b＜1 B．0＜a＜1且b≤1C．0＜a＜1且b＞0 D．a＞1且b≤0[解析]由函数图象不过第二象限知a>1，且x＝0时，a0＋(b－1)≤0，∴b≤0，故选D．指数函数中忽视对底数的分类讨论致误典例3函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的差为eq\f(1,2)，求a的值．[错解]f(x)最大值为f(1)＝a，最小值为f(0)＝1，∴a－1＝eq\f(1,2)，∴a＝eq\f(3,2).[错因分析]忽视当0<a<1时，函数f(x)在[0,1]上是减函数这种情况，导致漏掉解a＝eq\f(1,2).[正解](1)当a＞1时，函数f(x)＝ax在[0,1]上是增函数．所以当x＝1时，函数f(x)取最大值；当x＝0时，函数f(x)取最小值．由题意得f(1)－f(0)＝eq\f(1,2)，即a－a0＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(3,2).(2)当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax在[0,1]上是减函数．所以当x＝1时，函数f(x)取最小值；当x＝0时，函数f(x)取最大值．由题意得f(0)－f(1)＝eq\f(1,2)，即a0－a＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,2).综上知a＝eq\f(3,2)或eq\f(1,2).转化与化归思想的应用指数型函数的定义域、值域、图象与性质的讨论都可以化归为基本函数y＝ax(a>0且a≠1)的相关知识来解决．典例4求下列函数的定义域与值域：(1)y＝2eq\s\up4(\f(1,x-4))；(2)y＝(eq\f(1,3))eq\r(x－2).[思路分析](1)题中x－4满足什么条件时，函数有意义？y的值不可能取得什么？(2)题中式子的指数中含有根式，若要有意义，需满足什么条件？[解析](1)由x－4≠0，得x≠4，所以定义域为{x∈R|x≠4}．因为eq\f(1,x－4)≠0，所以2eq\s\up4(\f(1,x-4))≠1.所以y＝2eq\s\up4(\f(1,x-4))的值域为{y|y＞0，且y≠1}．(2)由x－2≥0，得x≥2，所以定义域为{x|x≥2}．当x≥2时，eq\r(x－2)≥0，又因为0＜eq\f(1,3)＜1，所以y＝(eq\f(1,3))eq\r(x－2)的值域为{y|0＜y≤1}．『规律方法』1.函数单调性在求函数值域中的应用(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(a)≤f(x)≤f(b)，值域为[f(a)，f(b)]．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(a)≥f(x)≥f(b)，值域为[f(b)，f(a)]．2．函数y＝af(x)定义域、值域的求法(1)定义域．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．(2)值域．①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．五、课堂达标作业1．下列各函数中，是指数函数的是(D)A．y＝x3 B．y＝eq\f(1,x)C．y＝5x＋1 D．y＝52x[解析]根据指数函数的定义：形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数叫做指数函数，结合选项从而可知y＝52x＝25x为指数函数，故选D．2．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(C)[解析]由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B项，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C．3．函数y＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点(D)A．(0,1) B．(1,1)C．(2,0) D．(2,2)[解析]令x－2＝0，即x＝2，y＝a0＋1＝2，故选D．4．已知函数f(x)为指数函数，且f(－eq\f(3,2))＝eq\f(\r(3),9)，则f(－2)＝__eq\f(1,9)__.[解析]设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，∴eq\f(\r(3),9)＝a－eq\s\up5(\f(3,2))＝eq\f(1,aeq\s\up5(\f(3,2)))，∴eq\f(1,27)＝eq\f(1,a3)，∴a＝3.∴f(x)＝3x，∴f(－2)＝3－2＝eq\f(1,9).5．函数y＝2x(x≥0)的值域是__[1，＋∞)__.[解析]∵y＝2x在[0，＋∞)上为增函数，∴x≥0即y≥20，∴值域为[1，＋∞)．《第一课时指数函数及其性质》同步练习A级基础巩固一、选择题1．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是(B)A．(eq\f(1,2)，＋∞) B．(0，eq\f(1,2))C．(－∞，eq\f(1,2)) D．(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2))[解析]由已知，得0<1－2a<1，解得0<a<eq\f(1,2)，即实数a的取值范围是(0，eq\f(1,2))．2．函数y＝eq\r(1－3x)的定义域是(B)A．[0，＋∞) B．(－∞，0]C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)[解析]1－3x≥0,3x≤1，∴x≤0，故选B．3．函数f(x)＝3x－3(1＜x≤5)的值域是(C)A．(0，＋∞) B．(0,9)C．(eq\f(1,9)，9] D．