2023届初升高数学衔接讲义第八讲 集合的基本运算（讲义）含解析

2023隼新高中新接素养理升专理辨义

第八讲集合的基本运算(精讲)(原卷版)

【知识点透析】

一、交集

1、文字语言：对于两个给定的集合4B,由属于力又属于8的所有元素构成的集合，叫做

A,8的交集，记作∕∩8,读作“/交6”

2、符号语言：4∩8={x∣x∈/且x∈8}

3、图形语言：阴影部分为/C6

4、性质：AΠβ=β∏Λ,ΛΠΛ=A,/l∩0=0∩J=0,如果/u8,则4∏8=/

5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。

二、并集

1、文字语言：对于两个给定的集合4B,由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做/与

6的并集，记作4U6,读作“4并6”

2、符号语言：4U片{x∣x∈∕l或x∈6}

3、符号语言：阴影部分为4U6

4、性质：4U8=8UA,AUA^A,4U0=0U4=4如果/U6,则∕1U6=4

5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互

异性

三、补集

L集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，

那么称这个给定的集合为全集.记法：全集通常记作〃

2、补集

(1)文字语言：如果给定集合4是全集〃的一个子集，由〃中不属于/的所有元素构成的

集合，叫做4在夕中的补集，记作C°A.

(2)符号语言：CUA={x∣XeU且xeA}

(3)符号语言：

(4)性质：AD1,A=NrlCM=0;XL4)=4

【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R,要看题目的。

四、利用交并补求参数范围的解题思路

1、根据并集求参数范围：AB=BnAqB,

若/有参数，则需要讨论4是否为空集；

若8有参数，则

2、根据交集求参数范围：AB=A=>A^B

若力有参数，则需要讨论4是否为空集；

若8有参数，则8≠0

【知识点精讲】

题型一并集、交集、补集的运算

【例题1】（2022•浙江•杭十四中高一期中）设全集U={l,2,3,4,5,6},集合

S={1,3,5},T={2,3,4,5},则SuT=（）

A.{3,5}B.{2,4}C.{1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5,6}

【例题2】（2021春•山西大同期中）设集合A={x∣x<l},B={x∣-2<x<2},则%β=（

）

A.{x∖-2<x<∖]B.{x∣x<2}C.{x∖-2<x<2}D.[x∖x<∖}

【例题3】.（2022•江苏•高二期末）己知集合A={L2},B={a-l,a2+2},若Ac3={l},

则实数”的值为（）

A.0B.1C.2D.3

【例题4】.（2022•陕西•宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））已知集合A={Λ∣-2<X≤1},

B={x∣0<x≤α},若AB={x∣-2<x≤3},A∩B=（）

A.{x∣-2<x<0}B.{x∣0<x≤l}C.{x∣l<x≤3}D.{x∣-2<x≤3}

【例题5】.（2021•北京昌平区•高二期末）已知全集U={0,123,4,5},集合A={O,1,2,3}

，β={3,4},IjIlJ（¾A）,β=.

【例题61.（2022•四川南充高一课时检测）已知全集A={x∖l4x46},集合8={x∣l<x<5},

则UB=（）.

A.{X∣Λ>51B.{x∣x41或x25}

C.{x∣x=l或5<x≤6}D.{x∣x=l或5≤x≤6}

【例题71.41.（2021.陕西商洛市•镇安中学高一期中）已知集合A={x∣-2≤x45},

B-^x∖m+∖≤x≤2m-∖^.

（1）若帆=4,求AB-（2）若AB=0,求实数机的取值范围.

【变式1].（2022•河北邢台高二期末）若集合V={x-2<x≤4},N={x∣4≤x≤6},则

A.Mc,NB.M∩N={4}C.MpND.MTV={x|-2<x<6}

【变式2】.（2022•江苏常州高三开学考试）设集合A={x∣-l<x<l},β={x∣x2-2x≤θ},

则AUB=()

A.(-1,2]B.(-1,2)C.[0,l)D.(O,l]

【变式3](2022•青海•海东市第一中学模拟预测(文))已知集合M={-1,1,2},

N={xeR∣χ2=χ},则Λ∕υN=()

A.{1}B.{-l,0}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,2)

【变式4】.(2022・浙江三模)已知集合尸=323<5},。=岗33<6},则尸。=()

A.{x∣2≤x<5}B.{x∣2≤x<6}C.{x∣3≤x<5}D.{x∣3≤x<6∣

题型二并集、交集、补集综合运算及性质的应用

【例题8】.(2022•河南洛阳高一课时检测)已知全集U,集合A={1,3,5,7,9},GyA={2,4,6,8},

QB={1,4,6,8,9},则集合8=()

