安徽省蚌埠市2025届高三上学期第一次教学质量检查考试（1月）数学试题（蚌埠一模）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页安徽省蚌埠市2025届高三上学期第一次教学质量检查考试（1月）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,x)，b=(3,1)，若a/​/b，则A.0 B.1 C.12 D.2.已知i为虚数单位，复数z满足(1+i)z=3−i，则|z|=(

)A.5 B.5 C.223.若集合A={x∈N∗|x2−2x−3<0}，A.{1,2} B.{2,3} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}4.已知直线x−y+2=0与圆C:(x−1)2+(y−2)2=1相交于点P，A.22 B.2 C.25.已知tanθ=2，则sin2(A.65 B.35 C.256.若等差数列{an}满足a22+A.[−22,22] B.[−4,4]7.已知三棱锥P−ABC中，△PAC是边长为3的正三角形，AB⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，则该三棱锥的外接球体积为(

)A.3π B.9π2 C.438.抛掷一枚骰子一次，观察向上一面的点数，将结果记作k(k∈{1,2,3,4,5,6}).若事件A={2,4,6}，事件B={4,5,6}，事件C满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则事件C的个数为(

)A.9 B.8 C.7 D.6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知点P在抛物线y2=2px(p>0)上，点M坐标为(2,0)，O为坐标原点.若△OPM是等腰直角三角形，则p的值可以为(

)A.4 B.2 C.1 D.110.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在(πA.1 B.43 C.6 D.11.已知a>e，b>e，且a(1+lnb)=(1+eb)lna，其中eA.lna−lnb>1 B.ea<b C.2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量X∼N(3,σ2)，若P(3≤X≤5)=0.4，则P(X≤1)=

13.(2x+y)4的展开式中系数最大的项为

14.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1(−2,0)，F2(2,0)，点P(2,3)是C1与C2的交点.记椭圆C1在点P处的切线为直线m，双曲线C2在点P处的切线为直线n，∠PF1F2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)怀远石榴是安徽省怀远县的特产，国家地理标志产品，唐代已有栽植.怀远石榴籽白莹澈如水晶，果实大如碗，皮黄而透红，肉肥核细，汁多味甘.现按照怀远石榴的果径大小分为四类：特级果，一级果，二级果，三级果.某果农从其果园采摘的石榴中随机选取50个，测量果径对照分类标准得到数据如表所示：等级特级果一级果二级果三级果个数51020a(1)求a的值并计算三级果所占的百分比;(2)用样本估计总体，该果农参考以下两种销售方案进行销售．方案1:分类出售，各等级石榴的市场价如表所示：等级特级果一级果二级果三级果售价(元/个)10852方案2:不分类出售，均按二级果售价出售．从果农的收益考虑，不考虑其它因素应该采用哪种方案较好?说明理由．16.(本小题15分)

北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台.赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型(图1)，体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神.某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2.在△ABC中，AB=AC=10，cosA=45，点B，H，C在线段MN上，且MB=BH=HC=CN，△PMH和△QNH都是等腰直角三角形，∠M=∠N=90∘，PH交AB于点D，QH交(1)求BC;(2)求sin(3)求四边形QECN的面积．17.(本小题15分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，侧面CBB1(1)求证：CB⊥平面AB(2)若C1E=2EC，求平面B18.(本小题17分)已知函数f(x)=2x−e(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值;(3)若关于x的方程f(x)=a(a∈R)有两个根x1和x2，求证：|19.(本小题17分)在反诈骗题材电影《孤注一掷》中有这样一个情节，作为程序员的男主角通过在拍照时摆出数字“6”的手势向朋友发出求救信号，因为数字6的二进制表达式为110.进位计数制是一种计数方法，可使用有限的数字符号代表所有的数值，可使用数字符号的数目称为基数，基数为m(m∈N∗,m≥2)即可称为m进制，例如我们最常用的十进制，就是用0∼9这十个阿拉伯数字表示所有的数值.对于正整数n，若它的二进制表达式为(akak−1⋯a2a1a0)2，则n=ak⋅(1)用二进制表示正整数2025;(2)对于正整数n，若n=(akak−1(3)记φ(n)表示正整数n的二进制表达式中0的个数，求n=12552φ(n)参考答案1.D

2.A

3.C

4.B

5.B

6.D

7.C

8.A

9.CD

10.ABD

11.ACD

12.0.1

13.32x14.2

15.解：(1)a=50−5−10−20=15，

三级果所占的百分比为1550×100%=30%．

(2)用样本估计总体的分布，

可得方案1的石榴的平均售价为10×550+8×1050+5×205016.解：(1)在△ABC中，由余弦定理，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cosA

=10+10−20×45=4，

所以BC=2．

(2)在△ECH中，∠EHC=45∘，

在△ABC中，由余弦定理，

cos∠ECH=cos∠ACB=AC2+BC2−AB22AC⋅BC

=10+4−102×10×2=1010，17.解：(1)取AB的中点O，连接OB1，OD，A1B，

菱形ABB1A1中，AB=B1B=B1A=2，

则△ABB1为正三角形，∠ABB1=60∘，

从而∠BAA1=120∘，

由余弦定理，A1B2=AB2+AA12−2AB⋅AA1cos∠BAA1

=22+22−2×2×2×(−12)=12，

又A1C=4，正方形CBB1C1中，BC=B1B=2，

所以BC2+A1B2=A1C2，即CB⊥A1B.

在正方形CBB1C1中，CB⊥BB1，BB1∩A1B=B，BB1，A1B⊂平面ABB1A1，

所以CB⊥平面ABB1A1．

(2)AB⊂平面ABB1A1，则CB⊥AB，

又OD为中位线，OD//BC，所以OD⊥AB．

在正三角形ABB1中，AB⊥B1O，

由(1)知，CB⊥平面ABB1A1，OB1⊂平面ABB118.解：(1)由f′(x)=2−ex，则f′(1)=2−e，

而f(1)=2−e，故f(x)在x=1处的切线方程为y−(2−e)=(2−e)(x−1)，即(2−e)x−y=0．

(2)令f′(x)=2−ex>0，得x<ln2;令f′(x)=2−ex<0，得x>ln2，

故f(x)在(−∞,ln2)上单调递增，在(ln2,+∞)上单调递减，

f(x)的极大值为f(ln2)=2ln2−eln2=2ln2−2，无极小值．

(3)由(2)，不妨令x1∈(−∞,ln2)，x2∈(ln2,+∞)，f(x1)=f(x2)=a，

构造g(x)=f(x)−(2−e)x=ex−ex，x∈(ln2,+∞)，g′(x)=e−ex，

令g′(x)=e−ex>0，得x<1;令g′(x)=e−ex<0，得x>1，

所以g(x)在(ln2,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，

g(