(eq\f(1,3)，27)[解析]因为1＜x≤5，所以－2＜x－3≤2.而函数f(x)＝3x是单调递增的，于是有eq\f(1,9)＜f(x)≤32＝9，即所求函数的值域为(eq\f(1,9)，9]，故选C．4．若函数f(x)＝(eq\f(1,2)a－3)·ax是指数函数，则f(eq\f(1,2))的值为(D)A．2 B．－2C．－2eq\r(2) D．2eq\r(2)[解析]由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－3＝1,a>0,a≠1))，∴a＝8，∴f(x)＝8x.∴f(eq\f(1,2))＝8eq\s\up5(\f(1,2))＝2eq\r(2).5．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是(D)A．a>1，b>0 B．a>1，b<0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0[解析]从图象的变化趋势可知，0<a<1，从曲线位置看，是由函数y＝ax的图象向左平移|b|个单位，∴－b>0，即b<0，故选D．6．如果a>1，b<－1，那么函数y＝ax＋b的图象在(B)A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限[解析]∵a>1，∴y＝ax在R上是增函数，又∵b<－1，∴当x＝0时，ax＋b＝1＋b<0，∴函数y＝ax＋b的图象如图，故选B．二、填空题7．函数y＝eq\r(ax－1)(a＞0，且a≠1)的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围为__(0,1)__.[解析]由ax－1≥0，得ax≥1.∵函数的定义域是(－∞，0]，∴ax≥1的解集为(－∞，0]，∴0＜a＜1.8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3xx＞0,2x－3x≤0))，若f(a)－f(2)＝0，则实数a的值等于__2__.[解析]由已知，得f(2)＝9；又当x＞0时，f(x)＝3x，∴当a>0时，f(a)＝3a，∴3a－9＝0，∴a＝2.当x<0时，f(x)＝2x－3，∴当a<0时，f(a)＝2a－3，∴2a－3－9＝0，∴a＝6，又∵a<0，a≠6.综上可知a＝2.三、解答题9．求下列函数的定义域和值域．(1)y＝0.4eq\s\up4(\f(1,x-1))；(2)y＝3eq\r(5x－1)；(3)y＝2x＋1.[解析](1)由x－1≠0，得x≠1.故所求函数定义域为{x|x≠1}．由eq\f(1,x－1)≠0，得y≠1.故所求函数值域为{y|y>0且y≠1}．(2)由5x－1≥0，得x≥eq\f(1,5).故所求函数定义域为{x|x≥eq\f(1,5)}．由eq\r(5x－1)≥0，得y≥1.故所求函数值域为{y|y≥1}．(3)所求函数定义域为R，由2x>0，可得2x＋1>1.故所求函数值域为{y|y>1}．B级素养提升一、选择题1．函数y＝a|x|(a>1)的图象是(B)[解析]∵y＝a|x|为偶函数，∴其图象关于y轴对称，当x>0时，y>1，与y＝ax(a>1)的图象一致，故选B．2．设eq\f(1,2)<(eq\f(1,2))b<(eq\f(1,2))a<1，那么(B)A．0<b<a<1 B．0<a<b<1C．a>b>1 D．b>a>1[解析]由eq\f(1,2)<(eq\f(1,2))b<(eq\f(1,2))a<(eq\f(1,2))0以及函数y＝(eq\f(1,2))x是减函数可知0<a<b<1，故选B．3．定义运算a*b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≤b,bb<a))，如1](D)A．(0,1) B．(0，＋∞)C．[1，＋∞) D．(0,1][解析]由题意知函数f(x)的图象如图，∴函数的值域为(0,1]，故选D．4．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如下图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(A)[解析]由题图可知0＜a＜1，b＜－1，则g(x)是一个减函数，可排除C，D，再根据g(0)＝1＋b＜0，可排除B，故选A．二、填空题5．已知y＝f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝4x，则f(－eq\f(1,2))＝__－2__.[解析]因为当x＞0时，f(x)＝4x，所以f(eq\f(1,2))＝4eq\s\up5(\f(1,2))＝2.又因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－eq\f(1,2))＝－f(eq\f(1,2))＝－2.6．若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域、值域都是[0,2]，则实数a的值为__eq\r(3)__.[解析]当a>1时，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝0,f2＝a2－1＝2))，解得a＝eq\r(3).当0<a<1时，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝2,f2＝a2－1＝0))，无解．综上可知a＝eq\r(3).三、解答题7．函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a＞0且a≠1)的图象过点A(0,1)，B(3,8)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝eq\f(fx－1,fx＋1)，试判断函数g(x)的奇偶性，并给出证明．