A.{1,5,7}B.{3,5,7,9}C.{2,3,5,7,9}D.{2,3,5,7}

【例题9】.（2022•重庆•西南大学附中模拟预测）已知集合A={x∣Ur-I=0},

8={xeN*∣l≤x<4},且ADB=B,则实数。的所有值构成的集合是（）

【例题10].（湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期起点考试）己知集合

A=(-∞,l∣u[2,+∞),8={X"-l<x<"+l},若A8=R,则实数α的取值范围为()

A.（1,2）B.[1,2）C.（1,2]D.[1,2]

【例题11].（2022•云南昆明一中高一检测）已知A,B都是非空集合，A<feβ={xjx∈（AuB））

且Xe(AB).若4={x∣0<x<2},8={x∣x≥0},则A&8=()

A.{x∣x≥θ}B.{x∣0<X<2}

C.{Λ∣X=0或x<-2}D.{x∣x=0或x≥2}

【例题12].（2021•江苏高一专题练习）已知集合A={x∣-4<x<2},

B-∣x∣-∕n-∖<x<m-∖,m>θ}.

（1）若AuB=B,求实数机的取值范围;

（2）若AcBx0,求实数用的取值范围.

【变式D（2022记宁沈阳高一课前预习）集合4=卜卜2-3%+2=0},B={x∖2x2-ax+2=0

，若AUB=4,求实数”的取值范围.

【变式2】.（2023•浙江高二开学考试）已知αeR,设集合A=卜,-2or+2α-l<θ},

B={x∣x>2},

（1）当α=2时，求集合A.（2）若A项6R8,求实数”的取值范围.

【变式3】.（2022•四川乐山市高一单元测试）己知集合A={x∣2"-l<x<α+l},

8={x∣0≤x≤1}.

⑴在①。=-1,②α=0,③α=l这三个条件中任选一个作为已知条件，求ABi

（2）若AC条B=A,求实数。的取值范围.

题型三Venn图的应用

【例题13].（2021•贵州省思南中学高三月考（理））已知全集U=R,集合

A=Wy=X2+3,Xe/?},8={x|—2<x<4},则图中阴影部分表示的集合为（）

B.(—2,3)C.(—2,3]D.[—2,3)

【例题14].（2021•全国高三其他模拟）已知全集U=xeZ∖y-yJx+5-，集合

>∕6-xJ

M={x∈Z∣∣x-l∣<3},N={T,-2,0,l,5},则下列论”〃图中阴影部分表示的集合为（）

A.{O,1}B.{-3,l,4}C.{-l,2,3}D.{-1,0,2,3}

【例题15].（2021•山东济南•高一期中）国庆期间，高一某班35名学生去电影院观看了《长

津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有23人观看了《长津湖》，有20人

观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（）

A.8B.IOC.12D.15

【变式】.（2021•广东•广州外国语学校高一检测）某公司共有50人，此次组织参加社会公

益活动，其中参加A项公益活动的有28人，参加B项公益活动的有33人，且A,B两项公

益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A项不参加8项的有

（）

A.7人B.8ΛC.9ΛD.IOA

2023隼新高中新接素养理升专理辨义

第八讲集合的基本运算(精讲)(解析版)

【知识点透析】

一、交集

1、文字语言：对于两个给定的集合4B,由属于力又属于8的所有元素构成的集合，叫做

A,8的交集，记作∕∩8,读作“/交6”

2、符号语言：4∩8={x∣x∈/且x∈8}

3、图形语言：阴影部分为/C6

4、性质：AΠβ=β∏Λ,ΛΠΛ=A,/l∩0=0∩J=0,如果/u8,则4∏8=/

5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。

二、并集

1、文字语言：对于两个给定的集合4B,由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做/与

6的并集，记作4U6,读作“4并6”

2、符号语言：4U片{x∣x∈∕l或x∈6}

3、符号语言：阴影部分为4U6

4、性质：4U8=8UA,AUA^A,4U0=0U4=4如果/U6,则∕1U6=4

5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互

异性

三、补集

L集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，

那么称这个给定的集合为全集.记法：全集通常记作〃

2、补集

(1)文字语言：如果给定集合4是全集〃的一个子集，由〃中不属于/的所有元素构成的

集合，叫做/在〃中的补集，记作QA.

(2)符号语言：CA={x∣x∈U且X史A}

(3)符号语言：

(4)性质：AU{aιA-UxAΓ∖ɛ/j-0；[(J(,[(Λ4)—A.

