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文档简介
PAGE题型三规律探索题类型一数式规律针对演练1.(2024新疆)如图,下面每个图形中的四个数都是按相同规律填写的,根据此规律确定x的值为________.第1题图2.(2024绥化)古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21…叫三角数,它有一定的规律.假设把第一个三角数记为a1,第二个三角数记为a2,…,第n个三角数记为an,计算a1+a2,a2+a3,a3+a4,…,由此推算a399+a400=________.3.(2024济宁)按一定规律排列的一列数:eq\f(1,2),1,1,eq\x(),eq\f(9,11),eq\f(11,13),eq\f(13,17),…,请你仔细观察,按照此规律方框内的数字应为________.4.(2024郴州)观察以下等式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,….试猜想,32024的个位数字是________.5.(2024百色)观察以下各式的规律:(a-b)(a+b)=a2-b2;(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4;…;可得到(a-b)(a2024+a2024b+…+ab2024+b2024)=________.6.请观察以下等式的规律:eq\f(1,1×3)=eq\f(1,2)(1-eq\f(1,3)),eq\f(1,3×5)=eq\f(1,2)(eq\f(1,3)-eq\f(1,5)),eq\f(1,5×7)=eq\f(1,2)(eq\f(1,5)-eq\f(1,7)),eq\f(1,7×9)=eq\f(1,2)(eq\f(1,7)-eq\f(1,9)),…,那么eq\f(1,1×3)+eq\f(1,3×5)+eq\f(1,5×7)+…+eq\f(1,99×101)=________.7.(2024滨州)观察以下式子:1×3+1=22;7×9+1=82;25×27+1=262;79×81+1=802;…可猜想第2024个式子为______________.8.(2024黄石)观察以下等式:第1个等式:a1=eq\f(1,1+\r(2))=eq\r(2)-1,第2个等式a2=eq\f(1,\r(2)+\r(3))=eq\r(3)-eq\r(2),第3个等式:a3=eq\f(1,\r(3)+2)=2-eq\r(3),第4个等式:a4=eq\f(1,2+\r(5))=eq\r(5)-2,按上述规律,答复以下问题:(1)请写出第n个等式:an=__________________;(2)a1+a2+a3+…+an=__________.9.(2024省卷20,9分)如下数表是由从1开始的连续自然数组成,观察规律并完成各题的解答.(1)表中第8行的最后一个数是________,它是自然数________的平方,第8行共有________个数;(2)用含n的代数式表示:第n行的第一个数是________,最后一个数是________,第n行共有________个数;(3)求第n行各数之和.【答案】1.370【解析】观察可得,第n个图形的数字为:n2n-12n2n(2n-1)-n当2n=20时,n=10,∴x=2n(2n-1)-n=20×(20-1)-10=370.2.160000【解析】由a1+a2=4=22,a3+a4=6+10=16=42,a5+a6=15+21=36=62,…,依此类推可得an+an+1=(n+1)2,∴a399+a400=4002=160000.3.1【解析】将原来的一列数变形为eq\f(1,2),eq\f(3,3),eq\f(5,5),□,eq\f(9,11),eq\f(11,13),eq\f(13,17),观察可以得出分子依次为从小到大排列的连续奇数,分母是依次从小到大排列的质数,故方框内填eq\f(7,7),故答案为1.4.1【解析】从前几个3的幂来看,它的个位数依次是3,9,7,1,第5个数跟第一个数的个位数相同,于是3的整数次幂的个位数是每四个数一个循环,2024÷4=504,于是32024的个位数与34的个位数相同,即为1.5.a2024-b2024【解析】由题可知,(a-b)(a+b)=a2-b2,(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,…,∴(a-b)(an+an-1b+an-2b2+…+a2bn-2+abn-1+bn)=an+1-bn+1,∴当n=2024时,(a-b)(a2024+a2024b+…+ab2024+b2024)=a2024-b2024.6.eq\f(50,101)【解析】原式=eq\f(1,2)(1-eq\f(1,3))+eq\f(1,2)(eq\f(1,3)-eq\f(1,5))+eq\f(1,2)(eq\f(1,5)-eq\f(1,7))+…+eq\f(1,2)(eq\f(1,99)-eq\f(1,101))=eq\f(1,2)(1-eq\f(1,3)+eq\f(1,3)-eq\f(1,5)+eq\f(1,5)-eq\f(1,7)+…+eq\f(1,99)-eq\f(1,101))=eq\f(1,2)(1-eq\f(1,101))=eq\f(50,101).7.