[解析](1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,k·a－3＝8，))∴k＝1，a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝2x.(2)函数g(x)为奇函数．证明：g(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，其定义域为R，又g(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－eq\f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，∴函数g(x)为奇函数．8．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，eq\f(1,2))，其中a＞0且a≠1.(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．[解析](1)∵函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，eq\f(1,2))，∴eq\f(1,2)＝a2－1，∴a＝eq\f(1,2).(2)由(1)知f(x)＝(eq\f(1,2))x－1＝2·(eq\f(1,2))x，∵x≥0，∴0＜(eq\f(1,2))x≤(eq\f(1,2))0＝1，∴0＜2·(eq\f(1,2))x≤2，∴函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0,2]．9．求下列函数的定义域和值域．(1)y＝(eq\f(1,2))x＋1(－1≤x≤1)；(2)y＝10eq\s\up4(\f(1,x))；(3)y＝3|x＋1|.[解析](1)定义域[－1,1]，值域[eq\f(3,2)，3]．(2)y＝10eq\s\up4(\f(1,x))定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y>0且y≠1}．(3)y＝3|x＋1|定义域为R，值域为{y|y≥1}．第二课时指数函数性质的应用一、情景引入宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成二氧化碳后进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入．只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失．对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代．这就是考古学家常用的碳14测年法．你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律吗？二、新知导学1．比较幂的大小比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．2．有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．(2)判断复合函数的单调性令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．三、课前自测1．下列判断正确的是(D)A．2.52.5>2.53 B．0.82<0.83C．π2<πeq\s\up5(eq\r(2)) D．0.90.3>0.90.5[解析]∵y＝0.9x是减函数，且0.5>0.3，∴0.90.3>0.90.5.2．若2x＋1＜1，则x的取值范围是(D)A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)[解析]不等式2x＋1＜＝20，因为y＝2x是定义域R上的增函数，所以x＋1＜0，即x＜－1.3．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是(C)A．[1，eq\f(5,3)] B．[－1,1]C．[－eq\f(5,3)，1] D．[0,1][解析]因为f(x)＝3x－2是[－1,1]上的增函数，所以3－1－2≤f(x)≤3－2，即－eq\f(5,3)≤f(x)≤1.4．已知指数函数f(x)＝ax，且f(3)>f(2)，则a的取值范围是__a＞1__.[解析]∵f(3)＞f(2)，∴f(x)为增函数，∴a＞1.5．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为__m<n__.[解析]∵a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，∴f(x)＝ax为减函数，故由am>an，解得m<n.四、互动探究命题方向1⇨幂式大小的比较典例1比较下列各题中两个值的大小．(1)1.82.2,1.83；(2)0.7－0.3,0.7－0.4；(3)1.90.4,0.92.4;(4)(eq\f(4,5))eq\s\up5(\f(1,2))，(eq\f(9,10))eq\s\up5(\f(1,3)).[思路分析](1)(2)利用指数函数的单调性比较；(3)借助中间量1进行比较；(4)借助中间量(eq\f(9,10))eq\s\up5(\f(1,2))进行比较．[解析](1)∵1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，又2.2<3，∴1.82.2<1.83.(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4.