【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R,要看题目的。

四、利用交并补求参数范围的解题思路

1、根据并集求参数范围：AB=BnAqB,

若力有参数，则需要讨论/是否为空集；

若6有参数，则3

2、根据交集求参数范围：4B=A=A=8

若4有参数，则需要讨论4是否为空集；

若8有参数，则B≠0

【知识点精讲】

题型一并集、交集、补集的运算

【例题1】（2022•浙江•杭十四中高一期中）设全集U={1,2,3,4,5,6},集合

S={1,3,5},T={2,3,4,5},则SUT=（）

A.{3,5}B.{2,4}C.{1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5,6}

【答案】C

【分析】根据并集的定义直接求解即可.

【详解】因为S={1,3,5},T={2,3,4,5},

所以S□7={l,2,3,4,5},

故选：C

【例题2】（2021春•山西大同期中）设集合A={x∣x<l},8={x∣-2<x<2},则A8=（

）

A.{ɪ∣-2<x<l}B.{x∖x<2}C.{x∖-2<x<2}D.{x∣x<l}

【答案】B

【解析】Λ={x∣x<l},B={x∖-2<x<2],

A、，8={x∣x<2}.

故选B.

【例题3】.（2022•江苏•高二期末）已知集合A={l,2},B={a-∖,a2+2\,若Ac8={l},

则实数0的值为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】因为ACB={1},所以a—1=1或/+2=1,解得：a=2.

故选：C.

【例题4】.（2022•陕西•宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））已知集合A={x∣-2<x≤1},

B={x∣0<x≤a},若Aβ={x∣-2<x≤3},A8=（）

A.{x∖-2<x<0]B.{x∣O<x≤1}C.{x∣1<x≤3}D.{x∖-2<x≤3}

【答案】B

【分析】根据题意，由AB={x∣-2<x≤3}求出。的值，进一步求出AB得答案.

【详解】因为A=N-2<x≤l},3={χθ<x≤a},并且AB={A∣-2<X≤3},

所以〃=3,所以A∩8={x∣0<xWl）.

故选：B.

【例题5】.（2021•北京昌平区•高二期末）已知全集。={0,1,2,3,4,5},集合4={0,l,2,3}

,B={3,4},则&A）8=.

【答案】.{3,4,5}

【解析】解：∙JU={O,1,2,3,4,5),A={O,1,2,3},B={3,4},

.∙∙⅛A=(4,5),(¾A)uB={3,4,5).

故答案为：{3,4,5}.

【例题6】.(2022•四川南充高一课时检测)已知全集A={即≤X≤6},集合B={邓<X<5},

则().

A.{x∣x≥5}B.{x∣x≤l或x25}

C.{x∣x=l或5<xS6}D.{x∣x=l或5≤x≤6}

【答案】D

【分析】直接根据补集概念运算求解即可.

【详解】因为全集A={x∣l≤x≤6},集合3={x∣l<x<5},

所以6八8={x∣x=l或5≤x≤6}.

故选：D.

【例题71.41.(2021.陕西商洛市•镇安中学高一期中)已知集合A={x卜24x≤5},

B={x∣"z+1≤X≤2m—1J.

(1)若，"=4,求AB-(2)若AB=0,求实数机的取值范围.

【答案】.(1){止2≤x≤7};(2)WM<2或』>4}.

［解析］⑴当机=4时，B={x∣5≤x<7),故AU8={N-2≤x≤7}；

(2)当〃+zl>2机一1时，即当机<2时，B=0,则AB=0；

当机+1≤2AH-1时，即当〃2≥2时，β≠0,

因为AB=0,则2加—1<一2或m+1>5,解得一ɪ■或〃2>4,此时有机>4.

2

综上所述，实数加的取值范围是WlM<2或m>4}∙

【变式1］.(2022•河北邢台高二期末)若集合M={x∣-2<x≤4},N={x∣4≤x≤6},则

A.McNB.MN={4}C.MNND.MN={x∣-2<x<6}

【答案】B

【分析】利用集合的交并运算求MCN、MuN,注意朋,N是否存在包含关系，即可得

答案.

【详解】因为M={x|—2<x≤4},N={x∣4≤x≤6},

所以MN={4},MN={x∣-2<x≤6},M,N相互没有包含关系.

故选：B

【变式2】.(2022•江苏常州高三开学考试)设集合A={Λ∣-1<X<1},B={x∣x2-2x≤θ},

则473=()

A.(-1,2]B.(-1,2)C.[0,l)D.(0,1]

【答案】A

【分析】先求解二次不等式得8={x∣0≤x≤2},再根据集合运算法则算AB即可

【详解】由题，B={x∣0≤x≤2},则AUB={力l<x≤2},

故选：A

【变式3](2022•青海•海东市第一中学模拟预测(文))已知集合M={-1,1,2},

N={x∈R∣χ2=x},则MuN=()

A.{1}B.{-l,0}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,2}

【答案】C

【解析】.N={X∈R∣X2=X}={0,1},:.MN={—1,0,1,2}.