(32024-2)×32024+1=(32024-1)2【解析】第①个式子转化为:(31-2)×31+1=(31-1)2,第②个式子转化为:(32-2)×32+1=(32-1)2,第③个式子转化为:(33-2)×33+1=(33-1)2,第④个式子转化为:(34-2)×34+1=(34-1)2,…,由以上规律可得,第n个式子为:(3n-2)×3n+1=(3n-1)2,当n=2024时,第2024个式子为:(32024-2)×32024+1=(32024-1)2.8.(1)eq\f(1,\r(n)+\r(n+1))=eq\r(n+1)-eq\r(n);(2)eq\r(n+1)-1【解析】(1)a1=eq\f(1,1+\r(2))=eq\r(2)-1,a2=eq\f(1,\r(2)+\r(3))=eq\r(3)-eq\r(2),a3=eq\f(1,\r(3)+\r(4))=eq\r(4)-eq\r(3),…,an=eq\f(1,\r(n)+\r(n+1))=eq\r(n+1)-eq\r(n);(2)a1+a2+a3+…+an=(eq\r(2)-1)+(eq\r(3)-eq\r(2))+(eq\r(4)-eq\r(3))+(eq\r(5)-eq\r(4))+…+(eq\r(n+1)-eq\r(n))=eq\r(n+1)-1.9.解:(1)64,8,15;【解法提示】仔细观察第一行最后一个数是1=12,且共有1个数;第二行最后一个数是4=22,且共有3个数,第三行最后一个数是9=32,且共有5个数,以此类推,可知第n行最后一个数可以表示为n2,且共有(2n-1)个数,所以第8行最后一个数是82=64,共有2×8-1=15个数;(2)n2-2n+2,n2,2n-1;【解法提示】由(1)中的分析得知第n行的第一个数是(n-1)2+1=n2-2n+2,最后一个数是n2,第n行共有(2n-1)个数;第n行各数之和为:eq\f(n2-2n+2+n2,2)×(2n-1)=(n2-n+1)(2n-1).类型二图形规律针对演练图形累加规律探索1.(2024荆州)如图,用黑白两种颜色的菱形纸片,按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成以以下列图案.假设第n个图案中有2024个白色纸片,那么n的值为()第1题图A.671B.672C.673D.6742.以以下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有6个小圆圈,第②个图形中一共有9个小圆圈,第③个图形中一共有12个小圆圈,…,按此规律排列,那么第⑦个图形中小圆圈的个数为()第2题图A.21B.24C.27D.303.(2024重庆B卷)观察以下一组图形,其中图形①中共有2颗星,图形②中共有6颗星,图形③中共有11颗星,图形④中共有17颗星,…,按此规律,图形⑧中星星的颗数是()第3题图A.43B.45C.51D.534.(2024曲靖)用火柴棒按如以下列图的方式摆大小不同的“H〞,依此规律,摆出第9个“H〞需用火柴棒________根.第4题图5.(2024深圳)观察以以下列图形,它们是按照一定规律排列的,依照此规律,第五个图有________个太阳.第5题图6.(2024安顺)观察以下砌钢管的横截面图:第6题图那么第n个图的钢管数是__________(用含n的式子表示).【答案】1.B【解析】对于每个图中的白色纸片的个数,依次是4,7=4+3,10=4+3×2,…,那么,第n个图中的白色纸片的个数为4+3×(n-1)=3n+1,令3n+1=2024,解得n=672.2.B【解析】第①个图形有6个小圆圈,第②个图形有6+3=9个小圆圈,第③个图形有6+3×2=12个小圆圈,…,按照这个规律,第个图形有6+3(n-1)=3n+3个小圆圈,故第⑦个图形一共有3×7+3=24个小圆圈.3.C【解析】图形①中星星的颗数为:2=1+(2×1-1),图形②中星星的颗数为:6=(1+2)+(2×2-1),图形③中星星的颗数为:11=(1+2+3)+(2×3-1),图形④中星星的颗数为:17=(1+2+3+4)+(2×4-1),…,图形中星星的颗数为:(1