(4)∵eq\f(\f(4,5)eq\s\up5(\f(1,2)),\f(9,10)eq\s\up5(\f(1,2)))＝(eq\f(8,9))eq\s\up5(\f(1,2))<(eq\f(8,9))0＝1，∴(eq\f(4,5))eq\s\up5(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up5(\f(1,2))，∵y＝(eq\f(9,10))x在R上为减函数，又eq\f(1,2)>eq\f(1,3)，∴(eq\f(9,10))eq\s\up5(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up5(\f(1,3))，∴(eq\f(4,5))eq\s\up5(\f(1,2))<(eq\f(9,10))eq\s\up5(\f(1,3)).『规律方法』比较指数式的大小应根据所给指数式的形式，当底数相同时，运用单调性法求解；当底数不同时，利用一个中间量做比较进行求解．或借助于同一坐标系中的图象求解．〔跟踪练习1〕比较下列每组中两个数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)(eq\f(2,3))－0.5，(eq\f(3,4))－0.5；(4)1.70.3,0.93.1.[解析](1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7>1，∴指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.(2)考查函数y＝0.8x，由于0<0.8<1，∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2.(3)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝(eq\f(2,3))x与y＝(eq\f(3,4))x的图象，如图所示，当x＝－0.5时，观察图象可得(eq\f(2,3))－0.5＞(eq\f(3,4))－0.5.(4)由指数函数的性质得1．70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1.命题方向2⇨指数型函数的奇偶性典例2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2|x|；(2)f(x)＝3x－3－x；(3)f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1).[思路分析]利用函数奇偶性的定义判断．[解析](1)f(x)定义域为R，关于原点对称f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，∴f(x)＝2|x|是偶函数．(2)f(x)定义域为R，关于原点对称.f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，∴f(x)＝3x－3－x是奇函数．(3)f(x)定义域为R，关于原点对称f(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(\f(1,2x)－1,\f(1,2x)＋1)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－eq\f(2x－1,2x＋1)＝－f(x)，∴f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)是奇函数．『规律方法』判断指数型函数的奇偶性首先判断其定义域是否关于原点对称；其次，在定义域关于原点对称的基础上，判断f(－x)＝±f(x)之一是否成立；最后，得结论．〔跟踪练习2〕f(x)＝eq\f(2x,a)＋eq\f(a,2x)是偶函数，则a＝(C)A．1 B．－1C．±1 D．2[解析]依题意，对一切x∈R，有f(－x)＝f(x)，即eq\f(1,a·2x)＋a·2x＝eq\f(2x,a)＋eq\f(a,2x).∴(a－eq\f(1,a))(2x－eq\f(1,2x))＝0对一切x∈R成立，则a－eq\f(1,a)＝0，∴a＝±1.命题方向3⇨指数型函数的单调性典例3讨论函数f(x)＝(eq\f(1,3))x2－2x的单调性，并求其值域．[思路分析]此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可根据复合函数的单调性对其讨论．[解析]解法一：∵函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，设x1、x2∈(－∞，＋∞)且有x1<x2，∴f(x2)＝(eq\f(1,3))xeq\o\al(2,2)－2x2，f(x1)＝(eq\f(1,3))xeq\o\al(2,1)－2x1.eq\f(fx2,fx1)＝eq\f(\f(1,3)x\o\al(2,2)－2x2,\f(1,3)x\o\al(2,1)－2x1)＝(eq\f(1,3))xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1)－2(x2－x1)＝(eq\f(1,3))(x2－x1)(x2＋x1－2)．(1)当x1<x2≤1，x1＋x2<2，即有x1＋x2－2<0.又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)<0，则知(eq\f(1,3))(x2－x1)(x2＋x1－2)>1.又对于x∈R，f(x)>0恒成立．∴f(x2)>f(x1)．∴函数f(x)在(－∞，1]上单调递增．(2)当1≤x1<x2时，x1＋x2>2，即有x1＋x2－2>0.又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x1＋x2－2)>0，则知0<(eq\f(1,3))(x2－x1)(x2＋x1－2)<1，∴f(x2)<f(x1)．∴函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．综上，函数f(x)在区间(－∞，1]上是增函数；在区间[1，＋∞)上是减函数．∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1,0<eq\f(1,3)<1，∴0<(eq\f(1,3))x2－2x≤(eq\f(1,3))－1＝3.