平面图形的几何性质-平面图形的几何性质（建筑力学）

第二节惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径一、惯性矩和极惯性矩整个平面图形上各微面积对z轴（或y轴）惯性矩的总和称为该平面图形对z轴（或y轴）的惯性矩，用Iz（或Iy）表示。平面图形的几何性质

整个图形上所有微面积对点O的极惯性矩的总和称为该图形对点O的极惯性矩，用Ip表示。平面图形的几何性质

平面图形对任一点的极惯性矩，等于图形对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。

惯性矩的单位为ｍ4

或ｍｍ4

。其值恒为正。惯性矩也是对坐标轴而言的。同一图形对不同的坐标轴，其惯性矩不同。

极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯性矩也不相同。

平面图形的几何性质二、惯性积

惯性积是平面图形对某两个正交坐标轴而言，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。

由于坐标值z、y有正负，因此惯性积可能为正或负，也可能为零。

其单位为m4或mm4。

整个图形上所有微面积对z、y两轴惯性积的总和称为该图形对z、y两轴的惯性积，用Izy表示。平面图形的几何性质

两个坐标轴中只要有一根轴为平面图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯性积一定等于零。平面图形的几何性质三、惯性半径在工程中因为某些计算的特殊需要，常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积。即

式中iz和iy分别称为平面图形对z轴和y轴的惯性半径，也叫回转半径。单位为m或mm。平面图形的几何性质为了便于查用，表6-1列出了几种常见截面图形的面积、形心和惯性矩。平面图形的几何性质

第六章平面图形的几何性质学习目标：平面图形的几何性质

1.理解静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性半径和惯性积的概念。2.熟练掌握组合图形形心位置的计算。

3.会应用平行移轴公式计算组合图形对形心轴的惯性矩。4.熟记矩形、圆形等简单图形对其形心轴的惯性矩。组合图形形心位置的确定及组合图形对形心轴的惯性矩的计算。重点：第一节静矩一、静矩的概念

微面积dA与坐标y（或坐标z）的乘积称为微面积dA对z轴（或y轴）的静矩

.

这些微小乘积在整个面积A内的总和，称为该平面图形对z轴（或y轴）的静矩。

用Sz（或Sy）表示。即

平面图形的几何性质

从上述定义可以看出，平面图形的静矩是对指定的坐标轴而言的。

同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。

静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。

常用单位是

m3或mm3。平面图形的几何性质

现设平面图形的形心C的坐标为zC、yC。

在第四章中，已得到求平面图形形心的坐标的公式为平面图形的几何性质ΔA→0

•

当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。

•如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴。故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。二、组合图形的静矩

在工程实际中，经常遇到工字形、T形、环形等横截面的构件，这些构件的截面图形是由几个简单的几何图形组合而成的，称为组合图形。平面图形的几何性质由式可见:

根据平面图形静矩的定义，组合图形对z轴（或y轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即

式中yCi、zCi及Ai分别为各简单图形的形心坐标和面积，n为组成组合图形的简单图形的个数。平面图形的几何性质例6-1

矩形截面尺寸如图所示。试求该矩形对

z1轴的静矩Sz1和对形心轴z的静矩Sz。平面图形的几何性质解（１）计算矩形截面对z1轴的静矩。（２）计算矩形截面对形心轴的静矩。

由于z轴为矩形截面的对称轴，故矩形截面对z轴的静矩为

例6-2试计算如图示的平面图形对z1和y1的静矩，并求该图形的形心位置。

解将平面图形看作由矩形Ⅰ和Ⅱ组成矩形Ⅰ矩形ⅡA1=10×120mm2=1200mm2

A2=70×10mm2=700mm2平面图形的几何性质该平面图形对z1轴和y1轴的静矩分别为求得该平面图形的形心坐标为平面图形的几何性质第二节惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径一、惯性矩和极惯性矩整个平面图形上各微面积对z轴（或y轴）惯性矩的总和称为该平面图形对z轴（或y轴）的惯性矩，用Iz（或Iy）表示。平面图形的几何性质

整个图形上所有微面积对点O的极惯性矩的总和称为该图形对点O的极惯性矩，用Ip表示。平面图形的几何性质

平面图形对任一点的极惯性矩，等于图形对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。

惯性矩的单位为ｍ4

或ｍｍ4

。其值恒为正。惯性矩也是对坐标轴而言的。同一图形对不同的坐标轴，其惯性矩不同。

极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯性矩也不相同。

平面图形的几何性质二、惯性积

惯性积是平面图形对某两个正交坐标轴而言，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。

由于坐标值z、y有正负，因此惯性积可能为正或负，也可能为零。

其单位为m4或mm4。

整个图形上所有微面积对z、y两轴惯性积的总和称为该图形对z、y两轴的惯性积，用Izy表示。平面图形的几何性质

两个坐标轴中只要有一根轴为平面图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯性积一定等于零。平面图形的几何性质三、惯性半径在工程中因为某些计算的特殊需要，常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积。即

式中iz和iy分别称为平面图形对z轴和y轴的惯性半径，也叫回转半径。单位为m或mm。平面图形的几何性质为了便于查用，表6-1列出了几种常见截面图形的面积、形心和惯性矩。平面图形的几何性质第三节组合图形的惯性矩一、平行移轴公式平面图形的几何性质微面积dA在两个坐标系中的坐标有如下关系：