+2+…+n)+(2n-1)=eq\f(n〔n+1〕,2)+2n-1,所以图形⑧中星星的颗数为:eq\f(8×〔8+1〕,2)+2×8-1=51.4.29【解析】图形序号火柴棒数量图形序号与火柴棒数量的关系15根3×1+2=528根3×2+2=8311根3×3+2=11………n(3n+2)根3×n+2=3n+2∴第9个“H〞所需的火柴棒的数量为3×9+2=29根.5.21【解析】∵所有图形中,第一行太阳的个数分别为1,2,3,4,…,n,∴第五个图形第一行太阳的个数为5,∵所有图形中,第二行太阳的个数分别为1,2,4,8,…,2n-1,∴第五个图形第二行太阳的个数为24=16个太阳,∴第五个图形共有5+16=21个太阳.6.eq\f(3,2)n2+eq\f(3,2)n【解析】n1234…n钢管数391830……规律eq\f(3×1×2,2)eq\f(3×2×3,2)eq\f(3×3×4,2)eq\f(3×4×5,2)…eq\f(3n〔n+1〕,2)由表可知,第n个图的钢管数是eq\f(3n〔n+1〕,2)=eq\f(3,2)n2+eq\f(3,2)n.图形成倍递变规律探索1.(2024六盘水)如图,AB=A1B,A1B1=A1A2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4…,假设∠A=70°,那么∠An的度数为()A.eq\f(70°,2n)B.eq\f(70°,2n+1)C.eq\f(70°,2n-1)D.eq\f(70°,2n-2)第1题图第2题图2.(2024内江)一组正方形按如以下列图的方式放置,其中顶点B1在y轴上,顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上,正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…那么正方形A2024B2024C2024D2024的边长是()A.(eq\f(1,2))2024B.(eq\f(1,2))2024C.(eq\f(\r(3),3))2024D.(eq\f(\r(3),3))20243.(2024南平)如图,直线l:y=2x,分别过x轴上的点A1(1,0)、A2(2,0)、…、An(n,0),作垂直于x轴的直线交l于点B1、B2、…、Bn,将△OA1B1、四边形A1A2B2B1、…、四边形An-1AnBnBn-1的面积依次记为S1、S2、…、Sn,那么Sn=()A.n2B.2n+1C.2nD.2n-1第3题图第4题图4.(2024威海)如图,点A1的坐标为(1,0),A2在y轴的正半轴上,且∠A1A2O=30°,过点A2作A2A3⊥A1A2,垂足为A2,交x轴于点A3;过点A3作A3A4⊥A2A3,垂足为A3,交y轴于点A4;过点A4作A4A5⊥A3A4,垂足为A4,交x轴于点A5;过点A5作A5A6⊥A4A5,垂足为A5,交y轴于点A6;…按此规律进行下去,那么点A2024的纵坐标为________.5.(2024钦州)如图,∠MON=60°,作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1,边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上,边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2,以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2,边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3,F3,再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3,…,依此规律,经第n次作图后,点Bn到ON的距离是________.第5题图【答案】1.C【解析】在∵△ABA1中,AB=A1B,∴∠A=∠BA1A,∵A1A2=A1B1,∴∠B1A2A1=eq\f(1,2)∠BA1A,同理,∠B2A3A2=eq\f(1,2)∠B1A2A1=eq\f(1,4)∠BA1A,∴∠An=eq\f(1,2n-1)∠BA1A=eq\f(70°,2n-1).2.D【解析】易得△B2C2E2∽△C1D1E1,∴eq\f(B2C2,C1D1)=eq\f(B2E2,C1E1)=eq\f(C2E2,D1E1)=eq\f(C2E2,B2E2)=tan30°,∴B2C2=C1D1·tan30°=eq\f(\r(3),3),∴C2D2=eq\f(\r(3),3),同理,B3C3=C2D2·tan30°=(eq\f(\r(3),3))2,由此猜想BnCn=(eq\f(\r(3),3))n-1,∴当n=2024时,B2024C2024=(eq\f(\r(3),3))2024,应选D.3.D【解析】由题意可知,△OA1B1∽△OA2B2∽△OA3B3∽…∽△OAnBn且相似比为1∶2∶3∶…∶n,∴其面积比为1∶4∶9∶…∶n2,∴S1∶S2∶S3∶…∶Sn=1∶3∶5∶…∶(2n-1),∵A1(1,0),过点A1作垂直于x轴的直线交l:y=2x于点B1,∴OA1=1,A1B1=2,∴S△OA1B1=1,∴Sn=2n-1.4.