故选：C.

【变式4】.(2022・浙江三模)已知集合尸=32夕<5},0=卜|3"<6},则2Q=()

A.{x∣2≤x<5∣B.{x∣2≤x<6∣C.{x∣3<x<51D.1x∣3<x<6∣

【答案】C

【解析】由题意知：PQ={x∣3≤x<5}.

故选：C.

题型二并集、交集、补集综合运算及性质的应用

【例题81(2022•河南洛阳高一课时检测)已知全集U,集合A={1,3,5,7,9},CuA={2,4,6,8},

CUB={1,4,6,8,9},则集合B=()

A.{1,5,7}B.{3,5,7,9}C.{2,3,5,7,9}D.{2,3,5,7}

【答案】D

【分析】根据集合补集的运算法则进行求解.

【详解】集合A={l,3,5,7,9},QA={24,6,8)

.∙.U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

又∙.S={1,4,6,8,9}

B={2,3,5,7}

故选：D

【例题9】.(2022•重庆•西南大学附中模拟预测)已知集合A={x∣衣-1=0},

B={x∈N*∣l≤x<4},且AUB=8,则实数。的所有值构成的集合是()

【答案】D

【分析】根据AuB=B,对”进行分类讨论，由此求得”的所有值构成的集合.

【详解】B={1,2,3},

当α=0时，A=0,满足AuB=B,只有D选项符合.

当α≠0时，A={x∣x=T},

要使AUB=B,则，=1或1=2或工=3,即。=1或a=?或α=?,

aaa23

所以实数a的所有值构成的集合是{θ,l,J,g).故选：D

【例题10].(湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期起点考试)已知集合

A=(→x>,l]u[2,+∞),8=34-l<x<α+l},若AB=R,则实数。的取值范围为()

A.(1,2)B.[1,2)C.(1,2]D.[1,2]

【答案】D

【分析】依题意可得[“一：：；，解得即可.

[Q+1≥2

【详解】解：因为A=(-∞,l]u[2,+∞),B={Ma-IVXVa+1}且AB=R,

所以解得l≤α≤2,即α∈[L2];

故选：D

【例题Ul(2022•云南昆明一中高一检测)已知A,8都是非空集合，A<fe8={Mx∈(AD8)}

且Xe(AB).若A={x∣0vx<2},B={x∖x≥0},则A&8=()

A.{x∣x≥θ}B.{Λ∣0<X<2}

C.{小=0或x<-2}D.{x∣x=0或x≥2}

【答案】D

【分析】根据交集、并集的运算及新定义求解即可.

【详解】由题意，得A=B={x∣x≥0},AnB={x∣0<x<2},

故A&B={x|x=O或x≥2}.

故选：D

【例题12].(2021•江苏高一专题练习)已知集合A={x∣-4<x<2},

B--∖<x<m-∖,m>θ}.

(1)若AUB=B,求实数机的取值范围；

(2)若ACBH0,求实数WJ的取值范围.

【答案】(1)m≥3;(2)m>O.

【解析】：(1)因为AUB=8,所以AaB,

ZH>0

.∙.V-m一1≤一4=机≥3；

/H-1>2

[m>0[m>O

(2)若A「8=。，则或，、.，不等式组无解，

-1≤-4[-fn-1≥2

所以AC3≠0时，所以〃2>0.

【变式11(2022辽宁沈阳高一课前预习)集合A={φ2-3%+2=θ},B=卜封-or+2=θ}

,若AUB=A,求实数。的取值范围.

【答案】.{4∣-4<α"}

由题意，知A={l,2},因为AUB=A,所以B=A.

(1)若1∈B,则1是方程2/-Or+2=O的根，所以“=4.当”=4时，8={l}αA,符合

题意.

(2)若2∈B,则2是方程2f-av+2=0的根，所以〃=5.

当4=5时，β={^∣2√-5x+2=θ}=∣2,∣},此时不满足8=A,所以a=5不符合题意.

(3)若8=0,则A=∕-i6<0,解得T<α<4,此时B=A.

综上所述，。的取值范围为{α∣-4<α≤4}.

【变式2】.(2023•浙江高二开学考试)已知αeR,设集合A=HX?-24x+2叱l<θ},

3={xlx>2},

(1)当α=2时，求集合A.(2)若A项6RB,求实数α的取值范围.