∴函数f(x)的值域为(0,3]．解法二：∵函数f(x)的定义域为R，令u＝x2－2x，则g(u)＝(eq\f(1,3))u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1，在(－∞，1)上是减函数，g(u)＝(eq\f(1,3))u在其定义域内是减函数，∴函数f(x)在(－∞，1]内为增函数．又g(u)＝(eq\f(1,3))u在其定义域内为减函数，而u＝x2－2x＝(x－1)2－1在[1，＋∞)上是增函数．∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数．求值域同解法一．『规律方法』(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]单调性．〔跟踪练习3〕求函数f(x)＝2x2－6x＋17的定义域、值域、单调区间．[解析]函数f(x)的定义域为R.令t＝x2－6x＋17，则y＝2t.∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在(－∞，3)上是减函数，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在(－∞，3)上为减函数．又∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在[3，＋∞)上为增函数，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在[3，＋∞)为增函数．∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴f(x)＝2x2－6x＋17≥28＝256，∴函数f(x)的值域为[256，＋∞)．换元时忽视中间变量的范围致误典例4求函数y＝(eq\f(1,4))x＋(eq\f(1,2))x＋1的值域．[错解]令t＝(eq\f(1,2))x，则y＝f(t)＝t2＋t＋1，即y＝(t＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)，所以ymin＝eq\f(3,4).故函数的值域为[eq\f(3,4)，＋∞)．[错因分析]换元时，要利用指数函数的性质确定t的取值范围，错解中忽略了这一点．[正解]令t＝(eq\f(1,2))x，则t＞0，y＝f(t)＝t2＋t＋1＝(t＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)，因为函数f(t)＝(t＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)在(0，＋∞)上为增函数，所以y∈(1，＋∞)，即函数的值域为(1，＋∞)．[警示]用换元法解题时，换之后一定要注意考虑“新元”的取值范围，将原变量的取值范围等价转化为“新元”的取值范围．〔跟踪练习4〕求函数y＝9x＋2·3x－2的值域．[解析]设3x＝t，则t>0则y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3.∵上式中当t＝0时y＝－2，又∵t＝3x＞0，∴y＝9x＋2·3x－2的值域为(－2，＋∞)．数形结合思想的应用——图形变换技巧1．平移变换当m>0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到．2．对称(翻折)变换y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于y轴上方的部分不变，而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到．典例5画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝－2x；(4)y＝2|x|；(5)y＝|2x－1|；(6)y＝－2－x.[分析]用描点法作出图象，然后根据图象判断．[解析]如图所示．(1)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到的；(2)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到的；(3)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称；(4)y＝2|x|的图象是由y＝2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的；(5)y＝|2x－1|的图象是由y＝2x的图象向下平移1个单位，然后将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的；(6)y＝－2－x的图象与y＝2x的图象关于原点对称．五、课堂达标作业1．若a＝0.5eq\s\up5(\f(1,2))，b＝0.5eq\s\up5(\f(1,3))，c＝0.5eq\s\up5(\f(1,4))，则a，b，c的大小关系是(B)A．a＞b＞c B．a＜b＜cC．a＜c＜b D．b＜c＜a[解析]∵函数y＝0.5x是R上的减函数，又∵eq\f(1,2)＞eq\f(1,3)＞eq\f(1,4)，∴a＜b＜c，故选B．2．已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则(A)A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅[解析]由3x<1，得x<0，∴B＝{x|3x<1}＝{x|x<0}．∴A∩B＝{x|x<1}∩{x|x<0}＝{x|x<0}，故选A．3．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为(B)A．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．