特别注意：式中Iz与Iy必须是平面图形对其形心轴的惯性矩。

上式表明：图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。

由于a2恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。平面图形的几何性质例6-5

计算图示的矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩。平面图形的几何性质解二、组合图形惯性矩的计算

由矩形、圆形和三角形等几个简单图形组成，或由几个型钢组成，称为组合图形。

由惯性矩定义可知：组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即平面图形的几何性质在计算组合图形的惯性矩时：首先应确定组合图形的形心位置，然后通过积分或查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩，再利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形心轴的惯性矩。

由于截面有一根对称轴y，故形心必在此轴上，即zc=0

选坐标系yoz′，以确定截面形心的位置yC。矩形ⅠA1=50×12=600cm2

yC1=58+6=64cm例6-6

试计算图示T形截面对其形心轴z、y的惯性矩。解（１）计算截面的形心位置。平面图形的几何性质矩形Ⅱ

A2=25×58=1450cm2

yC2=29cm(2)计算组合图形对形心轴的惯性矩Iz、Iy。

首先分别求出矩形Ⅰ、Ⅱ对形心轴z的惯性矩。由平行移轴公式可得平面图形的几何性质整个图形对z轴的惯性矩为平面图形的几何性质y轴正好经过矩形截面A1和A2的形心，所以整个图形对y轴的惯性矩为

当把组合图形视为几个简单图形之和时，其惯性矩等于简单图形对同一轴惯性矩之和；当把组合图形视为几个简单图形之差时，其惯性矩等于简单图形对同一轴惯性矩之差。平面图形的几何性质第四节形心主惯性轴形心主惯性矩一、形心主惯性轴平面图形对某一对坐标轴z0、y0轴的惯性积为零，则这一对坐标轴称为平面图形的主惯性轴，简称主轴。

平面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。

若主惯性轴通过平面图形形心，则该轴称为图形的形心主惯性轴，简称形心主轴。平面图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。二、形心主惯性矩平面图形的几何性质

第六章平面图形的几何性质学习目标：平面图形的几何性质

1.理解静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性半径和惯性积的概念。2.熟练掌握组合图形形心位置的计算。

3.会应用平行移轴公式计算组合图形对形心轴的惯性矩。4.熟记矩形、圆形等简单图形对其形心轴的惯性矩。组合图形形心位置的确定及组合图形对形心轴的惯性矩的计算。重点：第一节静矩一、静矩的概念

微面积dA与坐标y（或坐标z）的乘积称为微面积dA对z轴（或y轴）的静矩

.

这些微小乘积在整个面积A内的总和，称为该平面图形对z轴（或y轴）的静矩。

用Sz（或Sy）表示。即

平面图形的几何性质

从上述定义可以看出，平面图形的静矩是对指定的坐标轴而言的。

同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。

静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。

常用单位是

m3或mm3。平面图形的几何性质

现设平面图形的形心C的坐标为zC、yC。

在第四章中，已得到求平面图形形心的坐标的公式为平面图形的几何性质ΔA→0

•

当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。

•如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴。故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。二、组合图形的静矩

在工程实际中，经常遇到工字形、T形、环形等横截面的构件，这些构件的截面图形是由几个简单的几何图形组合而成的，称为组合图形。平面图形的几何性质由式可见:

根据平面图形静矩的定义，组合图形对z轴（或y轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即

式中yCi、zCi及Ai分别为各简单图形的形心坐标和面积，n为组成组合图形的简单图形的个数。平面图形的几何性质例6-1

矩形截面尺寸如图所示。试求该矩形对

z1轴的静矩Sz1和对形心轴z的静矩Sz。平面图形的几何性质解（１）计算矩形截面对z1轴的静矩。（２）计算矩形截面对形心轴的静矩。

由于z轴为矩形截面的对称轴，故矩形截面对z轴的静矩为

例6-2试计算如图示的平面图形对z1和y1的静矩，并求该图形的形心位置。

解将平面图形看作由矩形Ⅰ和Ⅱ组成矩形Ⅰ矩形ⅡA1=10×120mm2=1200mm2

A2=70×10mm2=700mm2平面图形的几何性质该平面图形对z1轴和y1轴的静矩分别为求得该平面图形的形心坐标为平面图形的几何性质第四节形心主惯性轴形心主惯性矩一、形心主惯性轴平面图形对某一对坐标轴z0、y0轴的惯性积为零，则这一对坐标轴称为平面图形的主惯性轴，简称主轴。

平面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。

若主惯性轴通过平面图形形心，则该轴称为图形的形心主惯性轴，简称形心主轴。平面图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。二、形心主惯性矩平面图形的几何性质第三节组合图形的惯性矩一、平行移轴公式平面图形的几何性质微面积dA在两个坐标系中的坐标有如下关系：

特别注意：式中Iz与Iy必须是平面图形对其形心轴的惯性矩。

上式表明：图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。

由于a2恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。平面图形的几何性质例6-5

计算图示的矩形截面对z1轴和y1轴的惯性矩。平面图形的几何性质解二、组合图形惯性矩的计算

由矩形、圆形和三角形等几个简单图形组成，或由几个型钢组成，称为组