高中数学《7.3 离散型随机变量的数字特征》课件与导学案

人教A版（2019）选择性必修第三册第一课时离散型随机变量的均值7.3离散型随机变量的数字特征学习目标1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质．(重点)2．会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)问题导学

对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.探究1.甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：如何比较他们射箭水平的高低呢？环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2类似两组数据的比较,首先比较击中的平均环数,如果平均环数相等，再看稳定性.假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为：甲n次射箭射中的平均环数问题探究当n足够大时，频率稳定于概率，所以x稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.一、离散型随机变量取值的平均值.一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：

为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematicalexpectation),数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn概念解析例1.在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少?分析:罚球有命中和不中两种可能结果,命中时X=1,不中时X=0,因此随机变量X服从两点分布,X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平.解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，所以E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2

=0.8即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.典例解析

X10Pp1-p概念解析例2.抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值.

分析:先求出X的分布列,再根据定义计算X的均值。典例解析

归纳总结跟踪训练跟踪训练1.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．问题探究

X……P……离散型随机变量的均值的性质若X,Y是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b,即随机变量X的线性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X)的同一线性函数.特别地:(1)当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身.(2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和.(3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积.概念解析例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示：规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000典例解析X0100030006000P0.20.320.2880.192𝑋的均值为𝐸(𝑋)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336.

X0100040006000P0.20.480.1280.192

思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值最大猜歌顺序E(X)/元猜歌顺序E(X)/元ABC2336BCA2112ACB2144CAB1904BAC2256CBA1872例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元。方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。方案3：不采取措施，希望不发生洪水。工地的领导该如何决策呢?典例解析分析:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示：天气状况大洪水小洪水没有洪水概率0.010.250.74总损失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案。解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,P(X1=3800)=1.采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时,总损失为2000元,因此,P(X2=62000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.采用方案3,P(X3=60000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.于是,E(X1)=3800,E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600,E(X3)=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100.因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.值得注意的是,上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的,一般地,我们可以这样来理解“期望总损失”:如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2将会使总损失减到最小,不过,因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的.解题反思当堂达标解析:X的可能取值为3,2,1,0,P(X=3)=0.6;P(X=2)=0.4×0.6=0.24;P(X=1)=0.42×0.6=0.096;P(X=0)=0.43=0.064.所以E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376.答案:C2.某射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后的剩余子弹数目X的数学期望为(

)A.2.44 B.3.376

C.2.376 D.2.43.已知ξ的分布列如下表,若η=3ξ+2,则E(η)=

.

5.口袋里装有大小相同的8张卡片,其中3张标有数字1,3张标有数字2,2张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取1张,放回口袋里后第二次再任意抽取1张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.求:(1)ξ为何值时,其发生的概率最大?并说明理由.(2)随机变量ξ的数学期望E(ξ).课堂小结《第一课时离散型随机变量的均值》导学案7.3离散型随机变量的数字特征课标要求素养要求1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及其数字特征.2.能计算简单离散型随机变量的均值.通过研究离散型随机变量的分布列及其数字特征，进一步提升数学抽象及数据分析素养.新知探究问题上述情境中的计算是否合理，怎样运算才更合理？提示此种计算显然不合理，忽略了不同住房面积的居民所占的比例，造成了“被平均”现象，通过本课时的学习我们可以找到正确的计算方法．1．离散型随机变量的均值或数学期望一般地，若离散型随机变量X的分布列为正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn2．两点分布的期望

一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝____；3．离散型随机变量的均值的性质

设X的分布列为________________＝

pi，i＝1，2，…，n.

一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝________________．pP(X＝xi)aE(X)＋b×√拓展深化[微判断]1．随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化． (

)

提示

随机变量X的均值E(X)是个定值，不随X的变化而变化．2．随机变量的均值与样本的平均值相同． (

)

提示随机变量的均值与样本的均值并非等价，因为样本代表的是部分的情况，不能完全与整体等价．3．若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4. (

)×[微训练]1．已知离散型随机变量X的分布列为2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为__________．[微思考]

某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？题型一利用定义求离散型随机变量的均值【例1】袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值．

解取出4只球颜色及得分分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，故X的分布列如下：规律方法求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．∴X的分布列为题型二离散型随机变量均值的性质【例2】已知随机变量X的分布列为：解析由随机变量分布列的性质，

得【迁移1】

(变设问)本例条件不变，若Y＝2X－3,求E(Y)．∴a＝15.规律方法离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)．【训练2】已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，则m的值为(

)解析因为Y＝12X＋7，则E(Y)＝12E(X)＋7，答案A题型三离散型随机变量均值的应用(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220.故所求的分布列为规律方法解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相应均值．解(1)X的所有取值为0，5，10，15，20，25，30.一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养．2．求离散型随机变量均值的步骤： (1)确定离散型随机变量X的取值； (2)写出分布列，并检查分布列的正确与否； (3)根据公式写出均值．3．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布，可直接利用公式计算均值．二、素养训练1．袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1，2，3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于(

)解析由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，3.2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(

)3．若p为非负实数，随机变量X的分布列为答案A4．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数X的均值为______．解析抛掷一枚骰子所得点数X的分布列为5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n(n＝1，2，3，4)个．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． (1)求X的分布列、均值； (2)若Y＝aX＋4，E(Y)＝1，求a的值．解(1)X的分布列为(2)E(Y)＝aE(X)＋4＝1，第二课时离散型随机变量的方差7.3离散型随机变量的数字特征学习目标1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义.2.会求离散型随机变量的方差、标准差.3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.问题导学