b>c>a[解析]a＝30.2<31＝3，b＝0.2－3＝53＝125，c＝(－3)0.2＝(－3)eq\s\up5(\f(1,5))<0，∴b>a>c.4．函数y＝(eq\f(1,3))x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n＝__12__.[解析]y＝(eq\f(1,3))x在[－2，－1]上单调递减，m＝f(－1)＝(eq\f(1,3))－1＝3，n＝f(－2)＝(eq\f(1,3))－2＝9，∴m＋n＝3＋9＝12.5．已知5x＋3<51－x，试求x的取值范围．[解析]设f(x)＝5x，则f(x)在R上是增函数，由题意得f(x＋3)<f(1－x)，则x＋3<1－x，解得x<－1，即x的取值范围是(－∞，－1)．第二课时指数函数性质的应用A级基础巩固一、选择题1．若(eq\f(1,2))2a＋1<(eq\f(1,2))3－2a，则实数a的取值范围是(B)A．(1，＋∞) B．(eq\f(1,2)，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，eq\f(1,2))[解析]由题意，得2a＋1>3－2a，∴4a>2，∴a>eq\f(1,2)，故选B．2．函数y＝(eq\f(1,2))1－x的单调增区间为(A)A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0,1)[解析]设t＝1－x，则y＝(eq\f(1,2))t，函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝(eq\f(1,2))1－x的递增区间，故选A．3．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0且a≠1)，f(2)＝4，则(D)A．f(－1)＞f(－2) B．f(1)＞f(2)C．f(2)＜f(－2) D．f(－3)＞f(－2)[解析]由f(2)＝4得a－2＝4，又∵a＞0，∴a＝eq\f(1,2)，f(x)＝2|x|，∴函数f(x)为偶函数，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选D．4．已知函数f(x)的定义域是(1,2)，则函数f(2x)的定义域是(A)A．(0,1) B．(2,4)C．(eq\f(1,2)，1) D．(1,2)[解析]∵f(x)的定义域是(1,2)，∴1＜2x＜2，即20＜2x＜21，∴0＜x＜1，故选A．5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx<4,fx－1x≥4))，则f(5)的值为(C)A．32 B．16C．8 D．64[解析]f(5)＝f(5－1)＝f(4)＝f(4－1)＝f(3)＝23＝8.6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋a与y＝ax的图象大致是(B)[解析]B项中，由y＝ax的图象，知a>1，故直线y＝ax＋a与y轴的交点应在(0,1)之上，与x轴交于点(－1,0)，其余各选项均矛盾．二、填空题7．在函数y＝ax(a>0且a≠1)中，若x∈[1,2]时最大值比最小值大eq\f(a,2)，则a的值为__eq\f(1,2)或eq\f(3,2)__.[解析]当a>1时，有a2－a＝eq\f(a,2)，∴a2－eq\f(3,2)a＝0，∴a＝eq\f(3,2).当0<a<1时，有a－a2＝eq\f(a,2)，∴a2－eq\f(a,2)＝0，∴a＝eq\f(1,2).综上，a的值为eq\f(3,2)或eq\f(1,2).8．已知函数f(x)＝eq\f(1,3x＋1)＋a为奇函数，则a的值为__－eq\f(1,2)__.[解析]解法一：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，即eq\f(1,3－x＋1)＋a＋eq\f(1,3x＋1)＋a＝0，∴2a＝－eq\f(1,3x＋1)－eq\f(1,3－x＋1)＝－eq\f(3x＋1,3x＋1)＝－1，∴a＝－eq\f(1,2).解法二：f(0)＝eq\f(1,30＋1)＋a＝eq\f(1,2)＋a，又f(0)＝0，∴a＝－eq\f(1,2).三、解答题9．比较下列各题中两个数的大小：(1)9.013.2,9.013.3；(2)9.01m,9.01－m(m∈R)．[解析]函数f(x)＝9.01x是增函数，(1)∵3.2<3.3，∴9.013.2<9.013.3.(2)当m>－m即m>0时，∴9.01m>9.01－m；当m＝－m即m＝0时，∴9.01m＝9.01－m；当m<－m即m<0时，∴9.01m<9.01－m.综上所得，当m>0时，9.01m>9.01－m；当m＝0时，9.01m＝9.01－m；当m<0时，9.01m<9.01－m.B级素养提升一、选择题1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(eq\f(1,2))－1.5，则(B)A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2[解析]y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝(eq\f(1,2))－1.5＝21.5，∵y＝2x是增函数，∴y1＞y3＞y2，故选B．2．函数y＝2x＋1的图象是(A)[解析]y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到的，并且当x＝0时，y＝2，故选A．3．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是(D)A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b[解析]因为函数y＝0.8x是R上的单调递减函数，所以a＞b.