【答案】⑴A={x∣l<x<3};(2)a≤∣.

【解析】

(1)当α=2时，⅛X2-4X+3<0,解得ICX<3,故4={x∣l<x<3}.

(2)VB={x∖x>2],：.¾B={x∣x≤2∣,

不等式f-2aχ+2α7<O可以表示成(X-I)∣>一(20-l)]<0,

当O<l时，A={x∣2α-l<x<l},此时416及8成立，

当α=l时，A=09成立，

当。>1时，A={x∣l<x<24-1},若此时AUdRB成立，贝!]24-142,解得故l<α≤?.

22

3

综上所述，a≤^.

【变式3】.(2022•四川乐山市高一单元测试)已知集合A={x∣2α-1<x<α+l∣,

β={x∣O≤x≤l}.

(1)在①a=-1,②α=0,③α=l这三个条件中任选一个作为已知条件，求AB；

(2)若4cQ,B=4,求实数。的取值范围.

【答案】⑴答案见解析(2)(-∞,-l]θ[l,-κw)

【分析】(1)代入。的值求出集合A,再求并集可得答案；

(2)求出根据Ac∖B=4可得Aq∖8,分A=0、AwO讨论可得答案.

(1)选择条件①：

因为α=T,所以A=(-3,0),

又B=[O,1],所以AUB=(-3』；

选择条件②：

因为a=0,所以A=(T,1),

又3=[0,l],所以AUB=(T1]；

选择条件③：

因为α=l,所以A=(l,2),

又B=[O,1],所以Au8=[0,2);

(2)因为B=[O,1],所以QB=(F,O)D(I,y),

因为AC为4=A,所以Aq45,

当A=0时，满足Aqa3,此时为-l≥0+l,即α≥2,

a<2a<2

当AW0时，则或

α+l≤02a-∖≥i

解得或l≤αv2,

综上，a的取值范围为（YO,—1]□[1,M）.

题型三Venn图的应用

【例题13].（2021•贵州省思南中学高三月考（理））己知全集U=R,集合

A={y∣y=χ2+3,xeR},B={x∖-2<x<4},则图中阴影部分表示的集合为（）

A.[—2,3]B.(—2,3)C.(—2,3]D.[-2,3)

【答案]B

【解析】^=X2+3>3,所以A=[3,%O),

图象表示集合为(4,A)CB,

δbA=(-∞,3),(6A)C8=(-2,3).

故选：B

XeZ卜=JX+5-

【例题14].（2021•全国高三其他模拟）已知全集U=

M={x∈Z∣∣x-l∣<3},N={T-2,0,L5},则下列论”〃图中阴影部分表示的集合为()

A.{0,l}B.{-3,l,4}C.{-l,2,3}D.{-1,0,2,3}

【答案]C

【解析】

U=∙x∈Z^+5"^={X∈Z∣-5≤X<6}={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5),

集合M=NZl-3<x-1<3}={xwZ∣-2<x<4}={-l,0,l,2,3}.

因为集合N={T,—2,0,1,5},所以GN={—5,—3,—1,2,3,4},

所以Venn图中阴影部分表示的集合为〃门（a"）={—1,2,3},

故选：C.

【例题15].（2021•山东济南•高一期中）国庆期间，高一某班35名学生去电影院观看了《长

津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有23人观看了《长津湖》，有20人

观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（）

A.8B.IOC.12D.15

【答案】A

【分析】根据集合的运算可得答案.

【详解】解：由已知得同时观看了这两部电影的人数为23+20-35=8.

故选：A.

【变式】.（2021•广东•广州外国语学校高一检测）某公司共有50人，此次组织参加社会公

益活动，其中参加A项公益活动的有28人，参加B项公益活动的有33人，且A,8两项公

益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A项不参加8项的有

A.7人B.8人C.9人D.10人

【答案】D

【分析】设A,B两项公益活动都参加的有X人，得出仅参加A,B项和两项公益活动都不

参加的人数，列出方程，即可求解.

【详解】如图所示，设A,8两项公益活动都参加的有X人，

则仅参加A项的有（28-力人，仅参加B项的有（33-力人，

A,8两项公益活动都不参加的有+人，

由题意得x+（28-x）+（33-x）+（gx+l）=50,解得χ=18,

所以只参加A项不参加8项的有28-18=K）人）.

故选D.

题型四集合新定义创新类型

【例12】.（2021•全国高一单元测试）己知对于集合A、B,定义4-B={x∣xeA,且Xe8}

,A㊉8=(A-B)U(8-A).设集合M={1,2,3,4,5,6},集合N={4,5,6,7,8,9,10},则M㊉乂中

元素个数为（）

A.