随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.探究1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何评价这两名同学的射击水平？问题探究E(X)=8;E(Y)=8因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。X678910P0.090.240.320.280.07X678910P0.070.220.380.30.03表1表2射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，图一和图二分别是X和Y的概率分布图：发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的设计成绩更稳定。探究2：怎样定量到留离散型随机变量取值的离散程度?我们知道,样本方差可以度量一组样本数据的离散程度,它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的,一个自然的想法是,随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢?问题探究问题1.某人射击10次，所得环数分别是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环数是多少？X1234P问题探究问题2.某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则这组数据的方差是多少？加权平均反映这组数据相对于平均值的集中程度的量问题探究一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：则称

Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn离散型随机变量取值的方差概念解析随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。因此，问题1中两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画它们成绩的稳定性。两名同学射击成绩的方差和标准差分别为:因为D(Y)<D(X)(等价地，)，所以随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定。问题探究问题3：方差的计算可以简化吗？

问题探究

问题4：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即D(X+b)=

D(X)而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的a2倍，即D(aX)=a2D(X)因此，D(aX+b)=a2D(X).

问题探究例1：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差。

典例解析方差的计算方法方差的计算需要一定的运算能力,在随机变量X2的均值比较好计算的情况下,运用关系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X)(a≠0).归纳总结跟踪训练1

已知η的分布列为(1)求η的方差及标准差;(2)设Y=2η-E(η),求D(Y).跟踪训练例2：投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表二所示：收益X/元-102概率0.10.30.6收益X/元012概率0.30.40.3表1表2（1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？典例解析解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.因为E(X)>E(Y),所以投资股票A的期望收益较大。（2)股票A和股票B投资收益的方差分别为D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以资股票A比投资股票B的风险高。利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.2.在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.3.下结论.依据均值和方差做出结论.归纳总结跟踪训练1．给出下列四个命题：①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值偏离于均值的平均程度．则正确命题应该是(

)A．①④ B．②③ C．①② D．③④D当堂达标2．把下面X的分布列填写完整：并完成问题其中p∈(0,1)，则E(X)＝________，D(X)＝________.X01PP解析：而由已知分布列的性质有p＋x＝1，x=1-p

E(X)＝0×(1-p)＋1×p＝p，∴D(X)＝(0－p)2(1-p)＋(1－p)2p＝p(1-p).答案：1-p；p；p(1-p)3.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,a=

,b=

.

4.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别如下,甲保护区:乙保护区:试评定这两个保护区的管理水平.X0123P0.30.30.20.2Y012P0.10.50.4跟踪训练解:甲保护区违规次数X的数学期望和方差为E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同,但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动,乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定,所以乙保护区的管理水平比甲高.课堂小结《第二课时离散型随机变量的方差》导学案7.3离散型随机变量的数字特征课标要求素养要求1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.通过研究离散型随机变量的方差，进一步提升数学抽象及数据分析素养.新知探究甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格产品数分别用X，Y表示，X，Y的分布列如下：如何比较甲、乙两人的技术？问题情境中的问题，我们可以分别求出甲、乙两人不合格品数的均值，但是两人的均值相等，我们应如何更准确地比较两个工人的技术水平？提示我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．1．离散型随机变量的方差、标准差正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2

，…，(xn－E(X))2，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称2．几个常见的结论 (1)D(aX＋b)＝______________． (2)若X服从两点分布，则D(X)＝______________．a2D(X)p(1－p)拓展深化[微判断]1．离散型随机变量的方差越大，

随机变量越稳定．

(

)

提示随机变量的方差越小，随机变量越稳定．2．若a是常数，

则D(a)＝0. (

)3．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．

(

)×√√[微训练]1．若随机变量X服从两点分布，

且成功的概率p＝0.5,则E(X)和D(X)分别为(

) A．0.5和0.25 B．0.5和0.75 C．1和0.25 D．1和0.75

解析E(X)＝p＝0.5，D(X)＝p(1－p)＝0.5×0.5＝0.25.

答案A2．设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为(

) A．2 B．3 C．4 D．5

解析D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.

答案

C[微思考]

离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定还是方差越小越稳定？

提示

离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定.题型一求离散型随机变量的方差角度1用定义求离散型随机变量的方差【例1】设离散型随机变量X的分布列为答案C角度2求两点分布的方差【例2】若某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为__________．

解析依题意知：X服从两点分布，

所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.

答案0.16规律方法求离散型随机变量的方差的类型及解决方法(1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差．(2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解．(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况．【训练1】袋中有大小相同的四个球，编号分别为1，2，3，4，每次从袋中任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球． (1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；

(2)若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差．解(1)记“第二次取球后才停止取球”为事件A.(2)若第一次取到2，则第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4，则第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．所以X的可能取值为3，5，6，7，所以X的分布列为题型二方差的性质的应用【例3】已知随机变量X的分布列为：规律方法求随机变量Y＝aX＋b方差的方法求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．【训练2】设随机变量X的分布列为答案D题型三均值与方差的综合应用【例4】有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：

XA110120125130135P0.10.20.40.10.2XB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，XA，XB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．解E(XA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(XB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D(XA)＝0.1×(110－125)