-31007eq\r(3)【解析】∵A1(1,0),∠A1A2O=30°,∴A2(0,eq\r(3)),∵A2A3⊥A1A2,∴∠A3A2O=60°,∴∠A2A3O=30°,∴A3(-3,0),同理,A4(0,-3eq\r(3)),A5(9,0),A6(0,9eq\r(3)),A7(-27,0),A8(0,-27eq\r(3)),…,即,A2(0,eq\r(3)),A4(0,-3eq\r(3)),A6(0,9eq\r(3)),A8(0,-27eq\r(3)),列表如下:A2eq\r(3)×(-3)0…(2-2)÷2=0A4eq\r(3)×(-3)1…(4-2)÷2=1A6eq\r(3)×(-3)2…(6-2)÷2=2A8eq\r(3)×(-3)3…(8-2)÷2=3…………Aneq\r(3)×(-3)(eq\f(n,2)-1)…(n-2)÷2=eq\f(n,2)-1∴An=eq\r(3)×,∵2024÷2-1=1007,∴A2024的纵坐标是-31007eq\r(3).5.3n-1eq\r(3)【解析】由题意可知,∠MON=60°,设点Bn到ON的距离为hn,∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1,∴A1B1=1,易知△A1OF1为等边三角形,∴A1B1=OA1=1,∴OB1=2,那么h1=2×eq\f(\r(3),2)=eq\r(3),又∵OA2=A2F2=A2B2=3,∴OB2=6,那么h2=6×eq\f(\r(3),2)=3eq\r(3),同理可求,OB3=18,那么h3=18×eq\f(\r(3),2)=9eq\r(3),…,依此可得,OBn=2×3n-1,那么hn=2×3n-1×eq\f(\r(3),2)=3n-1eq\r(3),∴点Bn到ON的距离为3n-1eq\r(3).图形循环规律探索1.(2024河南)如图,菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),假设菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45°,那么第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为()A.(1,-1)B.(-1,-1)C.(eq\r(2),0)D.(0,-eq\r(2))第1题图第2题图2.以下一串梅花图案是按一定规律排列的,请你仔细观察,在前2024个梅花图案中,共有________个“〞图案.3.如图,正五边形五个顶点标有数字1、2、3、4、5,一只青蛙在五个顶点上跳,假设它停在奇数点上,那么下一次沿顺时针方向跳两个点;假设它停在偶数点上,那么下一次沿逆时针方向跳一个点;假设青蛙从标有数字5的顶点开始跳,第一次跳后落在标有数字2的顶点上,第二次跳后落在标有数字1的顶点上,…,那么第2024次跳后所停的顶点对应的数字为__________.第3题图4.(2024三明)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,沿着箭头所示方向,每次移动1个单位,依次得到点P1(0,1),P2(1,1),P3(1,0),P4(1,-1),P5(2,-1),P6(2,0),…,那么点P60的坐标是________.第4题图第5题图5.(2024聊城)如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上,以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2,再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3,以此类推…,那么正方形OB2024B2024C2024的顶点B2024的坐标是________.【答案】1.B【解析】∵菱形OABC的顶点坐标为O(0,0),点B的坐标是(2,2),∴BO与x轴的夹角为45°,∵菱形的对角线互相垂直平分,∴点D是线段OB的中点,∴点D的坐标是(1,1),∵菱形绕点
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